Determine a multiplicidade algébrica das seguintes raízes em relação à equação respectiva.
x=1 \mathrm{em}(x-1)^{2} \cdot \ln (1+x)=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a multiplicidade algébrica da raiz x=1 em relação à equação
(x-1)^{2}\cdot \ln(1+x)=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
f(x)=(x-1)^{2}\cdot \ln(1+x)
e queremos a multiplicidade algébrica da raiz x=1.

Passo 2

Definição e estratégias para encontrar multiplicidade algébrica (explicação didática):
  • A multiplicidade algébrica de uma raiz r de uma função f (quando faz sentido falar nisso) é o maior inteiro m\ge 1 tal que f(x) pode ser escrito na forma
f(x)=(x-r)^{m}g(x),
onde g é uma função que não é zero em x=r (isto é, g(r)\neq 0). Intuitivamente: quantas potências de (x-r) aparecem fatoradas em f.
  • Métodos práticos para verificar m:
    1. Se a expressão já é produto de fatores, verificar diretamente o expoente de (x-r) e checar que os demais fatores não se anulam em x=r.
    2. Usar limite
    \lim_{x\to r}\frac{f(x)}{(x-r)^{k}}para encontrar o menor k tal que esse limite é diferente de zero: então m=k.
    3. Critério das derivadas: se f(r)=f'(r)=\cdots=f^{(m-1)}(r)=0 e f^{(m)}(r)\neq 0, então a multiplicidade é m.
    Vou usar os dois primeiros (fatorização/valor do outro fator em x=1 e o critério das derivadas) para ficar bem claro.

Passo 3

Aplicação direta da fatorização presente na função:
Observamos que f(x)=(x-1)^{2}\cdot \ln(1+x) já está numa forma fatorada com o fator (x-1)^{2}. Para que a multiplicidade fosse maior que 2 seria necessário que o outro fator \ln(1+x) também se anulasse em x=1. Vamos avaliar esse fator em x=1:
\ln(1+1)=\ln 2.
Como \ln 2\neq 0, o fator \ln(1+x) não anula em x=1. Portanto f tem exatamente duas potências do fator (x-1) e o restante não se anula: isto já mostra que a multiplicidade algébrica de x=1 é 2.

Passo 4

Verificação pelo limite (segunda forma, para consolidar a ideia):
Calculemos
\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{(x-1)^{2}}=\lim_{x\to 1}\ln(1+x)=\ln 2\neq 0.
Como esse limite é finito e não nulo para k=2, a multiplicidade é m=2 (é o menor k tal que o limite é não nulo).

Passo 5

Verificação pelo critério das derivadas (passo a passo das derivadas, para prática em prova):
Definimos f(x)=(x-1)^{2}\ln(1+x).
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Primeira derivada:
f'(x)=2(x-1)\ln(1+x)+(x-1)^{2}\cdot\frac{1}{1+x}.
Avaliação em x=1:
f'(1)=2(0)\ln 2+(0)^{2}\cdot\frac{1}{2}=0.
Segunda derivada (derivando f'(x) termo a termo; mostro os passos):
Começo com
f'(x)=2(x-1)\ln(1+x)+(x-1)^{2}(1+x)^{-1}.
Derivando:
\begin{aligned} f''(x)&=2\big[\ln(1+x)+(x-1)\cdot\frac{1}{1+x}\big]+2\frac{(x-1)}{1+x}-(x-1)^{2}\frac{1}{(1+x)^{2}}\\\ &=2\ln(1+x)+4\frac{x-1}{1+x}-\frac{(x-1)^{2}}{(1+x)^{2}}. \end{aligned}
Agora avaliamos em x=1:
f''(1)=2\ln 2+4\cdot\frac{0}{2}-0=2\ln 2\neq 0.
Portanto f(1)=f'(1)=0 e f''(1)\neq 0, o que confirma pelo critério das derivadas que a multiplicidade é 2.

Passo 6

Conclusão final baseada nas três verificações (fatorização, limite e derivadas): a raiz x=1 é uma raiz de multiplicidade algébrica 2. Força aí — você já tem três maneiras de justificar isso numa prova!

Resposta

2

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