Determine a multiplicidade algébrica das seguintes raízes em relação à equação respectiva.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a multiplicidade algébrica da raiz
em relação à equação
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
e queremos a multiplicidade algébrica da raiz
.
Passo 2
Definição e estratégias para encontrar multiplicidade algébrica (explicação didática):
- A multiplicidade algébrica de uma raiz
de uma função (quando faz sentido falar nisso) é o maior inteiro tal que pode ser escrito na forma
onde
é uma função que não é zero em
(isto é,
). Intuitivamente: quantas potências de
aparecem fatoradas em
.
- Métodos práticos para verificar
: - Se a expressão já é produto de fatores, verificar diretamente o expoente de
e checar que os demais fatores não se anulam em . - Usar limite
para encontrar o menor tal que esse limite é diferente de zero: então .
3. Critério das derivadas: see , então a multiplicidade é .
Vou usar os dois primeiros (fatorização/valor do outro fator eme o critério das derivadas) para ficar bem claro. - Se a expressão já é produto de fatores, verificar diretamente o expoente de
Passo 3
Aplicação direta da fatorização presente na função:
Observamos que já está numa forma fatorada com o fator
. Para que a multiplicidade fosse maior que
seria necessário que o outro fator
também se anulasse em
. Vamos avaliar esse fator em
:
Observamos que
Como
, o fator
não anula em
. Portanto
tem exatamente duas potências do fator
e o restante não se anula: isto já mostra que a multiplicidade algébrica de
é
.
Passo 4
Verificação pelo limite (segunda forma, para consolidar a ideia):
Calculemos
Calculemos
Como esse limite é finito e não nulo para
, a multiplicidade é
(é o menor
tal que o limite é não nulo).
Passo 5
Verificação pelo critério das derivadas (passo a passo das derivadas, para prática em prova):
Definimos .
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Definimos
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Primeira derivada:
Avaliação em
:
Segunda derivada (derivando
termo a termo; mostro os passos):
Começo com
Começo com
Derivando:
Agora avaliamos em
:
Portanto
e
, o que confirma pelo critério das derivadas que a multiplicidade é
.
Passo 6
Conclusão final baseada nas três verificações (fatorização, limite e derivadas): a raiz
é uma raiz de multiplicidade algébrica
. Força aí — você já tem três maneiras de justificar isso numa prova!