Determine a multiplicidade algébrica das seguintes raízes em relação à equação respectiva.
em
Passo 1
O enunciado pede: determinar a multiplicidade algébrica de
, como raiz da equação
Informações dadas: o polinômio
e o candidato a raiz
. A pergunta é: qual é a multiplicidade algébrica dessa raiz (ou seja, qual o maior inteiro
tal que
divide
)?
Passo 2
O que é multiplicidade algébrica (explicação didática)?\n
- Dizemos que
é raiz de multiplicidade de um polinômio se divide e não divide . Em prática isso significa que podemos escrever
com
.\n
- Dois testes práticos equivalentes para determinar
:\n - Fazer divisões sucessivas de
por (ou usar divisão sintética) até obter resto diferente de zero; o número de divisões sem resto é .\n - Usar derivadas:
tem multiplicidade se e somente se
e .\n
Vou usar o método (1) porque é muito direto na prova: divisão sintética poré simples (quando , basta somar acumuladamente os coeficientes). - Fazer divisões sucessivas de
Passo 3
Explicando divisão sintética para
(passo a passo):\n
- Escrevemos os coeficientes de
na ordem decrescente de graus. Para nosso os coeficientes são
- No processo de divisão sintética por
com como “teste”, trazemos o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por , somamos ao próximo coeficiente, e repetimos. O último valor obtido é o resto; se for zero, a divisão é exata e o restante dos valores são os coeficientes do quociente.
Vamos aplicar a primeira divisão sintética por
.
Passo 4
Primeira divisão sintética por
:\n
Coeficientes iniciais:
Coeficientes iniciais:
Processo (mostro linha a linha):
Resultado: quociente com coeficientes
ou seja o quociente é
e o resto é
. Conclusão:
é raiz (pelo menos de multiplicidade
).]
Passo 5
Segunda divisão sintética por
(agora aplicamos sobre o quociente anterior):\n
Coeficientes atuais:
Coeficientes atuais:
Aplicando o mesmo processo:
Quociente novo:
ou seja
resto
. Conclusão: já temos pelo menos multiplicidade
.]
Passo 6
Terceira divisão sintética por
(sobre o novo quociente):\n
Coeficientes:
Coeficientes:
Processo:
Quociente novo:
ou seja
resto
. Conclusão: multiplicidade pelo menos
.]
Passo 7
Quarta divisão sintética por
(sobre o quociente cúbico):\n
Coeficientes:
Coeficientes:
Processo:
Quociente novo:
ou seja
resto
. Conclusão: multiplicidade pelo menos
.]
Passo 8
Quinta tentativa de divisão sintética por
(sobre o quociente quadrático):\n
Coeficientes:
Coeficientes:
Processo:
Desta vez o resto é
. Portanto
não divide mais o polinômio resultante. Conclusão: conseguimos dividir exatamente por
exatamente
vezes, e na quinta tentativa o resto é não nulo. Logo a multiplicidade algébrica de
é
.]
Passo 9
Verificação alternativa (por derivadas) — explicação e checagem rápida:\n
- Critério: se
e então multiplicidade .\n
Calculemos rapidamente (só avaliando em, mostrando que os primeiros quatro são zero e o quinto não):\n
Portanto
e
, confirmando multiplicidade
.