Determine a multiplicidade algébrica das seguintes raízes em relação à equação respectiva.
x=1 em x^{6}-2 x^{5}-3 x^{4}+12 x^{3}-13 x^{2}+6 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a multiplicidade algébrica de \,x=1, como raiz da equação
x^{6}-2 x^{5}-3 x^{4}+12 x^{3}-13 x^{2}+6 x-1=0.
Informações dadas: o polinômio f(x)=x^{6}-2 x^{5}-3 x^{4}+12 x^{3}-13 x^{2}+6 x-1 e o candidato a raiz x=1. A pergunta é: qual é a multiplicidade algébrica dessa raiz (ou seja, qual o maior inteiro m\ge1 tal que (x-1)^m divide f(x))?

Passo 2

O que é multiplicidade algébrica (explicação didática)?\n
  • Dizemos que x=a é raiz de multiplicidade m de um polinômio f(x) se (x-a)^m divide f(x) e (x-a)^{m+1} não divide f(x). Em prática isso significa que podemos escrever
f(x)=(x-a)^m g(x)
com g(a)\neq0.\n
  • Dois testes práticos equivalentes para determinar m:\n
    1. Fazer divisões sucessivas de f(x) por (x-a) (ou usar divisão sintética) até obter resto diferente de zero; o número de divisões sem resto é m.\n
    2. Usar derivadas: a tem multiplicidade m se e somente se
    f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0e f^{(m)}(a)\neq0.\n
    Vou usar o método (1) porque é muito direto na prova: divisão sintética por x-1 é simples (quando a=1, basta somar acumuladamente os coeficientes).

Passo 3

Explicando divisão sintética para x=1 (passo a passo):\n
  • Escrevemos os coeficientes de f(x) na ordem decrescente de graus. Para nosso f os coeficientes são
1,\;-2,\;-3,\;12,\;-13,\;6,\;-1.
  • No processo de divisão sintética por (x-1) com 1 como “teste”, trazemos o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por 1, somamos ao próximo coeficiente, e repetimos. O último valor obtido é o resto; se for zero, a divisão é exata e o restante dos valores são os coeficientes do quociente.
Vamos aplicar a primeira divisão sintética por x-1.

Passo 4

Primeira divisão sintética por x-1:\n
Coeficientes iniciais:
1,\;-2,\;-3,\;12,\;-13,\;6,\;-1.
Processo (mostro linha a linha):
\begin{array}{rrrrrrr} \text{Coef.} & 1 & -2 & -3 & 12 & -13 & 6 & -1\\[2pt] \text{Trazer} & \downarrow & & & & & & \\\ \text{Acumular} & 1 & & & & & & \\\ \text{Mult. por }1 & & 1 & & & & & \\\ \text{Somar} & 1 & -1 & & & & & \\\ \text{Mult.} & & & -1 & & & & \\\ \text{Somar} & 1 & -1 & -4 & & & & \\\ \text{Mult.} & & & & -4 & & & \\\ \text{Somar} & 1 & -1 & -4 & 8 & & & \\\ \text{Mult.} & & & & & 8 & & \\\ \text{Somar} & 1 & -1 & -4 & 8 & -5 & & \\\ \text{Mult.} & & & & & & -5& \\\ \text{Somar} & 1 & -1 & -4 & 8 & -5 & 1 & \\\ \text{Mult.} & & & & & & & 1 \\\ \text{Somar (resto)} & 1 & -1 & -4 & 8 & -5 & 1 & 0 \end{array}
Resultado: quociente com coeficientes
1,\;-1,\;-4,\;8,\;-5,\;1
ou seja o quociente é
x^{5}-x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-5x+1,
e o resto é 0. Conclusão: x=1 é raiz (pelo menos de multiplicidade 1).]

Passo 5

Segunda divisão sintética por x-1 (agora aplicamos sobre o quociente anterior):\n
Coeficientes atuais:
1,\;-1,\;-4,\;8,\;-5,\;1.
Aplicando o mesmo processo:
\begin{array}{rrrrrr} \text{Coef.} & 1 & -1 & -4 & 8 & -5 & 1\\[2pt] \text{Trazer} & \downarrow & & & & & \\\ \text{Acumular} & 1 & & & & & \\\ \text{Mult.} & & 1 & & & & \\\ \text{Somar} & 1 & 0 & & & & \\\ \text{Mult.} & & & 0 & & & \\\ \text{Somar} & 1 & 0 & -4 & & & \\\ \text{Mult.} & & & & -4 & & \\\ \text{Somar} & 1 & 0 & -4 & 4 & & \\\ \text{Mult.} & & & & & 4 & \\\ \text{Somar} & 1 & 0 & -4 & 4 & -1 & \\\ \text{Mult.} & & & & & & -1\\\ \text{Somar (resto)} & 1 & 0 & -4 & 4 & -1 & 0 \end{array}
Quociente novo:
1,\;0,\;-4,\;4,\;-1
ou seja
x^{4}-4x^{2}+4x-1,
resto 0. Conclusão: já temos pelo menos multiplicidade 2.]

Passo 6

Terceira divisão sintética por x-1 (sobre o novo quociente):\n
Coeficientes:
1,\;0,\;-4,\;4,\;-1.
Processo:
\begin{array}{rrrrr} \text{Coef.} & 1 & 0 & -4 & 4 & -1\\[2pt] \text{Trazer} & \downarrow & & & & \\\ \text{Acumular} & 1 & & & & \\\ \text{Mult.} & & 1 & & & \\\ \text{Somar} & 1 & 1 & & & \\\ \text{Mult.} & & & 1 & & \\\ \text{Somar} & 1 & 1 & -3 & & \\\ \text{Mult.} & & & & -3 & \\\ \text{Somar} & 1 & 1 & -3 & 1 & \\\ \text{Mult.} & & & & & 1 \\\ \text{Somar (resto)} & 1 & 1 & -3 & 1 & 0 \end{array}
Quociente novo:
1,\;1,\;-3,\;1
ou seja
x^{3}+x^{2}-3x+1,
resto 0. Conclusão: multiplicidade pelo menos 3.]

Passo 7

Quarta divisão sintética por x-1 (sobre o quociente cúbico):\n
Coeficientes:
1,\;1,\;-3,\;1.
Processo:
\begin{array}{rrrr} \text{Coef.} & 1 & 1 & -3 & 1\\[2pt] \text{Trazer} & \downarrow & & & \\\ \text{Acumular} & 1 & & & \\\ \text{Mult.} & & 1 & & \\\ \text{Somar} & 1 & 2 & & \\\ \text{Mult.} & & & 2 & \\\ \text{Somar} & 1 & 2 & -1 & \\\ \text{Mult.} & & & & -1\\\ \text{Somar (resto)} & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}
Quociente novo:
1,\;2,\;-1
ou seja
x^{2}+2x-1,
resto 0. Conclusão: multiplicidade pelo menos 4.]

Passo 8

Quinta tentativa de divisão sintética por x-1 (sobre o quociente quadrático):\n
Coeficientes:
1,\;2,\;-1.
Processo:
\begin{array}{rrr} \text{Coef.} & 1 & 2 & -1\\[2pt] \text{Trazer} & \downarrow & & \\\ \text{Acumular} & 1 & & \\\ \text{Mult.} & & 1 & \\\ \text{Somar} & 1 & 3 & \\\ \text{Mult.} & & & 3 \\\ \text{Somar (resto)} & 1 & 3 & 2 \end{array}
Desta vez o resto é 2\neq0. Portanto (x-1) não divide mais o polinômio resultante. Conclusão: conseguimos dividir exatamente por (x-1) exatamente 4 vezes, e na quinta tentativa o resto é não nulo. Logo a multiplicidade algébrica de x=1 é 4.]

Passo 9

Verificação alternativa (por derivadas) — explicação e checagem rápida:\n
  • Critério: se f(1)=f'(1)=\cdots=f^{(m-1)}(1)=0 e f^{(m)}(1)\neq0 então multiplicidade m.\n
    Calculemos rapidamente (só avaliando em x=1, mostrando que os primeiros quatro são zero e o quinto não):\n
f(1)=0 \quad(\text{já obtido})á
f'(x)=6x^{5}-10x^{4}-12x^{3}+36x^{2}-26x+6,\quad f'(1)=0
f''(x)=30x^{4}-40x^{3}-36x^{2}+72x-26,\quad f''(1)=0
f^{(3)}(x)=120x^{3}-120x^{2}-72x+72,\quad f^{(3)}(1)=0
f^{(4)}(x)=360x^{2}-240x-72,\quad f^{(4)}(1)=360-240-72=48\neq0.
Portanto f(1)=f'(1)=f''(1)=f^{(3)}(1)=0 e f^{(4)}(1)\neq0, confirmando multiplicidade 4.

Resposta

4

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