Um cilindro oco muito longo possui raio
e carga distribuída uniformemente em sua superfície com densidade superficial
.
Determine o campo elétrico: No exterior para
.
Determine o campo elétrico: No exterior para
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico no exterior de um cilindro oco muito longo com carga uniformemente distribuída na superfície. Dados fornecidos:
- Raio do cilindro:
. - Densidade superficial de carga:
. - Ponto onde se quer o campo:
(está no exterior porque ).
O que é pedido: determinar o vetor campo elétricoem .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
- Por causa do cilindro “muito longo” e da distribuição uniforme na superfície, o problema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico só depende da distância radial
ao eixo, é radial (aponta para fora se a carga for positiva) e tem o mesmo módulo em qualquer ponto a mesma distância do eixo. - A ferramenta natural é a Lei de Gauss. A Lei de Gauss em forma integral diz:
onde
é uma superfície fechada,
é a carga total contida dentro de
e
é a permissividade do vácuo (constante).
- Para explorar a simetria cilíndrica, escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica, coaxial ao cilindro carregado, de raio
e comprimento . Nessa superfície, é constante em módulo na parede lateral e perpendicular à área lateral, o que simplifica a integral.
Passo 3
Calcular a carga encerrada pela superfície gaussiana:
- A carga está distribuída na superfície do cilindro de raio
com densidade (unidade ). - A carga por unidade de comprimento (densidade linear
, unidade ) da casca é dada por área de superfície por comprimento . Assim:
- A carga encerrada por um trecho de comprimento
da casca é
(Explicando: multiplicou-se a densidade superficial
pela área da superfície do trecho de comprimento
, que é
.)
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss para obter a fórmula do campo para
:
- A superfície gaussiana escolhida tem três partes: as duas tampas e a parede lateral. Pelo argumento de simetria e pelo fato de
ser radial, a contribuição das tampas é zero (o campo é tangente às tampas). Só a parede lateral contribui. - O fluxo através da parede lateral é
, porque é constante na lateral e a área lateral é . - Pelo lado direito da Lei de Gauss usamos
. Então:
- Cancelando
de ambos os lados obtemos a expressão do módulo do campo no exterior:
- Interpretação: o campo decai como
fora de um cilindro infinito carregado, e depende de e do raio da casca.
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular (contas explicadas passo a passo):
- Valores numéricos:
, , , . - Calcular
:
- Calcular
:
(ou, em unidades compatíveis,
que leva a
no resultado final.)
- Dividindo:
- Sinal e direção: como
, o campo aponta radialmente para fora do eixo. Em notação vetorial: