Um cilindro oco muito longo possui raio \mathrm{R}=0,15 \mathrm{~m} e carga distribuída uniformemente em sua superfície com densidade superficial \sigma=4 \mu \mathrm{C}.
Determine o campo elétrico: No exterior para \mathrm{r}=0,30 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no exterior de um cilindro oco muito longo com carga uniformemente distribuída na superfície. Dados fornecidos:
  • Raio do cilindro: \,R=0,15\\ \mathrm{m}.
  • Densidade superficial de carga: \,\sigma=4\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
  • Ponto onde se quer o campo: \,r=0,30\\ \mathrm{m} (está no exterior porque r>R).
    O que é pedido: determinar o vetor campo elétrico \mathbf{E} em \,r=0,30\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática):
  • Por causa do cilindro “muito longo” e da distribuição uniforme na superfície, o problema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico só depende da distância radial r ao eixo, é radial (aponta para fora se a carga for positiva) e tem o mesmo módulo em qualquer ponto a mesma distância do eixo.
  • A ferramenta natural é a Lei de Gauss. A Lei de Gauss em forma integral diz:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \mathcal{S} é uma superfície fechada, Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
  • Para explorar a simetria cilíndrica, escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica, coaxial ao cilindro carregado, de raio r e comprimento L. Nessa superfície, \mathbf{E} é constante em módulo na parede lateral e perpendicular à área lateral, o que simplifica a integral.

Passo 3

Calcular a carga encerrada pela superfície gaussiana:
  • A carga está distribuída na superfície do cilindro de raio R com densidade \sigma (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^2).
  • A carga por unidade de comprimento (densidade linear \lambda, unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}) da casca é dada por área de superfície por comprimento =2\pi R. Assim:
\lambda=\sigma\cdot(2\pi R).
  • A carga encerrada por um trecho de comprimento L da casca é
Q_{\text{int}}=\lambda L = \sigma (2\pi R) L.
(Explicando: multiplicou-se a densidade superficial \sigma pela área da superfície do trecho de comprimento L, que é 2\pi R L.)

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss para obter a fórmula do campo para r>R:
  • A superfície gaussiana escolhida tem três partes: as duas tampas e a parede lateral. Pelo argumento de simetria e pelo fato de \mathbf{E} ser radial, a contribuição das tampas é zero (o campo é tangente às tampas). Só a parede lateral contribui.
  • O fluxo através da parede lateral é \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot(2\pi r L), porque E(r) é constante na lateral e a área lateral é 2\pi r L.
  • Pelo lado direito da Lei de Gauss usamos Q_{\text{int}}=\sigma(2\pi R)L. Então:
E(r)\, (2\pi r L)=\frac{\sigma (2\pi R) L}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando 2\pi L de ambos os lados obtemos a expressão do módulo do campo no exterior:
E(r)=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0\, r}.
  • Interpretação: o campo decai como 1/r fora de um cilindro infinito carregado, e depende de \sigma e do raio R da casca.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular (contas explicadas passo a passo):
  • Valores numéricos: \sigma=4\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2, R=0,15\\ \mathrm{m}, r=0,30\\ \mathrm{m}, \varepsilon_0\approx8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • Calcular \sigma R:
\sigma R = \left(4\times10^{-6}\right)\cdot0,15 = 6\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}.
  • Calcular \varepsilon_0 r:
\varepsilon_0 r \approx \left(8,85\times10^{-12}\right)\cdot0,30 = 2,655\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
(ou, em unidades compatíveis, \mathrm{C}/\mathrm{V}\cdot\mathrm{m} que leva a \mathrm{V}/\mathrm{m} no resultado final.)
  • Dividindo:
E(r)=\frac{6\times10^{-7}}{2,655\times10^{-12}}\approx2{,}26\times10^{5}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Sinal e direção: como \sigma>0, o campo aponta radialmente para fora do eixo. Em notação vetorial:
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r} \quad\text{com}\quad \hat{r}\\ \text{o versor radial para fora.}

Resposta

\mathbf{E}(0,30\\ \mathrm{m})\approx2{,}26\times10^{5}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}\\ \hat{r}

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