Um cilindro oco muito longo possui raio \mathrm{R}=0,15 \mathrm{~m} e carga distribuída uniformemente em sua superfície com densidade superficial \sigma=4 \mu \mathrm{C}.
Determine o campo elétrico: No interior do cilindro. Explique por que o campo elétrico interno assume esse valor.

Passo 1

O enunciado fornece um cilindro oco muito longo com raio R=0,15\\ \mathrm{m} e carga distribuída uniformemente sobre a sua superfície com densidade superficial \sigma=4\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. A pergunta é: determinar o campo elétrico no interior do cilindro e explicar por que o campo interno assume esse valor.
Informações relevantes dadas:
  • Raio da casca cilíndrica: R=0,15\\ \mathrm{m}.
  • Densidade superficial de carga na superfície do cilindro: \sigma=4\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
  • O cilindro é “muito longo” (aproximação de comprimento infinito).
  • A carga está somente na superfície do cilindro (casca oca), distribuída uniformemente.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática):
Para problemas com geometria altamente simétrica (esfera, cilindro, plano), a Lei de Gauss é a ferramenta mais simples e direta. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica total contida nessa superfície. Vou usar a Lei de Gauss porque:
  • O cilindro é longo e simétrico em torno do eixo: isso garante que o campo elétrico, se existir, terá direção radial e mesmo módulo em pontos que estejam à mesma distância radial do eixo.
  • Como a carga está distribuída sobre a superfície do cilindro, uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial permite avaliar facilmente a carga envolvida.
    A Lei de Gauss (em forma integral) é:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é um elemento de área com direção normal exterior, Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Vou aplicar essa lei a uma superfície gaussiana adequada.

Passo 3

Escolha e descrição da superfície gaussiana; análise de simetria:
  • Escolho como superfície gaussiana um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de comprimento arbitrário L e raio r, com 0\le r<R (ou seja, o cilindro gaussiano está inteiramente dentro da casca).
  • Por causa da simetria cilíndrica e do fato de o cilindro ser muito longo, o campo elétrico, se não nulo, deve:
    • ter direção radial (isto é, ao longo de \hat{r}),
    • depender apenas da distância radial r ao eixo (não depende de ângulo azimutal nem de z),
    • ter o mesmo módulo E(r) em todos os pontos da superfície lateral do cilindro gaussiano.
  • Nas tampas (as bases planas) do cilindro gaussiano o vetor normal é paralelo ao eixo; como \mathbf{E} é radial, \mathbf{E} é ortogonal ao vetor normal das tampas, logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas.

Passo 4

Cálculo do fluxo e uso direto da Lei de Gauss:
  • O único lugar onde há fluxo não nulo é a superfície lateral do cilindro gaussiano. O elemento de área da lateral vale dA = r\,d\varphi\,dz, e integrando dá a área lateral A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • Como \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre a lateral,
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot A_{\text{lat}} = E(r)\cdot (2\pi r L).
  • Agora precisamos de Q_{\text{int}}: é a carga total contida no interior da superfície gaussiana. Como toda a carga do problema está localizada na superfície do cilindro de raio R e nossa superfície gaussiana tem raio r<R, NÃO existe carga dentro da superfície gaussiana. Portanto
Q_{\text{int}}=0.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot (2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
  • Como 2\pi r L é diferente de zero para r>0, segue que
E(r)=0\quad\text{para todo }0\le r<R.
Observação: no ponto r=0 (eixo), a expressão faz sentido no limite; o campo é zero também ali por continuidade e simetria.

Passo 5

Interpretação física e por que o resultado não depende dos valores numéricos fornecidos:
  • Fisicamente: cada elemento de carga na casca cilíndrica produz um campo no interior, mas pela simetria circular as componentes radiais dessas contribuições se cancelam por pares ao somar sobre toda a circunferência. O resultado é que o campo resultante no interior é nulo por superposição e simetria.
  • Matematicamente: a Lei de Gauss diz que o campo só depende da carga contida dentro da superfície fechada escolhida. Como dentro (para r<R) não há carga, o fluxo total é zero e, pela simetria, o campo deve ser zero em todo ponto interno. Isso vale independentemente do valor de \sigma ou de R — contanto que toda a carga esteja na superfície externa e a distribuição seja simétrica (uniforme) e o cilindro seja longo o bastante para desprezar efeitos das bordas.

Resposta

\mathbf{E}=\mathbf{0} para 0\le r<R.

Exercícios relacionados