Um cilindro oco muito longo possui raio
e carga distribuída uniformemente em sua superfície com densidade superficial
.
Determine o campo elétrico: No interior do cilindro. Explique por que o campo elétrico interno assume esse valor.
Determine o campo elétrico: No interior do cilindro. Explique por que o campo elétrico interno assume esse valor.
Passo 1
O enunciado fornece um cilindro oco muito longo com raio
e carga distribuída uniformemente sobre a sua superfície com densidade superficial
. A pergunta é: determinar o campo elétrico no interior do cilindro e explicar por que o campo interno assume esse valor.
Informações relevantes dadas:
- Raio da casca cilíndrica:
. - Densidade superficial de carga na superfície do cilindro:
. - O cilindro é “muito longo” (aproximação de comprimento infinito).
- A carga está somente na superfície do cilindro (casca oca), distribuída uniformemente.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática):
Para problemas com geometria altamente simétrica (esfera, cilindro, plano), a Lei de Gauss é a ferramenta mais simples e direta. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica total contida nessa superfície. Vou usar a Lei de Gauss porque:
Para problemas com geometria altamente simétrica (esfera, cilindro, plano), a Lei de Gauss é a ferramenta mais simples e direta. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica total contida nessa superfície. Vou usar a Lei de Gauss porque:
- O cilindro é longo e simétrico em torno do eixo: isso garante que o campo elétrico, se existir, terá direção radial e mesmo módulo em pontos que estejam à mesma distância radial do eixo.
- Como a carga está distribuída sobre a superfície do cilindro, uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial permite avaliar facilmente a carga envolvida.
A Lei de Gauss (em forma integral) é:
onde
é o campo elétrico,
é um elemento de área com direção normal exterior,
é a carga total dentro da superfície fechada
e
é a permissividade do vácuo. Vou aplicar essa lei a uma superfície gaussiana adequada.
Passo 3
Escolha e descrição da superfície gaussiana; análise de simetria:
- Escolho como superfície gaussiana um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de comprimento arbitrário
e raio , com (ou seja, o cilindro gaussiano está inteiramente dentro da casca). - Por causa da simetria cilíndrica e do fato de o cilindro ser muito longo, o campo elétrico, se não nulo, deve:
- ter direção radial (isto é, ao longo de
), - depender apenas da distância radial
ao eixo (não depende de ângulo azimutal nem de ), - ter o mesmo módulo
em todos os pontos da superfície lateral do cilindro gaussiano.
- ter direção radial (isto é, ao longo de
- Nas tampas (as bases planas) do cilindro gaussiano o vetor normal é paralelo ao eixo; como
é radial, é ortogonal ao vetor normal das tampas, logo nas tampas.
Passo 4
Cálculo do fluxo e uso direto da Lei de Gauss:
- O único lugar onde há fluxo não nulo é a superfície lateral do cilindro gaussiano. O elemento de área da lateral vale
, e integrando dá a área lateral . - Como
é radial e tem módulo constante sobre a lateral,
- Agora precisamos de
: é a carga total contida no interior da superfície gaussiana. Como toda a carga do problema está localizada na superfície do cilindro de raio e nossa superfície gaussiana tem raio , NÃO existe carga dentro da superfície gaussiana. Portanto
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Como
é diferente de zero para , segue que
Observação: no ponto
(eixo), a expressão faz sentido no limite; o campo é zero também ali por continuidade e simetria.
Passo 5
Interpretação física e por que o resultado não depende dos valores numéricos fornecidos:
- Fisicamente: cada elemento de carga na casca cilíndrica produz um campo no interior, mas pela simetria circular as componentes radiais dessas contribuições se cancelam por pares ao somar sobre toda a circunferência. O resultado é que o campo resultante no interior é nulo por superposição e simetria.
- Matematicamente: a Lei de Gauss diz que o campo só depende da carga contida dentro da superfície fechada escolhida. Como dentro (para
) não há carga, o fluxo total é zero e, pela simetria, o campo deve ser zero em todo ponto interno. Isso vale independentemente do valor de ou de — contanto que toda a carga esteja na superfície externa e a distribuição seja simétrica (uniforme) e o cilindro seja longo o bastante para desprezar efeitos das bordas.