Um cilindro oco muito longo possui raio
e carga distribuída uniformemente em sua superfície com densidade superficial
.
Determine o campo elétrico: Na superfície.
Determine o campo elétrico: Na superfície.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o campo elétrico “na superfície” de um cilindro oco muito longo que tem carga uniformemente distribuída sobre sua superfície. As informações dadas são:
- Raio do cilindro:
. - Densidade superficial de carga:
. (Interpretei isto como , que é a forma usual.) - O cilindro é muito longo (ou seja, podemos tratar como cilíndrico infinito para aplicar simetrias).
O que se quer exatamente: o valor do campo elétrico no ponto localizado sobre a superfície do cilindro (isto é, em), incluindo direção.
Passo 2
Ideia física e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Para problemas com simetria cilíndrica e cargas distribuídas uniformemente ao longo de um cilindro longo, a forma mais simples de calcular o campo é usar a Lei de Gauss. Vou explicar essa lei de forma simples.
- Lei de Gauss (forma integral): a partir da eletrostática, para qualquer superfície fechada vale
onde
é o campo elétrico,
é um elemento de área com direção normal para fora,
é a carga total contida dentro da superfície fechada, e
é a permissividade do vácuo.
- Por simetria cilíndrica: o campo elétrico resultante tem apenas componente radial (isto é, aponta para fora ou para dentro no sentido
) e depende apenas da distância radial ao eixo do cilindro: . - Para aplicar a Lei de Gauss escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o cilindro carregado. Essa superfície tem raio
e comprimento . Assim o fluxo simplifica porque em todo o cilindro lateral é paralelo a e constante em módulo. - Vamos analisar dois casos distintos: (i) pontos no interior do cilindro oco (
), e (ii) pontos na região externa ( ). Depois obteremos os limites imediatamente dentro e imediatamente fora da superfície . Por fim, explicarei o que se costuma entender por “campo na superfície” (média dos limites) e calcularei numericamente.
Passo 3
Aplicação da Lei de Gauss para
(ponto no interior do cilindro oco):
- Escolho uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento . A carga contida dentro dessa superfície é zero, porque toda a carga está distribuída apenas sobre a superfície do cilindro de raio (e não alcança essa superfície). - Pela Lei de Gauss:
- O fluxo através das tampas do cilindro gaussiano é zero porque o campo é radial e as tampas têm normais paralelos ao eixo; o único fluxo possível é pela superfície lateral, que vale
. Assim
- Conclusão: o campo imediatamente dentro da superfície (limite
) é
Passo 4
Aplicação da Lei de Gauss para
(ponto fora do cilindro):
- Agora escolho uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento . A carga total contida nessa superfície é a carga da casca de raio interceptada pelo comprimento . Como a carga está distribuída uniformemente na superfície, a carga contida é
- Aplicando a Lei de Gauss ao cilindro gaussiano:
- Isolando
:
- Conclusão: para
o campo é radial, apontando para fora (se ), com módulo
- Em particular, o valor imediatamente fora da superfície (limite
) é
Passo 5
Descontinuidade do campo na superfície e definição do campo “na superfície”:
- Observamos que há uma descontinuidade na componente normal (radial) do campo atravessando a casca carregada:
e . - Para uma superfície de carga ideal, a componente normal do campo tem o salto (fórmula geral):
- Quando a questão pede o campo “na superfície”, em eletrostática costuma-se adotar como valor do campo exatamente sobre a superfície a média dos dois limites laterais:
Isto corresponde ao valor do campo “no próprio ponto da superfície” quando a superfície tem carga distribuída idealmente — é uma convenção usada em muitos exercícios e fórmulas (por exemplo, ao relacionar tensões de campo em superfícies infinitamente finas).
- Aplicando essa média:
- O campo é radial e aponta para fora se
. No nosso caso (carga positiva), então a direção é no sentido para fora.
Passo 6
Cálculo numérico detalhado (passo a passo, sem pular contas):
- Dados numéricos usados:
-
. -
.
-
- Formula que vamos usar (valor na superfície pela média):
- Substituindo números:
- Primeiro calcule o denominador:
. - Agora a divisão de potências de dez:
- Calcule a fração
. Uma forma manual sem calculadora: , então é um pouco maior que . Fazendo uma aproximação razoável, . - Assim
- Direção: radial para fora (isto é, no sentido
) porque é positivo. - Se alguém preferir, pode também apresentar os valores lado a lado dos limites:
-
. -
. - Média
.
-