Um cilindro oco muito longo possui raio \mathrm{R}=0,15 \mathrm{~m} e carga distribuída uniformemente em sua superfície com densidade superficial \sigma=4 \mu \mathrm{C}.
Determine o campo elétrico: Na superfície.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o campo elétrico “na superfície” de um cilindro oco muito longo que tem carga uniformemente distribuída sobre sua superfície. As informações dadas são:
  • Raio do cilindro: \,R=0,15\\ \mathrm{m}.
  • Densidade superficial de carga: \,\sigma=4\\ \mu\mathrm{C}. (Interpretei isto como \sigma=4\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}, que é a forma usual.)
  • O cilindro é muito longo (ou seja, podemos tratar como cilíndrico infinito para aplicar simetrias).
    O que se quer exatamente: o valor do campo elétrico no ponto localizado sobre a superfície do cilindro (isto é, em r=R), incluindo direção.

Passo 2

Ideia física e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Para problemas com simetria cilíndrica e cargas distribuídas uniformemente ao longo de um cilindro longo, a forma mais simples de calcular o campo é usar a Lei de Gauss. Vou explicar essa lei de forma simples.
  • Lei de Gauss (forma integral): a partir da eletrostática, para qualquer superfície fechada vale
\oint_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},í
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é um elemento de área com direção normal para fora, Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada, e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Por simetria cilíndrica: o campo elétrico resultante tem apenas componente radial (isto é, aponta para fora ou para dentro no sentido \hat{r}) e depende apenas da distância radial r ao eixo do cilindro: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
  • Para aplicar a Lei de Gauss escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o cilindro carregado. Essa superfície tem raio r e comprimento L. Assim o fluxo \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} simplifica porque em todo o cilindro lateral \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} e constante em módulo.
  • Vamos analisar dois casos distintos: (i) pontos no interior do cilindro oco ( r<R), e (ii) pontos na região externa ( r>R). Depois obteremos os limites imediatamente dentro e imediatamente fora da superfície r=R. Por fim, explicarei o que se costuma entender por “campo na superfície” (média dos limites) e calcularei numericamente.

Passo 3

Aplicação da Lei de Gauss para r<R (ponto no interior do cilindro oco):
  • Escolho uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r<R e comprimento L. A carga contida dentro dessa superfície é zero, porque toda a carga está distribuída apenas sobre a superfície do cilindro de raio R (e r<R não alcança essa superfície).
  • Pela Lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
  • O fluxo através das tampas do cilindro gaussiano é zero porque o campo é radial e as tampas têm normais paralelos ao eixo; o único fluxo possível é pela superfície lateral, que vale E(r)\cdot(2\pi r L). Assim
E(r)\cdot(2\pi r L)=0\quad\Rightarrow\quad E(r)=0\quad\text{para }r<R.
  • Conclusão: o campo imediatamente dentro da superfície (limite r\to R^-) é
E(R^-)=0.

Passo 4

Aplicação da Lei de Gauss para r>R (ponto fora do cilindro):
  • Agora escolho uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r>R e comprimento L. A carga total contida nessa superfície é a carga da casca de raio R interceptada pelo comprimento L. Como a carga está distribuída uniformemente na superfície, a carga contida é
Q_{\text{int}}=\sigma\cdot(\text{área lateral da casca de comprimento }L)=\sigma\cdot(2\pi R L).á
  • Aplicando a Lei de Gauss ao cilindro gaussiano:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma\cdot(2\pi R L)}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E(r):
E(r)=\frac{\sigma\cdot(2\pi R L)}{\varepsilon_0\cdot(2\pi r L)}=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0\, r}.
  • Conclusão: para r>R o campo é radial, apontando para fora (se \sigma>0), com módulo
E(r)=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0\, r}.
  • Em particular, o valor imediatamente fora da superfície (limite r\to R^+) é
E(R^+)=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0\, R}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.

Passo 5

Descontinuidade do campo na superfície e definição do campo “na superfície”:
  • Observamos que há uma descontinuidade na componente normal (radial) do campo atravessando a casca carregada: E(R^-)=0 e E(R^+)=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Para uma superfície de carga ideal, a componente normal do campo tem o salto (fórmula geral):
E_{\perp}^{\text{(fora)}}-E_{\perp}^{\text{(dentro)}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Quando a questão pede o campo “na superfície”, em eletrostática costuma-se adotar como valor do campo exatamente sobre a superfície a média dos dois limites laterais:
E(R)=\frac{E(R^+)+E(R^-)}{2}.
Isto corresponde ao valor do campo “no próprio ponto da superfície” quando a superfície tem carga distribuída idealmente — é uma convenção usada em muitos exercícios e fórmulas (por exemplo, ao relacionar tensões de campo em superfícies infinitamente finas).
  • Aplicando essa média:
E(R)=\frac{1}{2}\Big(E(R^+)+E(R^-)\Big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}+0\Big)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • O campo é radial e aponta para fora se \sigma>0. No nosso caso \sigma>0 (carga positiva), então a direção é no sentido \hat{r} para fora.

Passo 6

Cálculo numérico detalhado (passo a passo, sem pular contas):
  • Dados numéricos usados:
    • \sigma=4\\ \mu\mathrm{C/m^{2}}=4\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
    • \varepsilon_0\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
  • Formula que vamos usar (valor na superfície pela média):
E(R)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Substituindo números:
E(R)=\frac{4\times10^{-6}}{2\cdot 8{,}85\times10^{-12}}.
  • Primeiro calcule o denominador: 2\cdot 8{,}85\times10^{-12}=1{,}77\times10^{-11}.
  • Agora a divisão de potências de dez:
\frac{4\times10^{-6}}{1{,}77\times10^{-11}}=\frac{4}{1{,}77}\times10^{(-6)-(-11)}=\frac{4}{1{,}77}\times10^{5}.
  • Calcule a fração \dfrac{4}{1{,}77}. Uma forma manual sem calculadora: 1{,}77\times2=3{,}54, então \dfrac{4}{1{,}77} é um pouco maior que 2. Fazendo uma aproximação razoável, 4/1{,}77\approx2{,}26.
  • Assim
E(R)\approx 2{,}26\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: radial para fora (isto é, no sentido \hat{r}) porque \sigma é positivo.
  • Se alguém preferir, pode também apresentar os valores lado a lado dos limites:
    • E(R^-)=0.
    • E(R^+)=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx 4{,}52\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
    • Média E(R)=\dfrac{1}{2}E(R^+)=2{,}26\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

E(R)=2{,}26\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (direção: radial, para fora).

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