Um cilindro sólido isolante muito longo possui raio
e densidade volumétrica de carga uniforme
. Calcule o campo elétrico:
Na superfície do cilindro.
Na superfície do cilindro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado):
- Raio do cilindro:
. - Densidade volumétrica de carga (uniforme):
. - O cilindro é “muito longo” (podemos tratar como cilíndrico infinito para aplicar simetria).
O enunciado pede: calcular o campo elétrico na superfície do cilindro (ou seja, no ponto a uma distânciado eixo).
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática do que vou usar).
- Quando há distribuição de carga com alta simetria (aqui: simetria cilíndrica e densidade uniforme), a forma mais prática é usar a Lei de Gauss.
- A Lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico normal à superfície fechada vale a carga total interna dividida por
. Em fórmula:
Explicando as variáveis:
-
é o vetor campo elétrico. -
é o vetor área da superfície fechada (módulo igual à área infinitesimal, direção normal para fora). -
é a carga contida dentro dessa superfície. -
é a permissividade do vácuo (constante), . - Pelo problema ter simetria cilíndrica e ser muito longo, o campo elétrico será radial (aponta para fora do eixo) e dependerá só da distância radial
ao eixo. Então escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio e comprimento arbitrário . Essa superfície facilita muito porque: - Em toda a superfície lateral do cilindro de Gauss,
é paralelo a e tem módulo constante . - Nas tampas (faces planas) do cilindro de Gauss o vetor campo é radial enquanto as normais das tampas são axiais, logo
nessas tampas (sem contribuição).
- Em toda a superfície lateral do cilindro de Gauss,
Passo 3
Calcular a carga contida dentro da superfície de Gauss (passo fundamental).
- Volume do cilindro de Gauss de raio
e comprimento :
- Como a densidade volumétrica de carga é uniforme
, a carga contida é:
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss e isolar
.
- Fluxo através da superfície de Gauss: apenas a superfície lateral contribui e o fluxo é
vezes área lateral:
- Pela Lei de Gauss:
- Simplificando (cancelando
e , que são não nulos):
Esta é a expressão do campo elétrico para um cilindro sólido com densidade volumétrica uniforme, válida para
(dentro do cilindro). No nosso caso queremos o campo na superfície, isto é, em
. Substituindo
:
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular (contando as unidades e aproximando).
- Valores:
, , . - Primeiro o produto
:
- Agora dividir por
:
Observação de unidades:
dividido por
dá
(ou
), unidade correta de campo elétrico.
- Calculando numericamente:
(Arredondando razoavelmente, por exemplo com três dígitos significativos.)