Um cilindro sólido isolante muito longo possui raio \mathrm{R}=0,10 \mathrm{~m} e densidade volumétrica de carga uniforme \rho=2 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. Calcule o campo elétrico:
Na superfície do cilindro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado):
  • Raio do cilindro: \,R=0,10\\ \text{m}.
  • Densidade volumétrica de carga (uniforme): \,\rho=2\times10^{-6}\\ \text{C}/\text{m}^3.
  • O cilindro é “muito longo” (podemos tratar como cilíndrico infinito para aplicar simetria).
    O enunciado pede: calcular o campo elétrico na superfície do cilindro (ou seja, no ponto a uma distância \,r=R do eixo).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática do que vou usar).
  • Quando há distribuição de carga com alta simetria (aqui: simetria cilíndrica e densidade uniforme), a forma mais prática é usar a Lei de Gauss.
  • A Lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico normal à superfície fechada vale a carga total interna dividida por \varepsilon_0. Em fórmula:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Explicando as variáveis:
  • \mathbf{E} é o vetor campo elétrico.
  • d\mathbf{A} é o vetor área da superfície fechada (módulo igual à área infinitesimal, direção normal para fora).
  • Q_{\text{int}} é a carga contida dentro dessa superfície.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante), \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F}/\text{m}.
  • Pelo problema ter simetria cilíndrica e ser muito longo, o campo elétrico será radial (aponta para fora do eixo) e dependerá só da distância radial r ao eixo. Então escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio r e comprimento arbitrário L. Essa superfície facilita muito porque:
    • Em toda a superfície lateral do cilindro de Gauss, \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} e tem módulo constante E(r).
    • Nas tampas (faces planas) do cilindro de Gauss o vetor campo é radial enquanto as normais das tampas são axiais, logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nessas tampas (sem contribuição).

Passo 3

Calcular a carga contida dentro da superfície de Gauss (passo fundamental).
  • Volume do cilindro de Gauss de raio r e comprimento L:
V=\pi r^{2} L.
  • Como a densidade volumétrica de carga é uniforme \rho, a carga contida é:
Q_{\text{int}}=\rho V=\rho\,\pi r^{2} L.

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss e isolar E(r).
  • Fluxo através da superfície de Gauss: apenas a superfície lateral contribui e o fluxo é E(r) vezes área lateral:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).
  • Pela Lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{\rho\,\pi r^{2} L}{\varepsilon_0}.
  • Simplificando (cancelando \pi e L, que são não nulos):
E(r)=\frac{\rho\, r}{2\varepsilon_0}.
Esta é a expressão do campo elétrico para um cilindro sólido com densidade volumétrica uniforme, válida para r\le R (dentro do cilindro). No nosso caso queremos o campo na superfície, isto é, em r=R. Substituindo r=R:
E(R)=\frac{\rho\, R}{2\varepsilon_0}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular (contando as unidades e aproximando).
  • Valores: \rho=2\times10^{-6}\\ \text{C}/\text{m}^3, \,R=0,10\\ \text{m}, \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F}/\text{m}.
  • Primeiro o produto \rho R:
\rho R=(2\times10^{-6})\cdot(0,10)=2\times10^{-7}\\ \text{C}/\text{m}^2.
  • Agora dividir por 2\varepsilon_0:
2\varepsilon_0=2\cdot8{,}854\times10^{-12}=1{,}7708\times10^{-11}\\ \text{F}/\text{m}.
E(R)=\frac{2\times10^{-7}}{1{,}7708\times10^{-11}}\\ \frac{\text{C}/\text{m}^2}{\text{F}/\text{m}}.
Observação de unidades: \text{C}/\text{m}^2 dividido por \text{F}/\text{m} \text{N}/\text{C} (ou \text{V}/\text{m}), unidade correta de campo elétrico.
  • Calculando numericamente:
E(R)\approx1{,}1294\times10^{4}\\ \text{N}/\text{C}.
(Arredondando razoavelmente, por exemplo com três dígitos significativos.)

Resposta

E(R)=1,13\times10^{4}\\ \text{N}/\text{C}

Exercícios relacionados