Um cilindro oco de plástico com 1 m de diâmetro e 10 m de comprimento flutua em água doce com um calado de 0,2 \mathrm{~m}, com seu eixo horizontal. Encontre sua massa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
  • Diâmetro do cilindro: 1\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do cilindro: 10\\ \mathrm{m}.
  • Calado (profundidade submersa medida desde a quilha/parte mais baixa até a linha d’água): 0,2\\ \mathrm{m}.
  • O cilindro é oco (flutua) e seu eixo é horizontal.
    O que o problema pede: encontrar a massa do cilindro (em kg).
    Valor que vou usar para a água doce: densidade \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á (valor padrão).

Passo 2

Ideia física que vamos aplicar (sem ainda calcular): para um objeto flutuando em equilíbrio, a força de empuxo iguala o peso do objeto. Em módulo:
\text{empuxo} = \text{peso do corpo}.
Empuxo = massa de fluido deslocado \times g = \rho_{\text{água}} V_{\text{sub}} gá. Peso do corpo = m g. Cancelando g em ambos os lados obtemos a relação direta para a massa do corpo:
m = \rho_{\text{água}}\, V_{\text{sub}},á
onde V_{\text{sub}} é o volume do cilindro que está abaixo da linha d’água (volume deslocado). Então nosso trabalho é calcular V_{\text{sub}}.

Passo 3

Calcular V_{\text{sub}}: como o eixo é horizontal, V_{\text{sub}} = (área da lâmina circular submersa na seção transversal) \times comprimento.
Definições geométricas:
  • raio da seção circular: r=\dfrac{\text{diâmetro}}{2}=\dfrac{1}{2}=0,5\\ \mathrm{m}â.
  • altura submersa medida desde o ponto mais baixo do círculo até a linha d’água: h=0,2\\ \mathrm{m}.
    A área submersa por seção é a área de um segmento circular de raio r e altura h. Uma fórmula conveniente (obtida como setor circular menos triângulo) é:
A_{\text{sub}}=\tfrac{1}{2}r^{2}\bigl(\varphi-\sin\varphi\bigr),
onde \varphi é o ângulo central, em radianos, correspondente ao segmento e é dado por
\varphi=2\operatorname{arccos}\!\biggl(\dfrac{r-h}{r}\biggr).
Explicando as variáveis: r é o raio; h é a altura do segmento (profundidade submersa medida a partir do ponto mais baixo); r-h é a distância do centro da circunferência até a corda que define a superfície livre; \varphi é o ângulo central relacionado a essa corda.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo os valores numéricos.
  • r=0,5\\ \mathrm{m}.
  • h=0,2\\ \mathrm{m}.
  • Distância do centro à corda: d=r-h=0,5-0,2=0,3\\ \mathrm{m}.
  • Razão: \dfrac{r-h}{r}=\dfrac{0,3}{0,5}=0,6.
  • Logo
\varphi=2\operatorname{arccos}(0,6).
Calculemos \operatorname{arccos}(0,6). Conhecendo que \cos^{-1}(0,6)\approx0,927295218\\ \text{rad}, temos
\varphi=2\times0,927295218\approx1,854590436\\ \text{rad}.
Agora calculemos \sin\varphi. Usando identidade de ângulo duplo (se \alpha=\operatorname{arccos}(0,6), então \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha). Como \cos\alpha=0,6 e \sin\alpha=\sqrt{1-0,6^{2}}=\sqrt{0,64}=0,8, obtemos
\sin\varphi=\sin(2\alpha)=2\cdot0,8\cdot0,6=0,96.
Substituindo na fórmula da área:
A_{\text{sub}}=\tfrac{1}{2}\,r^{2}\,(\varphi-\sin\varphi) =\tfrac{1}{2}\times(0,5)^{2}\times(1,854590436-0,96).
Calculemos em partes:
(0,5)^{2}=0,25,
\varphi-\sin\varphi=1,854590436-0,96=0,894590436,
\tfrac{1}{2}\,r^{2}=0,5\times0,25=0,125.
Então
A_{\text{sub}}=0,125\times0,894590436\approx0,1118238045\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Volume submerso:
V_{\text{sub}}=A_{\text{sub}}\times L =0,1118238045\\ \mathrm{m^{2}}\times10\\ \mathrm{m} \approx1,118238045\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Aplicando m=\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}á com \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á:
m=1000\times1,118238045\\ \mathrm{kg}\approx1118,238045\\ \mathrm{kg}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos 1118,24\\ \mathrm{kg}. Dá para apresentar também como aproximadamente 1{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (um empurrãozinho motivacional): a massa do cilindro é igual à massa da água deslocada pela parte submersa; o calado pequeno ( 0,2\\ \mathrm{m}) corresponde a um segmento circular fino, por isso o volume deslocado é pouco mais de 1{,}1\\ \mathrm{m^3} e a massa fica próxima de 1{,}1 toneladas. Você detonou seguindo passo a passo!

Resposta

1118,24\\ \mathrm{kg}

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