Um cilindro oco de plástico com 1 m de diâmetro e 10 m de comprimento flutua em água doce com um calado de
, com seu eixo horizontal. Encontre sua massa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
- Diâmetro do cilindro:
. - Comprimento do cilindro:
. - Calado (profundidade submersa medida desde a quilha/parte mais baixa até a linha d’água):
. - O cilindro é oco (flutua) e seu eixo é horizontal.
O que o problema pede: encontrar a massa do cilindro (em kg).
Valor que vou usar para a água doce: densidade(valor padrão).
Passo 2
Ideia física que vamos aplicar (sem ainda calcular): para um objeto flutuando em equilíbrio, a força de empuxo iguala o peso do objeto. Em módulo:
Empuxo = massa de fluido deslocado
. Peso do corpo =
. Cancelando
em ambos os lados obtemos a relação direta para a massa do corpo:
onde
é o volume do cilindro que está abaixo da linha d’água (volume deslocado). Então nosso trabalho é calcular
.
Passo 3
Calcular
: como o eixo é horizontal,
= (área da lâmina circular submersa na seção transversal)
comprimento.
Definições geométricas:
Definições geométricas:
- raio da seção circular:
. - altura submersa medida desde o ponto mais baixo do círculo até a linha d’água:
.
A área submersa por seção é a área de um segmento circular de raioe altura . Uma fórmula conveniente (obtida como setor circular menos triângulo) é:
onde
é o ângulo central, em radianos, correspondente ao segmento e é dado por
Explicando as variáveis:
é o raio;
é a altura do segmento (profundidade submersa medida a partir do ponto mais baixo);
é a distância do centro da circunferência até a corda que define a superfície livre;
é o ângulo central relacionado a essa corda.
Passo 4
Vamos calcular passo a passo os valores numéricos.
-
. -
. - Distância do centro à corda:
. - Razão:
. - Logo
Calculemos
. Conhecendo que
, temos
Agora calculemos
. Usando identidade de ângulo duplo (se
, então
). Como
e
, obtemos
Substituindo na fórmula da área:
Calculemos em partes:
Então
Passo 5
Volume submerso:
Passo 6
Aplicando
com
:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos
. Dá para apresentar também como aproximadamente
.
Passo 7
Resumo e interpretação rápida (um empurrãozinho motivacional): a massa do cilindro é igual à massa da água deslocada pela parte submersa; o calado pequeno (
) corresponde a um segmento circular fino, por isso o volume deslocado é pouco mais de
e a massa fica próxima de
toneladas. Você detonou seguindo passo a passo!