Calcule o deslocamento de uma embarcação em forma de caixa que tem 80 m de comprimento, 16 m de boca e flutua a um calado de 4,2 \mathrm{~m} em água salgada (densidade 1,025 \mathrm{t} / \mathrm{m} 3 ). Qual será o calado da embarcação em forma de caixa agora se ela estiver flutuando em água de densidade 1,006 \mathrm{t} / \mathrm{m} 3 ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos e o que é pedido):
  • Comprimento da embarcação: L = 80\\ \mathrm{m}.
  • Boca (largura): B = 16\\ \mathrm{m}.
  • Calado inicial: T_1 = 4,2\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água salgada onde flutua inicialmente: \rho_1 = 1,025\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^3.
  • Nova densidade da água onde será colocada: \rho_2 = 1,006\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^3.
O que o enunciado pede:
  1. Calcular o deslocamento (massa/tonelagem deslocada) da embarcação quando está com o calado T_1 em água de densidade \rho_1.
  2. Determinar o novo calado T_2 quando a mesma embarcação estiver flutuando em água com densidade \rho_2.

Passo 2

Conceito básico usado (explicação didática): princípio de Arquimedes.
  • Um corpo flutuante em equilíbrio desloca um volume de fluido cujo peso é igual ao peso (massa) do corpo.
  • Em forma de caixa reta, o volume submerso é simplesmente o produto do comprimento, da boca e do calado.
    Definições das variáveis que vamos usar:
  • V_{\text{sub}}: volume submerso (módulo de fluido deslocado), em \mathrm{m}^3.
  • \rho: densidade do fluido em \mathrm{t}/\mathrm{m}^3 (usamos toneladas porque as densidades foram dadas em toneladas por metro cúbico).
  • \Delta: deslocamento (massa do navio), em toneladas ( \mathrm{t}).
    Relações principais:
V_{\text{sub}} = L\cdot B\cdot T
\Delta = \rho \cdot V_{\text{sub}}
A primeira relação é geométrica (caixa), a segunda vem do princípio de Arquimedes (massa do fluido deslocado = \rho V_{\text{sub}}).

Passo 3

Calcular o volume submerso com o calado inicial T_1.
  • Primeiro calcular L\cdot B:
L\cdot B = 80 \cdot 16 = 1280\\ \mathrm{m}^2.
  • Agora o volume submerso inicial:
V_{\text{sub,1}} = L\cdot B\cdot T_1 = 1280 \cdot 4,2.
Efetuando a multiplicação:
1280\cdot 4,2 = 1280\cdot(4 + 0,2) = 1280\cdot 4 + 1280\cdot 0,2 = 5120 + 256 = 5376\\ \mathrm{m}^3.
Portanto
V_{\text{sub,1}} = 5376\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Calcular o deslocamento \Delta usando \rho_1 e V_{\text{sub,1}}.
\Delta = \rho_1 \cdot V_{\text{sub,1}} = 1,025 \cdot 5376.
Efetuando a multiplicação:
1,025\cdot 5376 = 5376 + 0,025\cdot 5376 = 5376 + 134,4 = 5510,4\\ \mathrm{t}.
Assim o deslocamento da embarcação (massa) é
\Delta = 5510,4\\ \mathrm{t}.
Se quiser em quilogramas, multiplica por 1000:
\Delta = 5{,}5104\times 10^{6}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Agora vamos achar o novo calado T_2 em água com densidade \rho_2.
  • A massa do navio não muda, portanto \Delta permanece igual.
  • Equilíbrio na nova água: \Delta = \rho_2 \cdot L\cdot B\cdot T_2.
    Isolando T_2:
T_2 = \frac{\Delta}{\rho_2 \cdot L\cdot B}.

Passo 6

Calcular o denominador \rho_2\cdot L\cdot B:
L\cdot B = 1280\\ \mathrm{m}^2 \quad\text{(já calculado)}.á
\rho_2\cdot L\cdot B = 1,006 \cdot 1280.
Efetuando a multiplicação:
1,006\cdot 1280 = 1280 + 0,006\cdot 1280 = 1280 + 7,68 = 1287,68.

Passo 7

Agora calcular T_2 pela divisão:
T_2 = \frac{5510,4}{1287,68}.
Fazendo a divisão (aproximação numérica adequada):
T_2 \approx 4,27948\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se escrever T_2 \approx 4,279\\ \mathrm{m} ou T_2 \approx 4,28\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular o aumento do calado (diferença):
\Delta T = T_2 - T_1 = 4,27948 - 4,2 \approx 0,07948\\ \mathrm{m} = 7,95\\ \mathrm{cm}.

Resposta

\Delta = 5510,4\\ \mathrm{t}
T_2 \approx 4,279\\ \mathrm{m}

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