Um cilindro oco com raio interno a e raio externo b é aquecido internamente a uma taxa
e dissipa convectivamente calor pela superfície externa para um fluido à temperatura
, com coeficiente h . Não há geração de energia e a condutividade térmica do sólido é constante. (a) Desenvolva a expressão para determinar as temperaturas
e
nas superfícies interna e externa do cilindro. (b) calcule as temperaturas
e
das superfícies com
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Desenvolver a expressão para determinar as temperaturas nas superfícies interna e externa do cilindro, chamadas aqui de
(superfície interna, raio ) e (superfície externa, raio ). - (b) Calcular numericamente
e usando os valores fornecidos.
Informações e dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
Observação importante: o enunciado dá um fluxo na superfície interna (
em
), ou seja, potência por unidade de área aplicada na circunferência interna. A partir disso devemos obter
e
.
Passo 2
Primeiro conceito útil e tradução do fluxo de superfície para potência por unidade de comprimento (porque usaremos simetria cilíndrica e trabalhar com comprimento unitário é prático).
Explicação e fórmula:
- O aquecimento interno
é potência por unidade de área na superfície interna. A área da superfície interna por unidade de comprimento (comprimento ) é a circunferência . - Então a potência por unidade de comprimento (energia fluindo para fora por cada metro de comprimento do cilindro) é
Aqui
tem unidades de
(watts por metro de comprimento). Esse
é a mesma potência que atravessa radialmente a parede cilíndrica em regime estacionário.
Passo 3
Agora vamos usar a lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para o regime estacionário sem geração volumétrica, para relacionar
e
.
Ensino rápido: A lei de Fourier para fluxo radial em um anel cilíndrico, por unidade de comprimento, diz que a potência radial constante
satisfaz
onde a área para transferência radial em raio
por unidade de comprimento é
. Como
é constante (regime estacionário, sem geração), separamos variáveis e integramos de
(onde
) até
(onde
):
Portanto a relação entre
e
por condução é
Também podemos escrever a forma invertida útil para
:
Passo 4
Agora a condição na superfície externa: convecção com o fluido a
e coeficiente
.
A lei de convecção na superfície externa por unidade de comprimento é
onde
(área externa por unidade de comprimento) é
. Logo
Desse modo podemos isolar
:
Passo 5
Agora juntamos as equações do Passo 3 e Passo 4 para expressar explicitamente
e
em função de
.
Lembrando que
, substituímos na expressão de
:
Para
usamos
e substituímos
:
Substituindo
obtemos a forma fechada
Resumo das expressões finais (parte a concluída):
Interpretação rápida: o termo
é a subida de temperatura devido à resistência convectiva externa; o termo
é a subida adicional devido à resistência de condução através da parede.
Passo 6
Agora calculamos numericamente (parte b). Primeiro convertemos os dados para metros e montamos
para vista intercalar (não é estritamente necessário porque as fórmulas fechadas usam
, mas vou mostrar
para entendimento):
Dados numéricos em unidades SI:
Potência por comprimento:
Valor numérico:
Cálculo de
usando a fórmula fechada:
Avaliação do termo:
Logo
Cálculo do termo de condução para
:
Avaliação numérica passo a passo:
E
Multiplicando:
Agora
:
Arredondando com razoável precisão: