Um cilindro oco com raio interno a e raio externo b é aquecido internamente a uma taxa q_{0}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\right) e dissipa convectivamente calor pela superfície externa para um fluido à temperatura \mathrm{T}_{00}, com coeficiente h . Não há geração de energia e a condutividade térmica do sólido é constante. (a) Desenvolva a expressão para determinar as temperaturas \mathrm{T}_{1} e \mathrm{T}_{2} nas superfícies interna e externa do cilindro. (b) calcule as temperaturas \mathrm{T}_{1} e \mathrm{T}_{2} das superfícies com \mathrm{a}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{~h}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{00}=100^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{K}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{q}_{0}=10^{5} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Desenvolver a expressão para determinar as temperaturas nas superfícies interna e externa do cilindro, chamadas aqui de \mathrm{T}_1 (superfície interna, raio \,a) e \mathrm{T}_2 (superfície externa, raio \,b).
  2. (b) Calcular numericamente \mathrm{T}_1 e \mathrm{T}_2 usando os valores fornecidos.
Informações e dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
\begin{aligned} &\text{raio interno: } a = 3\\ \text{cm} = 0{,}03\\ \text{m},\\\ &\text{raio externo: } b = 5\\ \text{cm} = 0{,}05\\ \text{m},\\\ &\text{taxa de aquecimento na superfície interna (fluxo): } q_{0} = 10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}},\\\ &\text{temperatura do fluido ambiente (externo): } T_{00} = 100^{\circ}\mathrm{C},\\\ &\text{coeficiente de convecção na superfície externa: } h = 400\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)},\\\ &\text{condutividade térmica do sólido: } k = 15\\ \mathrm{W/(m\,^{\circ}C)}. \end{aligned}íçãíéó
Observação importante: o enunciado dá um fluxo na superfície interna ( q_0 em \mathrm{W/m^{2}}), ou seja, potência por unidade de área aplicada na circunferência interna. A partir disso devemos obter \mathrm{T}_1 e \mathrm{T}_2.

Passo 2

Primeiro conceito útil e tradução do fluxo de superfície para potência por unidade de comprimento (porque usaremos simetria cilíndrica e trabalhar com comprimento unitário é prático).
Explicação e fórmula:
  • O aquecimento interno q_{0} é potência por unidade de área na superfície interna. A área da superfície interna por unidade de comprimento (comprimento L=1\\ \text{m}) é a circunferência 2\pi a.
  • Então a potência por unidade de comprimento (energia fluindo para fora por cada metro de comprimento do cilindro) é
Q' = q_{0}\cdot 2\pi a.
Aqui Q' tem unidades de \mathrm{W/m} (watts por metro de comprimento). Esse Q' é a mesma potência que atravessa radialmente a parede cilíndrica em regime estacionário.

Passo 3

Agora vamos usar a lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para o regime estacionário sem geração volumétrica, para relacionar \mathrm{T}_1 e \mathrm{T}_2.
Ensino rápido: A lei de Fourier para fluxo radial em um anel cilíndrico, por unidade de comprimento, diz que a potência radial constante Q' satisfaz
Q' = -k\cdot A_r(r)\,\frac{dT}{dr},
onde a área para transferência radial em raio r por unidade de comprimento é A_r(r)=2\pi r. Como Q' é constante (regime estacionário, sem geração), separamos variáveis e integramos de r=a (onde T=T_1) até r=b (onde T=T_2):
\begin{aligned} &\frac{Q'}{2\pi k}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r} = \int_{T_1}^{T_2} dT \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) = T_1 - T_2. \end{aligned}
Portanto a relação entre \mathrm{T}_1 e \mathrm{T}_2 por condução é
T_1 - T_2 = \frac{Q'}{2\pi k}\,\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Também podemos escrever a forma invertida útil para Q':
Q' = \frac{2\pi k\,(T_1 - T_2)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.

Passo 4

Agora a condição na superfície externa: convecção com o fluido a \,T_{00} e coeficiente h.
A lei de convecção na superfície externa por unidade de comprimento é
Q' = h\cdot A_{\text{o}}\cdot (T_2 - T_{00}),
onde A_{\text{o}} (área externa por unidade de comprimento) é 2\pi b. Logo
Q' = h\cdot 2\pi b\cdot (T_2 - T_{00}).
Desse modo podemos isolar T_2:
T_2 = T_{00} + \frac{Q'}{2\pi b h}.

Passo 5

Agora juntamos as equações do Passo 3 e Passo 4 para expressar explicitamente T_1 e T_2 em função de q_{0},a,b,h,k,T_{00}.
Lembrando que Q' = q_0\cdot 2\pi a, substituímos na expressão de T_2:
T_2 = T_{00} + \frac{q_0\cdot 2\pi a}{2\pi b h} = T_{00} + \frac{q_0\,a}{b\,h}.
Para T_1 usamos T_1 = T_2 + \dfrac{Q'}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right) e substituímos Q':
T_1 = T_2 + \frac{q_0\cdot 2\pi a}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) = T_2 + \frac{q_0\,a}{k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Substituindo T_2 obtemos a forma fechada
T_1 = T_{00} + \frac{q_0\,a}{b\,h} + \frac{q_0\,a}{k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Resumo das expressões finais (parte a concluída):
\boxed{\,T_2 = T_{00} + \dfrac{q_0\,a}{b\,h}\,}\qquad\text{e}\qquad \boxed{\,T_1 = T_{00} + \dfrac{q_0\,a}{b\,h} + \dfrac{q_0\,a}{k}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\, }.
Interpretação rápida: o termo \dfrac{q_0 a}{b h} é a subida de temperatura devido à resistência convectiva externa; o termo \dfrac{q_0 a}{k}\ln(b/a) é a subida adicional devido à resistência de condução através da parede.

Passo 6

Agora calculamos numericamente (parte b). Primeiro convertemos os dados para metros e montamos Q' para vista intercalar (não é estritamente necessário porque as fórmulas fechadas usam q_0, mas vou mostrar Q' para entendimento):
Dados numéricos em unidades SI:
\begin{aligned} &a = 0{,}03\\ \text{m},\quad b=0{,}05\\ \text{m},\quad q_0=10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}},\\\ &h=400\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)},\quad k=15\\ \mathrm{W/(m\,^{\circ}C)},\quad T_{00}=100^{\circ}\mathrm{C}. \end{aligned}
Potência por comprimento:
Q' = q_0\cdot 2\pi a = 10^{5}\cdot 2\pi\cdot 0{,}03 = 10^{5}\cdot 0{,}06\pi = 6000\pi\\ \mathrm{W/m}.
Valor numérico:
Q'\approx 6000\cdot 3{,}14159265 \approx 18849{,}6\\ \mathrm{W/m}.
Cálculo de \mathrm{T}_2 usando a fórmula fechada:
\begin{aligned} T_2 &= T_{00} + \frac{q_0\,a}{b\,h} = 100 + \frac{10^{5}\cdot 0{,}03}{0{,}05\cdot 400}. \end{aligned}
Avaliação do termo:
\frac{10^{5}\cdot 0{,}03}{0{,}05\cdot 400} = \frac{3000}{20} = 150{,}0.
Logo
T_2 = 100 + 150{,}0 = 250{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Cálculo do termo de condução para \mathrm{T}_1:
\frac{q_0\,a}{k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{10^{5}\cdot 0{,}03}{15}\ln\!\left(\frac{0{,}05}{0{,}03}\right).
Avaliação numérica passo a passo:
\frac{10^{5}\cdot 0{,}03}{15} = \frac{3000}{15} = 200{,}0.
E
\ln\!\left(\frac{0{,}05}{0{,}03}\right) = \ln(1{,}6666667)\approx 0{,}5108256.
Multiplicando:
200{,}0\times 0{,}5108256 \approx 102{,}1651\\ \\ (^\circ\mathrm{C}).
Agora \mathrm{T}_1:
T_1 = T_{00} + \frac{q_0\,a}{b\,h} + \frac{q_0\,a}{k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) = 100 + 150{,}0 + 102{,}1651 \approx 352{,}1651\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando com razoável precisão:
T_1 \approx 352{,}2\\ ^{\circ}\mathrm{C},\qquad T_2 \approx 250{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

\displaystyle T_{1}=352{,}2\\ ^{\circ}\mathrm{C}\
\displaystyle T_{2}=250{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C}

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