A superfície interna em r=a e a superfície externa em r=b de um cilindro oco são mantidas as temperaturas uniformes T_{1} e T_{2}. A condutividade térmica K do solido é constante. (a) Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura \mathrm{T}(\mathrm{r}) unidimensional, estacionaria no cilindro, (b) Desenvolva a expressão do fluxo de calor radial, Q , através do cilindro em comprimento H. (c) Desenvolva a expressão da resistência térmica de um cilindro oco e comprimento H .

Passo 1

O enunciado dá um cilindro oco com raio interno a e raio externo b, comprimento H. As superfícies internas e externas são mantidas a temperaturas uniformes T_{1} (em r=a) e T_{2} (em r=b). A condutividade térmica do sólido é constante e igual a K. O estado é estacionário (sem variação temporal) e unidimensional no sentido radial (temperatura depende só de r).\n\nAs perguntas são:\n(a) Determinar a distribuição de temperatura \;T(r)\; no intervalo a\le r\le b.\n(b) Determinar o fluxo de calor radial total Q através do cilindro de comprimento H.\n(c) Determinar a resistência térmica do cilindro oco de comprimento H.

Passo 2

Modelo físico e equação governante. Vou explicar passo a passo por que a temperatura só depende de r e qual equação usar.\n\nPorque as temperaturas nas faces são uniformes ao longo do eixo e ao redor do ângulo, e o estado é estacionário, não existe variação em \theta nem em z. Assim consideramos apenas variação radial — unidimensional em r.\n\nA lei de condução (Lei de Fourier) em direção radial diz que o fluxo de calor radial por unidade de área (fluxo superficial) é\n q_r(r) = -K\,\frac{dT}{dr},
onde K é a condutividade térmica (unidades: W/(m·K)), T(r) é a temperatura e q_r tem sinal negativo se o calor vai na direção de decrescer temperatura.\n\nAgora, considere um cilindro coaxial entre r e r+\mathrm{d}r de comprimento H. A área através da qual flui calor radialmente é a área lateral do cilindro em raio r: A_r=2\pi r H. Em regime estacionário, a quantidade de calor que entra por r é igual a que sai por r+\mathrm{d}r. Isso conduz à conservação de energia que, ao usar q_r e A_r, leva à equação diferencial em coordenadas cilíndricas (forma radial de Laplace/Poisson sem geração):\n \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Essa é a equação que vamos resolver.

Passo 3

Resolver a equação diferencial.\n\nComeçamos de
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Multiplicando por r obtemos
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Isto significa que a quantidade r\,\dfrac{dT}{dr} é constante. Integramos uma vez:
r\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Agora isolamos a derivada e integramos novamente:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}\quad\Rightarrow\quad T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Logo, a solução geral é uma combinação linear de \ln r e constante:
T(r)=C_1\ln r + C_2.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.\n\nUsamos T(a)=T_1 e T(b)=T_2. Substituindo:\n T_1 = C_1\ln a + C_2,\n T_2 = C_1\ln b + C_2.\nSubtraindo a primeira da segunda para eliminar C_2:\n T_2-T_1 = C_1(\ln b - \ln a) = C_1\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).\nPortanto a constante C_1 é\n C_1 = \frac{T_2-T_1}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.\nE então C_2 vem de C_2 = T_1 - C_1\ln a. Não preciso escrever C_2 explicitamente se vou escrever T(r) numa forma mais conveniente.

Passo 5

Expressão final para a distribuição de temperatura.\n\nSubstituindo C_1 em T(r)=C_1\ln r + C_2 e reorganizando obtém-se uma forma prática:\n T(r)=T_1 + \frac{T_2-T_1}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right).\nExplicação: essa fórmula dá T(a)=T_1 (pois \ln(r/a)=0 em r=a) e T(b)=T_2 (pois \ln(b/a) cancela). Outra forma equivalente é\n T(r)=\frac{T_1\ln\!\left(\dfrac{b}{r}\right)+T_2\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)},
que é simétrica e por vezes útil para interpretação.

Passo 6

Cálculo do fluxo de calor radial total Q através do cilindro de comprimento H.\n\nO fluxo total através de uma superfície cilíndrica de raio r é dado por Fourier multiplicado pela área lateral:\n Q(r)= -K\,\bigl(2\pi r H\bigr)\,\frac{dT}{dr}.\nDa solução temos \dfrac{dT}{dr}=C_1/r e já calculamos C_1. Substituindo em Q:\n Q(r)= -K\,(2\pi r H)\,\frac{C_1}{r} = -2\pi K H C_1.\nNote que o r cancela — isso é consistente com regime estacionário: o fluxo radial é o mesmo para qualquer r entre a e b.\n\nSubstituindo C_1 achado antes:\n Q = -2\pi K H \frac{T_2-T_1}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.\nSe preferirmos a convenção positiva para o calor saindo do interior (de r=a para r=b), escrevemos a magnitude do fluxo como\n Q = 2\pi K H \frac{T_1-T_2}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.\nExplicação dos sinais: o sinal negativo da primeira forma indica que, se T_2>T_1, a derivada é positiva e o calor flui no sentido negativo de r (do exterior para o interior). Para usos práticos queremos normalmente o fluxo de calor do interior para o exterior, então usamos a expressão sem o sinal negativo e com (T_1-T_2) no numerador.

Passo 7

Resistência térmica do cilindro oco de comprimento H.\n\nDefinição prática: resistência térmica R é a razão entre a diferença de temperatura entre as superfícies e o fluxo de calor (no sentido interior → exterior):\n R=\frac{T_1-T_2}{Q}.\nSubstituindo a expressão para Q em magnitude (veja passo anterior) obtemos\n R=\frac{T_1-T_2}{\;2\pi K H\dfrac{T_1-T_2}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\;} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}{2\pi K H}.\nInterpretação: essa resistência cresce com a razão b/a (mais espessura relativa) e diminui se a condutividade K ou o comprimento H aumentarem. As unidades conferem: \ln(b/a) é adimensional, K tem unidades W/(m·K), H tem m, então R tem unidades K/W, como esperado.

Resposta

(a) T(r)=T_1+\frac{T_2-T_1}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right),\qquad a\le r\le b.
(b) Q=2\pi K H\,\frac{T_1-T_2}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\quad\text{(fluxo do interior para o exterior, magnitude).}
(c) R=\frac{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}{2\pi K H}.

Exercícios relacionados