A superfície interna em
e a superfície externa em
de um cilindro oco são mantidas as temperaturas uniformes
e
. A condutividade térmica
do solido é constante. (a) Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura
unidimensional, estacionaria no cilindro, (b) Desenvolva a expressão do fluxo de calor radial, Q , através do cilindro em comprimento H. (c) Desenvolva a expressão da resistência térmica de um cilindro oco e comprimento H .
Passo 1
O enunciado dá um cilindro oco com raio interno
e raio externo
, comprimento
. As superfícies internas e externas são mantidas a temperaturas uniformes
(em
) e
(em
). A condutividade térmica do sólido é constante e igual a
. O estado é estacionário (sem variação temporal) e unidimensional no sentido radial (temperatura depende só de
).\n\nAs perguntas são:\n(a) Determinar a distribuição de temperatura
no intervalo
.\n(b) Determinar o fluxo de calor radial total
através do cilindro de comprimento
.\n(c) Determinar a resistência térmica do cilindro oco de comprimento
.
Passo 2
Modelo físico e equação governante. Vou explicar passo a passo por que a temperatura só depende de
e qual equação usar.\n\nPorque as temperaturas nas faces são uniformes ao longo do eixo e ao redor do ângulo, e o estado é estacionário, não existe variação em
nem em
. Assim consideramos apenas variação radial — unidimensional em
.\n\nA lei de condução (Lei de Fourier) em direção radial diz que o fluxo de calor radial por unidade de área (fluxo superficial) é\n
onde
é a condutividade térmica (unidades: W/(m·K)),
é a temperatura e
tem sinal negativo se o calor vai na direção de decrescer temperatura.\n\nAgora, considere um cilindro coaxial entre
e
de comprimento
. A área através da qual flui calor radialmente é a área lateral do cilindro em raio
:
. Em regime estacionário, a quantidade de calor que entra por
é igual a que sai por
. Isso conduz à conservação de energia que, ao usar
e
, leva à equação diferencial em coordenadas cilíndricas (forma radial de Laplace/Poisson sem geração):\n
Essa é a equação que vamos resolver.
Passo 3
Resolver a equação diferencial.\n\nComeçamos de
Multiplicando por
obtemos
Isto significa que a quantidade
é constante. Integramos uma vez:
onde
é uma constante de integração. Agora isolamos a derivada e integramos novamente:
onde
é outra constante de integração. Logo, a solução geral é uma combinação linear de
e constante:
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
.\n\nUsamos
e
. Substituindo:\n
\n
\nSubtraindo a primeira da segunda para eliminar
:\n
\nPortanto a constante
é\n
\nE então
vem de
. Não preciso escrever
explicitamente se vou escrever
numa forma mais conveniente.
Passo 5
Expressão final para a distribuição de temperatura.\n\nSubstituindo
em
e reorganizando obtém-se uma forma prática:\n
\nExplicação: essa fórmula dá
(pois
em
) e
(pois
cancela). Outra forma equivalente é\n
que é simétrica e por vezes útil para interpretação.
Passo 6
Cálculo do fluxo de calor radial total
através do cilindro de comprimento
.\n\nO fluxo total através de uma superfície cilíndrica de raio
é dado por Fourier multiplicado pela área lateral:\n
\nDa solução temos
e já calculamos
. Substituindo em
:\n
\nNote que o
cancela — isso é consistente com regime estacionário: o fluxo radial é o mesmo para qualquer
entre
e
.\n\nSubstituindo
achado antes:\n
\nSe preferirmos a convenção positiva para o calor saindo do interior (de
para
), escrevemos a magnitude do fluxo como\n
\nExplicação dos sinais: o sinal negativo da primeira forma indica que, se
, a derivada é positiva e o calor flui no sentido negativo de
(do exterior para o interior). Para usos práticos queremos normalmente o fluxo de calor do interior para o exterior, então usamos a expressão sem o sinal negativo e com
no numerador.
Passo 7
Resistência térmica do cilindro oco de comprimento
.\n\nDefinição prática: resistência térmica
é a razão entre a diferença de temperatura entre as superfícies e o fluxo de calor (no sentido interior → exterior):\n
\nSubstituindo a expressão para
em magnitude (veja passo anterior) obtemos\n
\nInterpretação: essa resistência cresce com a razão
(mais espessura relativa) e diminui se a condutividade
ou o comprimento
aumentarem. As unidades conferem:
é adimensional,
tem unidades W/(m·K),
tem m, então
tem unidades K/W, como esperado.
Resposta
(a)
(b)
(c)