Considere uma placa plana de espessura L . Um fluido a temperatura \mathrm{T}_{\alpha, 1} com coeficiente \mathrm{h}_{1}, flui sobre a superficie em \mathrm{x}=0 e outro fluido, à temperatura \mathrm{T}_{\alpha, 2} com coeficiente \mathrm{h}_{2}, flui sobre a superficie em \mathrm{x}=\mathrm{L}. (a) Deduza a expressão do fluxo de calor Q através da área da placa. (b) Calcular a taxa de transferência de calor através de \mathrm{A}=1 \mathrm{~m}^{2} da placa com \mathrm{K}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{00,1}=130^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{00,2}=30^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{h}_{1}=250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}, \mathrm{h}_{1}= 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}, \mathrm{L}=4 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Deduzir a expressão do fluxo de calor Q através da área da placa, sabendo que há convecção nos dois lados e condução através da espessura.
  2. (b) Calcular numericamente a taxa de transferência de calor através de A=1\\ \mathrm{m}^2 usando os dados:
k=20\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)},\quad T_{\alpha,1}=130^\circ\mathrm{C},\quad T_{\alpha,2}=30^\circ\mathrm{C},
h_1=250\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)},\quad h_2=500\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)},\quad L=4\\ \mathrm{cm}.
Lista das informações relevantes (extraídas do enunciado):
\text{Placa de espessura } L,\quad \text{superfície esquerda em } x=0 \text{ com fluido a } T_{\alpha,1}, h_1,í
\text{superfície direita em } x=L \text{ com fluido a } T_{\alpha,2}, h_2,\quad \text{área } A.íá

Passo 2

Vamos lembrar as leis físicas que usamos (vou explicar como se fosse aula rápida):
  • Lei de Newton do resfriamento (convecção): a taxa de calor por convecção entre um fluido a temperatura \,T_\alpha e a superfície a T_s é
Q = h\,A\,(T_\alpha - T_s).
Aqui Q é a potência térmica (W), h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}), A é a área ( \mathrm{m^2}), T_\alpha é a temperatura do fluido (°C) e T_s é a temperatura da superfície (°C). A ideia: quanto maior a diferença de temperatura e maior h, mais calor é transferido.
  • Lei de Fourier (condução unidimensional, regime estacionário, material homogêneo): a taxa de calor por condução através de uma placa de área A, condutividade térmica k e espessura L com diferença de temperatura (T_{s1}-T_{s2}) é
Q = \frac{k A}{L}\,(T_{s1}-T_{s2}).
Aqui k é a condutividade ( \mathrm{W/(m\,^\circ C)}). Em problemas de regime estacionário unidimensional, a mesma Q atravessa todas as camadas em série.
Uma forma prática é pensar em resistências térmicas em série: a queda de temperatura total é soma das quedas individuais, e cada queda é Q multiplicado por uma resistência. A resistência por convecção é R_\text{conv}=1/(hA) e por condução através da placa é R_\text{cond}=L/(kA). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

No estado estacionário, a potência térmica Q é a mesma em toda a cadeia (convecção lado 1) → (superfície 1) → (condução na placa) → (superfície 2) → (convecção lado 2). Escrevemos as três equações que relacionam Q com as temperaturas das superfícies T_{s1} (em x=0) e T_{s2} (em x=L):
Q = h_1 A (T_{\alpha,1} - T_{s1}),
Q = \frac{k A}{L} (T_{s1} - T_{s2}),
Q = h_2 A (T_{s2} - T_{\alpha,2}).
Expliquei antes o significado de cada termo: cada equação dá a queda de temperatura associada a cada mecanismo em função de Q.

Passo 4

Agora vamos expressar as quedas de temperatura em termos de Q e somá-las para obter a queda total T_{\alpha,1}-T_{\alpha,2}.
De cada equação acima isolamos as diferenças de temperatura:
T_{\alpha,1} - T_{s1} = \frac{Q}{h_1 A},
T_{s1} - T_{s2} = \frac{Q\,L}{k A},
T_{s2} - T_{\alpha,2} = \frac{Q}{h_2 A}.
Somando as três igualdade (a soma dos três saltos de temperatura é o salto total entre os fluidos):
T_{\alpha,1} - T_{\alpha,2} = \frac{Q}{h_1 A} + \frac{Q\,L}{k A} + \frac{Q}{h_2 A}.

Passo 5

Factorizando Q do lado direito, temos
T_{\alpha,1} - T_{\alpha,2} = Q\left(\frac{1}{h_1 A} + \frac{L}{k A} + \frac{1}{h_2 A}\right).
Isolando Q obtemos a expressão pedida (forma em termos de resistências térmicas em série):
\boxed{\,Q = \frac{T_{\alpha,1} - T_{\alpha,2}}{\dfrac{1}{h_1 A} + \dfrac{L}{k A} + \dfrac{1}{h_2 A}}\,}
Essa é a resposta da parte (a). Interpretação física: o denominador é a resistência térmica total (convecção lado 1 + condução + convecção lado 2).

Passo 6

Agora aplicamos os valores numéricos para a parte (b). Primeiro convertemos a espessura para metros:
L = 4\\ \mathrm{cm} = 0,04\\ \mathrm{m}.
A área dada é A=1\\ \mathrm{m}^2. A diferença de temperatura entre os fluidos é
\Delta T = T_{\alpha,1}-T_{\alpha,2}=130^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=100^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calculamos as resistências individuais (tudo em \mathrm{^\circ C/W}, notando que com A=1 as unidades ficam simples):
R_{\text{conv,1}} = \frac{1}{h_1 A} = \frac{1}{250\cdot 1} = 0,004\\ \mathrm{^\circ C/W},
R_{\text{cond}} = \frac{L}{k A} = \frac{0,04}{20\cdot 1} = 0,002\\ \mathrm{^\circ C/W},
R_{\text{conv,2}} = \frac{1}{h_2 A} = \frac{1}{500\cdot 1} = 0,002\\ \mathrm{^\circ C/W}.
Somando:
R_\text{total} = 0,004 + 0,002 + 0,002 = 0,008\\ \mathrm{^\circ C/W}.

Passo 8

Finalmente usamos a expressão Q=\Delta T / R_\text{total}:
Q = \frac{100}{0,008} = 12500\\ \mathrm{W}.
O sinal positivo indica fluxo de calor do fluido quente ( T_{\alpha,1}) para o fluido frio ( T_{\alpha,2}), ou seja, da face x=0 para a face x=L.

Resposta

\text{(a) }Q = \frac{T_{\alpha,1} - T_{\alpha,2}}{\dfrac{1}{h_1 A} + \dfrac{L}{k A} + \dfrac{1}{h_2 A}}
\text{(b) }Q = 12500\\ \mathrm{W}

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