Um cilindro poroso, com 30 cm de diâmetro e 300 cm de comprimento está inicialmente saturado com álcool. O cilindro é inserido em um grande tanque de água pura, mantida sob agitação constante. A agitação mantém a concentração de álcool na superfície em 1% em peso (referente à concentração de saturação) e estabelece um coeficiente convectivo de transferência de massa de 0,015 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A difusividade é \mathrm{D}_{\mathrm{ef}}=0,055 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Estime qual será a concentração no centro do cilindro após um período de 1,5 h.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Diâmetro do cilindro: 30\\ \mathrm{cm}. Portanto o raio é R=15\\ \mathrm{cm}.
Comprimento: 300\\ \mathrm{cm} (muito maior que o diâmetro → podemos tratar difusão radial como dominante).
Estado inicial: cilindro totalmente saturado com álcool. Vou representar a concentração inicial por C_0 (concentração de saturação).
O cilindro é inserido em água onde a agitação mantém a concentração de álcool na superfície do cilindro igual a 1\% em peso em relação à saturação. Ou seja a concentração na superfície é C_s = 0{,}01\,C_0.
Coeficiente convectivo de transferência de massa: k=0{,}015\\ \mathrm{cm/s} (foi dado).
Difusividade efetiva no poroso: D_{\mathrm{ef}}=0{,}055\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Tempo a avaliar: t=1{,}5\\ \mathrm{h}=5400\\ \mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
Estimar a concentração no centro do cilindro após 1{,}5\\ \mathrm{h}. Vou fornecer essa concentração como fração da saturação (ou em % da saturação), por ficar consistente com os dados.
Passo 2
Decisão do modelo (por que usar superfície com concentração fixa)
O enunciado diz explicitamente que “a agitação mantém a concentração de álcool na superfície em 1\% em peso (referente à concentração de saturação)”. Isso significa que a condição na superfície é conhecida e praticamente fixa: C(r=R,t)=C_s.
Quando a superfície é mantida a uma concentração fixa, a condição de contorno é do tipo Dirichlet (concentração prescrita) e não é necessário usar diretamente o valor de k no modelo interno. Portanto, para calcular a variação interna de concentração (e em particular no centro) posso usar a solução padrão da equação de difusão radial em um cilindro com superfície mantida em concentração fixa C_s.
Observação física curta e útil: o valor de k foi dado possivelmente para mostrar que o banho é eficiente; o fato de a agitação manter C_s fixo justifica o uso da condição de contorno de concentração fixa. Se C_s não fosse fixo, aí sim deveríamos usar a condição convectiva com k (condição de Newton para massa).
Passo 3
Equações e variáveis adimensionais (introdução didática)
A equação de difusão radial unidimensional (dependendo só de r) para concentração C(r,t) em um cilindro longo é
com \theta(\rho,0)=1, \theta(1,\tau)=0 e condição de simetria no centro \left.\dfrac{\partial\theta}{\partial\rho}\right|_{\rho=0}=0.
Passo 4
Solução conhecida por séries (explanação do método)
Esse problema tem solução por separação de variáveis usando funções de Bessel. A solução padrão (ver tabelas clássicas de difusão/Crank) para um cilindro com superfície mantida em concentração nula (aqui \theta=0 em \rho=1) e condição inicial uniforme é uma série em autovalores \alpha_n (raízes de J_0(\alpha_n)=0).
A forma da solução para a concentração adimensional no interior é
Interpretação prática: cada termo decai exponencialmente com taxa \alpha_n^2. O primeiro termo (n=1) geralmente domina após tempos moderados, porque \alpha_1 é o menor autovalor e os outros termos decaem muito mais rápido.
Passo 5
Valores numéricos das constantes e cálculo do número de Fourier
Os termos seguintes (n\ge2) contêm \exp(-\alpha_n^2\tau) com \alpha_2^2\tau\approx 30{,}47\cdot1{,}32\approx 40{,}2 e assim por diante, dando expoentes muito grandes e termos efetivamente nulos (por exemplo \exp(-40{,}2)\sim 3\times10^{-18}). Portanto basta o primeiro termo para boa precisão.