Um cilindro poroso, com 30 cm de diâmetro e 300 cm de comprimento está inicialmente saturado com álcool. O cilindro é inserido em um grande tanque de água pura, mantida sob agitação constante. A agitação mantém a concentração de álcool na superfície em 1% em peso (referente à concentração de saturação) e estabelece um coeficiente convectivo de transferência de massa de 0,015 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A difusividade é \mathrm{D}_{\mathrm{ef}}=0,055 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Estime qual será a concentração no centro do cilindro após um período de 1,5 h.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Diâmetro do cilindro: 30\\ \mathrm{cm}. Portanto o raio é R=15\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento: 300\\ \mathrm{cm} (muito maior que o diâmetro → podemos tratar difusão radial como dominante).
  • Estado inicial: cilindro totalmente saturado com álcool. Vou representar a concentração inicial por C_0 (concentração de saturação).
  • O cilindro é inserido em água onde a agitação mantém a concentração de álcool na superfície do cilindro igual a 1\% em peso em relação à saturação. Ou seja a concentração na superfície é C_s = 0{,}01\,C_0.
  • Coeficiente convectivo de transferência de massa: k=0{,}015\\ \mathrm{cm/s} (foi dado).
  • Difusividade efetiva no poroso: D_{\mathrm{ef}}=0{,}055\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Tempo a avaliar: t=1{,}5\\ \mathrm{h}=5400\\ \mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
  • Estimar a concentração no centro do cilindro após 1{,}5\\ \mathrm{h}. Vou fornecer essa concentração como fração da saturação (ou em % da saturação), por ficar consistente com os dados.

Passo 2

Decisão do modelo (por que usar superfície com concentração fixa)
  • O enunciado diz explicitamente que “a agitação mantém a concentração de álcool na superfície em 1\% em peso (referente à concentração de saturação)”. Isso significa que a condição na superfície é conhecida e praticamente fixa: C(r=R,t)=C_s.
  • Quando a superfície é mantida a uma concentração fixa, a condição de contorno é do tipo Dirichlet (concentração prescrita) e não é necessário usar diretamente o valor de k no modelo interno. Portanto, para calcular a variação interna de concentração (e em particular no centro) posso usar a solução padrão da equação de difusão radial em um cilindro com superfície mantida em concentração fixa C_s.
  • Observação física curta e útil: o valor de k foi dado possivelmente para mostrar que o banho é eficiente; o fato de a agitação manter C_s fixo justifica o uso da condição de contorno de concentração fixa. Se C_s não fosse fixo, aí sim deveríamos usar a condição convectiva com k (condição de Newton para massa).

Passo 3

Equações e variáveis adimensionais (introdução didática)
  • A equação de difusão radial unidimensional (dependendo só de r) para concentração C(r,t) em um cilindro longo é
\frac{\partial C}{\partial t}=D_{\mathrm{ef}}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r\frac{\partial C}{\partial r}\Big)\right).
  • Introduzo intensidade adimensional \theta que mede o excesso de concentração em relação à superfície:
\theta(r,t)=\frac{C(r,t)-C_s}{C_0-C_s}.
Com essa definição temos \theta(r,0)=1 (inicialmente C=C_0) e \theta(R,t)=0 (na superfície C=C_s).
  • Defino coordenada radial adimensional e tempo adimensional (número de Fourier)
\rho=\frac{r}{R},\qquad \tau=\frac{D_{\mathrm{ef}}\,t}{R^2}.
  • Em termos adimensionais o problema fica
\frac{\partial \theta}{\partial \tau}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\Big(\rho\frac{\partial \theta}{\partial \rho}\Big),
com \theta(\rho,0)=1, \theta(1,\tau)=0 e condição de simetria no centro \left.\dfrac{\partial\theta}{\partial\rho}\right|_{\rho=0}=0.

Passo 4

Solução conhecida por séries (explanação do método)
  • Esse problema tem solução por separação de variáveis usando funções de Bessel. A solução padrão (ver tabelas clássicas de difusão/Crank) para um cilindro com superfície mantida em concentração nula (aqui \theta=0 em \rho=1) e condição inicial uniforme é uma série em autovalores \alpha_n (raízes de J_0(\alpha_n)=0).
  • A forma da solução para a concentração adimensional no interior é
\theta(\rho,\tau)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\alpha_n J_1(\alpha_n)}\,J_0(\alpha_n \rho)\,\exp\!\big(-\alpha_n^2 \tau\big),
onde J_0 e J_1 são as funções de Bessel de primeira espécie de ordem 0 e 1, e \alpha_n são os zeros de J_0: J_0(\alpha_n)=0.
  • No centro do cilindro ( \rho=0) temos J_0(0)=1, então a expressão simplifica para
\theta(0,\tau)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\alpha_n J_1(\alpha_n)}\,\exp\!\big(-\alpha_n^2 \tau\big).
  • Interpretação prática: cada termo decai exponencialmente com taxa \alpha_n^2. O primeiro termo ( n=1) geralmente domina após tempos moderados, porque \alpha_1 é o menor autovalor e os outros termos decaem muito mais rápido.

Passo 5

Valores numéricos das constantes e cálculo do número de Fourier
  • Raios e tempo em unidades usadas:
R=15\\ \mathrm{cm},\qquad t=1{,}5\\ \mathrm{h}=5400\\ \mathrm{s},\qquad D_{\mathrm{ef}}=0{,}055\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Número de Fourier (adimensional):
\tau=\frac{D_{\mathrm{ef}}\,t}{R^2}=\frac{0{,}055\cdot 5400}{15^2}=\frac{297}{225}=1{,}32.
  • Primeiros zeros de J_0 (valores tabelados):
\alpha_1\approx 2{,}404825558,\qquad \alpha_2\approx 5{,}520078110,\qquad \alpha_3\approx 8{,}653727913.
  • Valores de J_1(\alpha_n) (também tabulados e com sinal alternado):
J_1(\alpha_1)\approx 0{,}519147,\qquad J_1(\alpha_2)\approx -0{,}340264,\qquad J_1(\alpha_3)\approx 0{,}271141.

Passo 6

Avaliação numérica da série (aproximação pelo primeiro termo)
  • Vou computar os termos da série. Primeiro termo ( n=1):
\alpha_1^2\approx (2{,}4048256)^2\approx 5{,}78318596,
\alpha_1^2\tau \approx 5{,}783186\cdot 1{,}32 \approx 7{,}6378,
\exp(-\alpha_1^2\tau)\approx \exp(-7{,}6378)\approx 4{,}86\times 10^{-4}.
Coeficiente do primeiro termo:
\frac{2}{\alpha_1 J_1(\alpha_1)}\approx \frac{2}{2{,}4048256\cdot 0{,}519147}\approx 1{,}6006.
Portanto o primeiro termo vale aproximadamente
\text{termo}_1 \approx 1{,}6006\times 4{,}86\times 10^{-4}\approx 7{,}78\times 10^{-4}.
  • Os termos seguintes ( n\ge2) contêm \exp(-\alpha_n^2\tau) com \alpha_2^2\tau\approx 30{,}47\cdot1{,}32\approx 40{,}2 e assim por diante, dando expoentes muito grandes e termos efetivamente nulos (por exemplo \exp(-40{,}2)\sim 3\times10^{-18}). Portanto basta o primeiro termo para boa precisão.
  • Assim
\theta(0,\tau)\approx 7{,}78\times10^{-4}.

Passo 7

Voltar às concentrações (calcular C no centro)
  • Lembrando a definição de \theta:
\theta(0,\tau)=\frac{C_{\text{centro}}-C_s}{C_0-C_s}.
Logo
C_{\text{centro}}=C_s+\theta(0,\tau)\,(C_0-C_s).
  • Substituindo C_s=0{,}01\,C_0 e \theta(0,\tau)\approx 7{,}78\times10^{-4}:
C_{\text{centro}}=0{,}01\,C_0 + (7{,}78\times10^{-4})\,(1-0{,}01)\,C_0.
  • Numéricamente (em fração da saturação C_0):
C_{\text{centro}}\approx 0{,}01 + 7{,}78\times10^{-4}\times 0{,}99 \approx 0{,}01077\;(\text{fração de }C_0).çã
Em porcentagem da saturação:
C_{\text{centro}}\approx 1{,}077\%\\ \text{da saturação}.çã

Resposta

C_{\text{centro}}\approx 1{,}08\%\\ \text{da concentração de saturação (aprox.)}çãçã

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