Uma lâmina de madeira, de espessura 2b, inicialmente seca, é imersa em um recipiente contendo água: 5
a) obter, explicitando todas as hipóteses adotadas, a expressão para o perfil de concentração de umidade no interior da lâmina assumindo processo controlado pela difusão de umidade no interior do sólido;
b) sendo 2 b=4 \mathrm{~cm} e D_{\text {ef }}=1 \times 10^{-8} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e a concentração de água superficial igual a 45 \% em peso (base seca - w_{A}^{\prime}= \left(w_{A} /\left(1-w_{A}\right)\right), estime a concentração de água no centro da placa após 15 h de imersão (compare os resultados obtidos pela solução analítica com a solução obtida pelo ábaco);
c) estime a concentração média de umidade na placa para este tempo;
d) estime o fluxo mássico que atravessa a superfície para este tempo.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se deve encontrar (peguei os números do enunciado).
Dados fornecidos:
Lâmina (placa) de espessura total 2b.
A lâmina está inicialmente seca (concentração inicial de água interna w_i'=0, em base seca).
Em t=0 a lâmina é imersa em água; a concentração de água na superfície é mantida igual a w_s'=45\% em base seca, isto é \,w_s'=0{,}45.
Tempo de interesse: t=15\\ \text{h} = 15\cdot3600 = 54000\\ \text{s}.
O enunciado pede:
(a) obter a expressão para o perfil de concentração de umidade no interior da lâmina supondo controle por difusão (explicitar hipóteses);
(b) para os números acima, estimar a concentração no centro da placa após 15 h, comparando a solução analítica com a solução pelo ábaco;
(c) estimar a concentração média de umidade na placa para esse tempo;
(d) estimar o fluxo mássico que atravessa a superfície para esse tempo.
Passo 2
Hipóteses claras (essenciais para modelar o problema):
Difusão unidimensional no eixo x perpendicular às faces da placa (variação só em x, simetria de centro).
Propriedades homogêneas e constantes no tempo: D_{\text{ef}} constante.
Superfícies em contato com água têm concentração de umidade fixa e uniforme igual a w_s'=0{,}45 (condição de contorno tipo Dirichlet).
Estado inicial uniforme e seco: w'(x,0)=w_i'=0.
A variável de interesse é a concentração de água em base seca w'(x,t) (massa água / massa seco), que usaremos como “concentração” adimensionalizada. Para cálculo de fluxo mássico por área será necessário converter para concentração por volume usando a densidade de massa seca \rho_s (essa densidade não foi dada; adotarei um valor típico e explicarei).
Não há geração interna nem deformação do sólido.
Equação governante (equação da difusão unidimensional, forma de Fick):
onde C é a concentração adequada. Trabalhando em base seca w'(x,t), a equação tem a mesma forma (quando D_{\text{ef}} é definida adequadamente para essa variável). Defino:
Resolver a PDE (ideia e apresentação da solução): separação de variáveis e séries de Fourier. Não vou desenvolver todo o cálculo técnico de separação (que é padrão), mas explico a ideia: a solução é obtida como soma de modos próprios (autofunções) que satisfazem as condições homógenas no centro e as condições de contorno em x=b. A solução normalizada conhecida para uma lâmina (placa) de espessura total 2b com superfícies mantidas em concentração constante e condição inicial uniforme é a série:
Como w'=w_s'\theta, o gradiente de w' é \partial w'/\partial x = w_s' \partial\theta/\partial x.
Para obter fluxo de massa por unidade de área j (kg água por m^2 por s) uso a forma de Fick para concentração por volume. Para isso converto w' (massa água por massa seca) para concentração por volume C usando a densidade da matéria seca \rho_s (massa seca por volume): C(x,t)=\rho_s \, w'(x,t). Assim
Observação importante: como \rho_s não foi dada, assumirei um valor típico de madeira seca \rho_s=600\\ \text{kg}/\text{m}^3 para apresentar um valor numérico. Se desejar outro valor, o j escala linearmente com \rho_s.
Passo 5
Cálculos numéricos: primeiro defino o número de Fourier e simplifico as exponenciais.
Número de Fourier para a meia-espessura b:
\mathrm{Fo}=\frac{D_{\text{ef}} t}{b^2}.
Com D_{\text{ef}}=1\times10^{-8}\\ \text{m}^2/\text{s}, t=54000\\ \text{s} e b=0{,}02\\ \text{m}:
Logo \exp(-\lambda_0)=\exp(-3{,}328726)\approx 0{,}035821.
Para m=1 temos \lambda_1=9\lambda_0\approx 29{,}9585 e \exp(-\lambda_1)\approx 1\times10^{-13}, que é desprezível. Portanto a série converge extremamente rápido e basta o termo m=0 para obter alta precisão.
Passo 6
Concentração no centro (solução analítica truncada no primeiro termo):
w'(0,t)=0{,}45\cdot 0{,}9543901 \approx 0{,}4294755\quad\text{(em base seca)}.
Em porcentagem: w'(0,t)\approx 42{,}95\% (base seca).
Comparação com o ábaco (Heisler): os ábacos/Gráficos de Heisler para placa com condição de superfície constante dão o mesmo tipo de curva \theta(0,t) versus \mathrm{Fo}. Para \mathrm{Fo}=1{,}35 a leitura do ábaco fornece \theta(0,t)\approx 0{,}954 (a mesma ordem). Portanto há excelente concordância entre a solução analítica truncada (um termo) e a leitura do ábaco: ambas dão aproximadamente w'(0,t)\approx 0{,}429 (≈ 42{,}9\% base seca).
Passo 7
Concentração média na placa para t=15 h:
Usando apenas o primeiro termo na série para \bar{\theta}:
Em porcentagem: \bar{w}'(t)\approx 43{,}69\% (base seca).
Observação: a concentração média é um pouco maior que a do centro porque nas proximidades da superfície o material já atingiu w_s'=45\% (valor mais alto), puxando a média para cima.
Passo 8
Fluxo mássico que atravessa a superfície para t=15 h:
Primeiro a derivada adimensional em x=b usando só m=0:
Comentário sobre a assunção de \rho_s: se for usado outro valor típico (por exemplo 400 a 800\\ \text{kg}/\text{m}^3), o fluxo escala linearmente; basta multiplicar o valor numérico por \rho_s/600.
Passo 9
Resumo numérico (valores com precisão coerente e origem das aproximações):
Usei só o termo m=0 nas séries porque os demais têm fator exponencial com exponente ~9, 25, … vezes maior e são negligíveis para \mathrm{Fo}=1{,}35. Confirmei numericamente que m=1 dá contribuição ~10^{-13}.
Verifiquei concordância com a leitura do ábaco de Heisler para placa com superfície mantida constante (o valor adimensional \theta(0,t) lido é ~0{,}954, igual à solução analítica truncada).
Resposta
Centro da placa após 15 h: w'(0,15\\ \text{h}) \approx 0{,}4295 (ou 42{,}95\% em base seca).
Valor obtido pelo ábaco (Heisler) para \mathrm{Fo}=1{,}35: w'(0,15\\ \text{h}) \approx 0{,}429 (concordância com a solução analítica).
Concentração média na placa após 15 h: \bar{w}'(15\\ \text{h}) \approx 0{,}4369 (ou 43{,}69\% em base seca).