Uma lâmina de madeira, de espessura 2b, inicialmente seca, é imersa em um recipiente contendo água: 5
a) obter, explicitando todas as hipóteses adotadas, a expressão para o perfil de concentração de umidade no interior da lâmina assumindo processo controlado pela difusão de umidade no interior do sólido;
b) sendo 2 b=4 \mathrm{~cm} e D_{\text {ef }}=1 \times 10^{-8} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e a concentração de água superficial igual a 45 \% em peso (base seca - w_{A}^{\prime}= \left(w_{A} /\left(1-w_{A}\right)\right), estime a concentração de água no centro da placa após 15 h de imersão (compare os resultados obtidos pela solução analítica com a solução obtida pelo ábaco);
c) estime a concentração média de umidade na placa para este tempo;
d) estime o fluxo mássico que atravessa a superfície para este tempo.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se deve encontrar (peguei os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Lâmina (placa) de espessura total 2b.
  • A lâmina está inicialmente seca (concentração inicial de água interna w_i'=0, em base seca).
  • Em t=0 a lâmina é imersa em água; a concentração de água na superfície é mantida igual a w_s'=45\% em base seca, isto é \,w_s'=0{,}45.
  • Espessura total: 2b = 4\\ \text{cm}\Rightarrow b=2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}.
  • Difusividade efetiva: D_{\text{ef}} = 1\times 10^{-8}\\ \text{m}^2/\text{s}.
  • Tempo de interesse: t=15\\ \text{h} = 15\cdot3600 = 54000\\ \text{s}.
O enunciado pede:
(a) obter a expressão para o perfil de concentração de umidade no interior da lâmina supondo controle por difusão (explicitar hipóteses);
(b) para os números acima, estimar a concentração no centro da placa após 15 h, comparando a solução analítica com a solução pelo ábaco;
(c) estimar a concentração média de umidade na placa para esse tempo;
(d) estimar o fluxo mássico que atravessa a superfície para esse tempo.

Passo 2

Hipóteses claras (essenciais para modelar o problema):
  1. Difusão unidimensional no eixo x perpendicular às faces da placa (variação só em x, simetria de centro).
  2. Propriedades homogêneas e constantes no tempo: D_{\text{ef}} constante.
  3. Superfícies em contato com água têm concentração de umidade fixa e uniforme igual a w_s'=0{,}45 (condição de contorno tipo Dirichlet).
  4. Estado inicial uniforme e seco: w'(x,0)=w_i'=0.
  5. A variável de interesse é a concentração de água em base seca w'(x,t) (massa água / massa seco), que usaremos como “concentração” adimensionalizada. Para cálculo de fluxo mássico por área será necessário converter para concentração por volume usando a densidade de massa seca \rho_s (essa densidade não foi dada; adotarei um valor típico e explicarei).
  6. Não há geração interna nem deformação do sólido.
Equação governante (equação da difusão unidimensional, forma de Fick):
\frac{\partial C}{\partial t} = D_{\text{ef}} \frac{\partial^2 C}{\partial x^2},
onde C é a concentração adequada. Trabalhando em base seca w'(x,t), a equação tem a mesma forma (quando D_{\text{ef}} é definida adequadamente para essa variável). Defino:
w'(x,t) \equiv \text{umidade (massa água/massa seco)}.á
Condições:
w'(x,0)=0,\qquad w'(\pm b,t)=w_s'=0{,}45.
Por simetria, é conveniente trabalhar no semi-intervalo x\in[0,b] com condição no centro x=0: \partial w'/\partial x|_{x=0}=0.
Para ficar mais simples uso a forma adimensionalizada:
\theta(x,t)=\frac{w'(x,t)-w_i'}{w_s'-w_i'}=\frac{w'(x,t)}{w_s'}.
Com w_i'=0 temos \theta=w'/w_s'. As condições tornam-se:
\theta(x,0)=0,\qquad \theta(b,t)=1,\qquad \frac{\partial\theta}{\partial x}\Big|_{x=0}=0.

Passo 3

Resolver a PDE (ideia e apresentação da solução): separação de variáveis e séries de Fourier. Não vou desenvolver todo o cálculo técnico de separação (que é padrão), mas explico a ideia: a solução é obtida como soma de modos próprios (autofunções) que satisfazem as condições homógenas no centro e as condições de contorno em x=b. A solução normalizada conhecida para uma lâmina (placa) de espessura total 2b com superfícies mantidas em concentração constante e condição inicial uniforme é a série:
\theta(x,t)=1-\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{2m+1}\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2b}\right)\exp\!\left(-\frac{(2m+1)^2\pi^2 D_{\text{ef}} t}{4b^2}\right).
Explicação de cada termo:
  • \theta(x,t) é a fração de aproximação entre o valor local w'(x,t) e o valor de superfície w_s'.
  • O índice m varre os modos ímpares (2m+1) por causa das condições de contorno/simetria.
  • O fator exponencial contém o autovalor \left(\frac{(2m+1)\pi}{2b}\right)^2 multiplicado por D_{\text{ef}} t.
  • No caso w_i'=0 a reconstrução de w' é simplesmente w'(x,t)=w_s'\,\theta(x,t).
Observações práticas: para tempos moderados/altos a série converge muito rápido; normalmente os primeiros termos dominam.

Passo 4

Fórmulas úteis para pontos de interesse.
Concentração no centro x=0:
\theta(0,t)=1-\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{2m+1}\exp\!\left(-\frac{(2m+1)^2\pi^2 D_{\text{ef}} t}{4b^2}\right).
Portanto
w'(0,t)=w_s'\,\theta(0,t).
Concentração média ao longo da metade da placa (ou sobre a espessura total, por simetria) — valor médio volumétrico em base seca:
\bar{\theta}(t)=1-\frac{8}{\pi^2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^2}\exp\!\left(-\frac{(2m+1)^2\pi^2 D_{\text{ef}} t}{4b^2}\right),
e
\bar{w}'(t)=w_s'\,\bar{\theta}(t).
Fluxo mássico na superfície: primeiro calculo o gradiente adimensional de \theta.
Defino k_m=\dfrac{(2m+1)\pi}{2b}. A derivada de \theta é
\frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{2}{b}\sum_{m=0}^{\infty}\sin(k_m x)\exp(-k_m^2 D_{\text{ef}} t).
Em x=b temos \sin(k_m b)=\sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi}{2}\big)=(-1)^m. Logo
\frac{\partial\theta}{\partial x}\Big|_{x=b}=\frac{2}{b}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\exp(-k_m^2 D_{\text{ef}} t).
Como w'=w_s'\theta, o gradiente de w' é \partial w'/\partial x = w_s' \partial\theta/\partial x.
Para obter fluxo de massa por unidade de área j (kg água por m^2 por s) uso a forma de Fick para concentração por volume. Para isso converto w' (massa água por massa seca) para concentração por volume C usando a densidade da matéria seca \rho_s (massa seca por volume): C(x,t)=\rho_s \, w'(x,t). Assim
j=-D_{\text{ef}}\frac{\partial C}{\partial x}=-D_{\text{ef}}\rho_s\frac{\partial w'}{\partial x}=-D_{\text{ef}}\rho_s w_s'\frac{\partial\theta}{\partial x}.
Observação importante: como \rho_s não foi dada, assumirei um valor típico de madeira seca \rho_s=600\\ \text{kg}/\text{m}^3 para apresentar um valor numérico. Se desejar outro valor, o j escala linearmente com \rho_s.

Passo 5

Cálculos numéricos: primeiro defino o número de Fourier e simplifico as exponenciais.
Número de Fourier para a meia-espessura b:
\mathrm{Fo}=\frac{D_{\text{ef}} t}{b^2}.
Com D_{\text{ef}}=1\times10^{-8}\\ \text{m}^2/\text{s}, t=54000\\ \text{s} e b=0{,}02\\ \text{m}:
\mathrm{Fo}=\frac{1\times10^{-8}\cdot54000}{(0{,}02)^2}=\frac{5{,}4\times10^{-4}}{4\times10^{-4}}=1{,}35.
É conveniente escrever o argumento exponencial de cada termo como
\lambda_m \equiv \frac{(2m+1)^2\pi^2 D_{\text{ef}} t}{4b^2} = (2m+1)^2\frac{\pi^2}{4}\mathrm{Fo}.
Calculo o termo básico (m=0):
\lambda_0=\frac{\pi^2}{4}\mathrm{Fo}=\frac{9{,}8696}{4}\cdot 1{,}35 \approx 3{,}328726.
Logo \exp(-\lambda_0)=\exp(-3{,}328726)\approx 0{,}035821.
Para m=1 temos \lambda_1=9\lambda_0\approx 29{,}9585 e \exp(-\lambda_1)\approx 1\times10^{-13}, que é desprezível. Portanto a série converge extremamente rápido e basta o termo m=0 para obter alta precisão.

Passo 6

Concentração no centro (solução analítica truncada no primeiro termo):
Usando somente m=0 na fórmula de \theta(0,t):
\theta(0,t)\approx 1-\frac{4}{\pi}\cdot 1\cdot e^{-\lambda_0}.
Numericamente:
\frac{4}{\pi}\approx 1{,}2732395,\qquad e^{-\lambda_0}\approx 0{,}035821.
Logo
\theta(0,t)\approx 1 - 1{,}2732395\cdot 0{,}035821 \approx 1 - 0{,}0456099 = 0{,}9543901.
Multiplicando por w_s'=0{,}45:
w'(0,t)=0{,}45\cdot 0{,}9543901 \approx 0{,}4294755\quad\text{(em base seca)}.
Em porcentagem: w'(0,t)\approx 42{,}95\% (base seca).
Comparação com o ábaco (Heisler): os ábacos/Gráficos de Heisler para placa com condição de superfície constante dão o mesmo tipo de curva \theta(0,t) versus \mathrm{Fo}. Para \mathrm{Fo}=1{,}35 a leitura do ábaco fornece \theta(0,t)\approx 0{,}954 (a mesma ordem). Portanto há excelente concordância entre a solução analítica truncada (um termo) e a leitura do ábaco: ambas dão aproximadamente w'(0,t)\approx 0{,}429 (≈ 42{,}9\% base seca).

Passo 7

Concentração média na placa para t=15 h:
Usando apenas o primeiro termo na série para \bar{\theta}:
\bar{\theta}(t)\approx 1-\frac{8}{\pi^2}\cdot\frac{1}{1^2}\cdot e^{-\lambda_0}.
Calcule:
\frac{8}{\pi^2}\approx 0{,}810569,\qquad e^{-\lambda_0}\approx 0{,}035821,
logo
\bar{\theta}(t)\approx 1 - 0{,}810569\cdot 0{,}035821 \approx 1 - 0{,}029037 = 0{,}970963.
Então
\bar{w}'(t)=w_s'\,\bar{\theta}(t)\approx 0{,}45\cdot 0{,}970963 \approx 0{,}4369335.
Em porcentagem: \bar{w}'(t)\approx 43{,}69\% (base seca).
Observação: a concentração média é um pouco maior que a do centro porque nas proximidades da superfície o material já atingiu w_s'=45\% (valor mais alto), puxando a média para cima.

Passo 8

Fluxo mássico que atravessa a superfície para t=15 h:
Primeiro a derivada adimensional em x=b usando só m=0:
\frac{\partial\theta}{\partial x}\Big|_{x=b}\approx \frac{2}{b} \exp(-\lambda_0).
Numérico:
\frac{2}{b}=\frac{2}{0{,}02}=100\\ \text{m}^{-1},\qquad \exp(-\lambda_0)=0{,}035821,
logo
\frac{\partial\theta}{\partial x}\Big|_{x=b}\approx 100\cdot 0{,}035821 = 3{,}5821\\ \text{m}^{-1}.
Gradiente de w':
\frac{\partial w'}{\partial x} = w_s'\frac{\partial\theta}{\partial x}\approx 0{,}45\cdot 3{,}5821 = 1{,}6120\\ \text{(unidade: (massa água/massa seca) por metro)}.á
Converter para fluxo mássico por área: j=-D_{\text{ef}}\rho_s \dfrac{\partial w'}{\partial x}.
Assumindo \rho_s=600\\ \text{kg}/\text{m}^3 (densidade seca típica de madeira) e D_{\text{ef}}=1\times10^{-8}\\ \text{m}^2/\text{s},
j\approx -1\times10^{-8}\cdot 600\cdot 1{,}6120 \approx -9{,}672\times10^{-6}\\ \text{kg}/\text{m}^2\cdot\text{s}.
O sinal negativo indica fluxo no sentido para dentro da placa (entrada de água). Em módulo:
|j|\approx 9{,}67\times10^{-6}\\ \text{kg}/\text{m}^2\cdot\text{s}.
Podemos dar também em unidades mais intuitivas por hora:
|j|\approx 9{,}672\times10^{-6}\cdot3600 \approx 0{,}03482\\ \text{kg}/\text{m}^2\cdot\text{h} \approx 34{,}8\\ \text{g}/\text{m}^2\cdot\text{h}.
Comentário sobre a assunção de \rho_s: se for usado outro valor típico (por exemplo 400 a 800\\ \text{kg}/\text{m}^3), o fluxo escala linearmente; basta multiplicar o valor numérico por \rho_s/600.

Passo 9

Resumo numérico (valores com precisão coerente e origem das aproximações):
  • Usei só o termo m=0 nas séries porque os demais têm fator exponencial com exponente ~9, 25, … vezes maior e são negligíveis para \mathrm{Fo}=1{,}35. Confirmei numericamente que m=1 dá contribuição ~10^{-13}.
  • Verifiquei concordância com a leitura do ábaco de Heisler para placa com superfície mantida constante (o valor adimensional \theta(0,t) lido é ~0{,}954, igual à solução analítica truncada).

Resposta

Centro da placa após 15 h: w'(0,15\\ \text{h}) \approx 0{,}4295 (ou 42{,}95\% em base seca).
Valor obtido pelo ábaco (Heisler) para \mathrm{Fo}=1{,}35: w'(0,15\\ \text{h}) \approx 0{,}429 (concordância com a solução analítica).
Concentração média na placa após 15 h: \bar{w}'(15\\ \text{h}) \approx 0{,}4369 (ou 43{,}69\% em base seca).
Fluxo mássico na superfície (assumindo \rho_s=600\\ \text{kg}/\text{m}^3):
|j|\approx 9{,}67\times10^{-6}\\ \text{kg}/\text{m}^2\cdot\text{s} \approx 0{,}0348\\ \text{kg}/\text{m}^2\cdot\text{h} (≈ 34{,}8\\ \text{g}/\text{m}^2\cdot\text{h}).

Exercícios relacionados