Um cilindro cerâmico longo, com 6 in de diâmetro, está sendo seco em ar. Sua umidade inicial é de 14% em peso (base úmida) e a umidade superficial é mantida em
. Deseja-se secar até que a umidade não ultrapasse
em peso (base úmida) em nenhum ponto do cilindro. Supondo secagem controlada por difusão, calcular:
(a) o tempo necessário para a secagem;
(b) a umidade em uma posição situada a l" da superfície, após 40 h de secagem;
(c) o tempo requerido para a secagem de uma esfera do mesmo diâmetro, nas mesmas condições de (a);
(d) o tempo requerido para a secagem de um cubo de aresta igual a 6", nas mesmas condições de (a).
.
(a) o tempo necessário para a secagem;
(b) a umidade em uma posição situada a l" da superfície, após 40 h de secagem;
(c) o tempo requerido para a secagem de uma esfera do mesmo diâmetro, nas mesmas condições de (a);
(d) o tempo requerido para a secagem de um cubo de aresta igual a 6", nas mesmas condições de (a).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Cilindro longo com diâmetro
. Logo o raio é . - Umidade inicial
em peso (base úmida). - Umidade superficial mantida em
(base úmida), constante durante a secagem. - Deseja-se que em nenhum ponto a umidade ultrapasse
(base úmida); isto significa que o pior ponto (o centro) deve ter . - Difusão controlando o processo, com
. - Em (b) pede a umidade em uma posição situada a
da superfície (ou seja, a medido a partir do centro) após . - Em (c) e (d) repetir o tempo de secagem exigido (como no item (a)) para uma esfera de mesmo diâmetro e para um cubo de aresta
, nas mesmas condições.
O que preciso calcular:
(a) tempo até que o centro do cilindro atinja
(base úmida);
(b) umidade em da superfície (ou seja, a
do centro) após
;
(c) tempo equivalente para a esfera de diâmetro (ou seja, raio
);
(d) tempo equivalente para o cubo de aresta (ponto crítico: centro do cubo).
(a) tempo
(b) umidade em
(c) tempo equivalente para a esfera de diâmetro
(d) tempo equivalente para o cubo de aresta
Observações sobre unidades (vou manter tudo em pés e horas onde necessário):
-
. Assim e . - Como
está em , uso ft para comprimentos e h para tempo.
Passo 2
Conceitos e método que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
- Conceito de razão de umidade (analogia com calor): para difusão com superfície mantida em
e condição inicial uniforme , é útil trabalhar com a razão adimensional
Esta razão varia de
(t=0) até
(quando o corpo estiver homogeneamente à umidade da superfície). O ponto mais difícil de secar é o centro, então requeremos
.
- Fourier number (número adimensional de difusão):
onde
é a medida característica (variará com a geometria). Para cilindro usamos
(raio). Para esfera também
(raio). Para o cubo a expressão aparece através dos modos separáveis (veja adiante).
- Soluções em séries e aproximação do primeiro termo (explicação didática):
- As soluções de difusão (com superfície mantida fixa) são séries de termos exponenciais das formas
multiplicados por coeficientes e funções espaciais (Bessel, senos, etc.). Para tempos moderados a longos o primeiro termo (menor autovalor) domina, então a aproximação de “primeiro termo” é frequentemente usada em engenharia para estimar tempos de secagem. Vou usar essa aproximação e justifico: os termos superiores decaem muito mais rápido, então para MR pequenas (menor que, digamos, 0,2) a primeira parcela é dominante e a aproximação dá boa precisão prática.
- Critério numérico que queremos:
Queremos que no centro
Usarei a forma aproximada
apropriada a cada geometria, onde
e
são conhecidos (vou mostrar/derivar).
Passo 3
Resolução do item (a) — cilindro longo (difusão radial), centro atingindo
.
- Fórmula de primeiro termo para o centro de um cilindro com superfície mantida constante:
com
Explicação curta sobre
: são funções de Bessel (aparecem na separação de variáveis em coordenadas cilíndricas). Não precisa memorizar muito, só saber que
e
são tabelados; eu uso os valores numéricos a seguir.
- Valores numéricos necessários:
.
(valor conhecido para a primeira raiz de ).
Logo
- Meta em termos de MR:
- Resolver para
:
Tomando ln:
- Cálculo numérico:
.
- Converter Fo para tempo:
Aqui
, então
. Com
:
Interpretação: aproximadamente
para que o centro do cilindro caia a
(base úmida) ou menos.
Passo 4
Resolução do item (b) — umidade em posição a
da superfície (ou seja,
) após
.
- Coordenadas:
- Raio
. - Posição pedida: a
da superfície distância ao centro .
Logo.
- Fórmula (primeiro termo) para ponto interno a
no cilindro:
com
e
do passo anterior e
.
- Calcular
para :
- Calcular
:
. Então
- Avaliar
com .
Faço uma aproximação por série para(fórmula curta didática):
Para
:
Aplicando:
(Na prática isso dá uma boa aproximação; tabelas/softwares confirmam
.)
- Agora juntar tudo:
com
:
- Converter MR em umidade absoluta:
Com
e
:
Conclusão do item (b): após
a umidade a
da superfície é aproximadamente
(base úmida), ligeiramente acima do limite de
.
Passo 5
Resolução do item (c) — tempo para secagem da esfera de mesmo diâmetro
(raio
).
- Para uma esfera com superfície mantida em
e condição inicial uniforme, a solução radial por separação de variáveis leva a autovalores tais que . O primeiro modo tem . A expansão para o centro (onde a função espacial tende a 1) dá coeficiente do primeiro termo (derivação rápida: integrais da série senoidal para condição inicial unitária levam a ; o primeiro termo em módulo é ).
Assim, para o centro:
Justificação rápida: a dependência temporal do primeiro modo na esfera é
e o coeficiente calculado pela projeção da condição inicial uniforme no primeiro modo é
(detalhei a integral no raciocínio analítico).
- Igualar à MR alvo e resolver para
:
Tomando ln:
- Números:
, , .
Interpretação: a esfera seca mais rápido que o cilindro (aprox.
) porque a geometria dá caminhos médios de difusão menores do centro até a superfície em relação ao cilindro longo de mesmo diâmetro.
Passo 6
Resolução do item (d) — tempo para secagem de um cubo aresta
(ponto crítico: centro do cubo).
- Modelagem e primeiro modo:
Para o cubocom e faces mantidas a , a solução por separação em senos dá modos com frequências
O modo dominante (menor autovalor) correspondente ao centro é
, com
- Coeficiente do primeiro modo no centro:
A expansão tridimensional com condição inicial uniforme produz coeficientes (derivação por quadratura separável) que para o modovalem
(Resumo da derivação: cada coeficiente unidimensional para condição uniforme e modo ímpar é
; multiplicando os três e incluindo o fator de normalização espacial obtém-se
.)
- Aproximação de primeiro termo para MR no centro:
- Igualar à MR alvo e resolver para
:
Calcule numericamente o lado direito:
.
Numéricamente , então
.
Numéricamente
Tomando ln:
Logo
- Números:
. Então
Assim
Interpretação: o cubo leva cerca de
, entre os valores do cilindro e da esfera por causa da sua combinação de caminhos de difusão em 3 direções.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)