Um cilindro cerâmico longo, com 6 in de diâmetro, está sendo seco em ar. Sua umidade inicial é de 14% em peso (base úmida) e a umidade superficial é mantida em 3 \%. Deseja-se secar até que a umidade não ultrapasse 4 \% em peso (base úmida) em nenhum ponto do cilindro. Supondo secagem controlada por difusão, calcular:
(a) o tempo necessário para a secagem;
(b) a umidade em uma posição situada a l" da superfície, após 40 h de secagem;
(c) o tempo requerido para a secagem de uma esfera do mesmo diâmetro, nas mesmas condições de (a);
(d) o tempo requerido para a secagem de um cubo de aresta igual a 6", nas mesmas condições de (a).
D_{e f}=5 \times 10^{-4} \mathrm{ft}^{2} / \mathrm{h}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Cilindro longo com diâmetro 6''. Logo o raio é a=3''=0{,}25\\ \text{ft}.
  • Umidade inicial U_0=14\% em peso (base úmida).
  • Umidade superficial mantida em U_s=3\% (base úmida), constante durante a secagem.
  • Deseja-se que em nenhum ponto a umidade ultrapasse 4\% (base úmida); isto significa que o pior ponto (o centro) deve ter U\le 4\%.
  • Difusão controlando o processo, com D_{ef}=5\times10^{-4}\\ \text{ft}^2/\text{h}.
  • Em (b) pede a umidade em uma posição situada a 1'' da superfície (ou seja, a r=a-1'' medido a partir do centro) após 40\\ \text{h}.
  • Em (c) e (d) repetir o tempo de secagem exigido (como no item (a)) para uma esfera de mesmo diâmetro e para um cubo de aresta 6'', nas mesmas condições.
O que preciso calcular:
(a) tempo t até que o centro do cilindro atinja U\le 4\% (base úmida);
(b) umidade em 1'' da superfície (ou seja, a r=2'' do centro) após 40\\ \text{h};
(c) tempo equivalente para a esfera de diâmetro 6'' (ou seja, raio a=3'');
(d) tempo equivalente para o cubo de aresta 6'' (ponto crítico: centro do cubo).
Observações sobre unidades (vou manter tudo em pés e horas onde necessário):
  • 1''=1/12\\ \text{ft}. Assim 3''=0{,}25\\ \text{ft} e 6''=0{,}5\\ \text{ft}.
  • Como D_{ef} está em \text{ft}^2/\text{h}, uso ft para comprimentos e h para tempo.

Passo 2

Conceitos e método que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
  1. Conceito de razão de umidade (analogia com calor): para difusão com superfície mantida em U_s e condição inicial uniforme U_0, é útil trabalhar com a razão adimensional
\text{MR}(r,t)=\frac{U(r,t)-U_s}{U_0-U_s}.
Esta razão varia de 1 (t=0) até 0 (quando o corpo estiver homogeneamente à umidade da superfície). O ponto mais difícil de secar é o centro, então requeremos \text{MR}_{\text{centro}}\le\frac{4\%-3\%}{14\%-3\%}=\dfrac{1}{11}.
  1. Fourier number (número adimensional de difusão):
\text{Fo}=\frac{D_{ef}\,t}{L_c^2},
onde L_c é a medida característica (variará com a geometria). Para cilindro usamos L_c=a (raio). Para esfera também L_c=a (raio). Para o cubo a expressão aparece através dos modos separáveis (veja adiante).
  1. Soluções em séries e aproximação do primeiro termo (explicação didática):
  • As soluções de difusão (com superfície mantida fixa) são séries de termos exponenciais das formas \exp(-\lambda_n^2 D_{ef} t / L^2) multiplicados por coeficientes e funções espaciais (Bessel, senos, etc.). Para tempos moderados a longos o primeiro termo (menor autovalor) domina, então a aproximação de “primeiro termo” é frequentemente usada em engenharia para estimar tempos de secagem. Vou usar essa aproximação e justifico: os termos superiores decaem muito mais rápido, então para MR pequenas (menor que, digamos, 0,2) a primeira parcela é dominante e a aproximação dá boa precisão prática.
  1. Critério numérico que queremos:
    Queremos que no centro
\text{MR}_{\text{centro}} \le \frac{1}{11}\approx 0{,}090909.
Usarei a forma aproximada \text{MR}\approx A_1 \exp(-\lambda_1^2 \,\text{Fo}) apropriada a cada geometria, onde A_1 e \lambda_1 são conhecidos (vou mostrar/derivar).

Passo 3

Resolução do item (a) — cilindro longo (difusão radial), centro atingindo U\le4\%.
  1. Fórmula de primeiro termo para o centro de um cilindro com superfície mantida constante:
\text{MR}_{\text{centro}} \approx A_1 \exp\big(-\alpha_1^2\,\text{Fo}\big),
com
\text{Fo}=\frac{D_{ef}\,t}{a^2},
\alpha_1 = primeiro autovalor da equação J_0(\alpha)=0, isto é \alpha_1\approx 2{,}404825, e
A_1=\frac{2}{\alpha_1 J_1(\alpha_1)}.
Explicação curta sobre J_0,J_1: são funções de Bessel (aparecem na separação de variáveis em coordenadas cilíndricas). Não precisa memorizar muito, só saber que \alpha_1 e A_1 são tabelados; eu uso os valores numéricos a seguir.
  1. Valores numéricos necessários:
    \alpha_1\approx 2{,}404825.
    J_1(\alpha_1)\approx 0{,}51915 (valor conhecido para a primeira raiz de J_0).
    Logo
A_1=\frac{2}{2{,}404825\times 0{,}51915}\approx 1{,}601.
  1. Meta em termos de MR:
\text{MR}_{\text{meta}}=\frac{4\%-3\%}{14\%-3\%}=\frac{1}{11}\approx 0{,}090909.
  1. Resolver para \text{Fo}:
\text{MR}_{\text{meta}} \approx A_1 \exp(-\alpha_1^2\text{Fo}) \quad\Rightarrow\quad \exp(-\alpha_1^2\text{Fo})\approx\frac{\text{MR}_{\text{meta}}}{A_1}.
Tomando ln:
\text{Fo}=-\frac{1}{\alpha_1^2}\ln\!\left(\frac{\text{MR}_{\text{meta}}}{A_1}\right).
  1. Cálculo numérico:
    \alpha_1^2\approx 2{,}404825^2\approx 5{,}783.
\frac{\text{MR}_{\text{meta}}}{A_1}=\frac{0{,}090909}{1{,}601}\approx 0{,}05677, \qquad \ln(0{,}05677)\approx -2{,}868.
\text{Fo}=-\frac{1}{5{,}783}(-2{,}868)\approx 0{,}4961.
  1. Converter Fo para tempo:
t=\frac{\text{Fo}\,a^2}{D_{ef}}.
Aqui a=3''=0{,}25\\ \text{ft}, então a^2=0{,}0625\\ \text{ft}^2. Com D_{ef}=5\times10^{-4}\\ \text{ft}^2/\text{h}:
t= \frac{0{,}4961\times 0{,}0625}{5\times10^{-4}} = \frac{0{,}031006}{5\times10^{-4}}\approx 62{,}0\\ \text{h}.
Interpretação: aproximadamente 62{,}0\\ \text{h} para que o centro do cilindro caia a 4\% (base úmida) ou menos.

Passo 4

Resolução do item (b) — umidade em posição a 1'' da superfície (ou seja, r=a-1'') após 40\\ \text{h}.
  1. Coordenadas:
  • Raio a=3''.
  • Posição pedida: a 1'' da superfície \Rightarrow distância ao centro r=a-1''=3''-1''=2''.
    Logo r/a = 2/3 \approx 0{,}6667.
  1. Fórmula (primeiro termo) para ponto interno a r no cilindro:
\text{MR}(r,t)\approx A_1\,J_0\!\big(\alpha_1\frac{r}{a}\big)\,\exp\big(-\alpha_1^2\text{Fo}\big),
com A_1 e \alpha_1 do passo anterior e \text{Fo}=\dfrac{D_{ef}\,t}{a^2}.
  1. Calcular \text{Fo} para t=40\\ \text{h}:
\text{Fo}=\frac{5\times10^{-4}\times 40}{0{,}0625}=\frac{0{,}02}{0{,}0625}=0{,}32.
  1. Calcular \exp(-\alpha_1^2\text{Fo}):
    \alpha_1^2\approx 5{,}783. Então
\exp(-5{,}783\times 0{,}32)=\exp(-1{,}8506)\approx 0{,}1573.
  1. Avaliar J_0\big(\alpha_1\frac{r}{a}\big) com \alpha_1\frac{r}{a}=\alpha_1\times 0{,}6667\approx 2{,}404825\times 0{,}6667\approx 1{,}6032.
    Faço uma aproximação por série para J_0(x) (fórmula curta didática):
J_0(x)\approx 1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64}-\frac{x^6}{2304}+\cdots
Para x=1{,}6032:
x^2\approx 2{,}571,\quad x^4\approx 6{,}610,\quad x^6\approx 16{,}99.
Aplicando:
J_0(1{,}6032)\approx 1-\frac{2{,}571}{4}+\frac{6{,}610}{64}-\frac{16{,}99}{2304}\approx 1-0{,}6428+0{,}1033-0{,}0074\approx 0{,}453.
(Na prática isso dá uma boa aproximação; tabelas/softwares confirmam J_0(1{,}603)\approx 0{,}453.)
  1. Agora juntar tudo:
\text{MR}(r=2'',t=40\\ \text{h})\approx A_1\times J_0(1{,}6032)\times 0{,}1573
com A_1\approx 1{,}601:
\text{MR}\approx 1{,}601\times 0{,}453\times 0{,}1573\approx 0{,}1141.
  1. Converter MR em umidade absoluta:
U(r,t)=U_s + \text{MR}\,(U_0-U_s).
Com U_s=3\% e U_0-U_s=11\%:
U\approx 3\% + 0{,}1141\times 11\% \approx 3\% + 1{,}255\% \approx 4{,}255\%.
Conclusão do item (b): após 40\\ \text{h} a umidade a 1'' da superfície é aproximadamente 4{,}26\% (base úmida), ligeiramente acima do limite de 4\%.

Passo 5

Resolução do item (c) — tempo para secagem da esfera de mesmo diâmetro 6'' (raio a=3'').
  1. Para uma esfera com superfície mantida em U_s e condição inicial uniforme, a solução radial por separação de variáveis leva a autovalores \lambda_n tais que \lambda_n a = n\pi. O primeiro modo tem \lambda_1=\pi/a. A expansão para o centro (onde a função espacial tende a 1) dá coeficiente do primeiro termo A_1=2 (derivação rápida: integrais da série senoidal para condição inicial unitária levam a b_n=2(-1)^{\,n+1}; o primeiro termo em módulo é 2).
Assim, para o centro:
\text{MR}_{\text{centro}}\approx A_1\exp(-\lambda_1^2 D_{ef} t) =2\exp\!\big(-\pi^2\frac{D_{ef}\,t}{a^2}\big).
Justificação rápida: a dependência temporal do primeiro modo na esfera é \exp(-(\pi/a)^2 D_{ef} t) e o coeficiente calculado pela projeção da condição inicial uniforme no primeiro modo é 2 (detalhei a integral no raciocínio analítico).
  1. Igualar à MR alvo e resolver para t:
\frac{1}{11}\approx 2\exp\!\big(-\pi^2\frac{D_{ef}t}{a^2}\big) \quad\Rightarrow\quad \exp\!\big(-\pi^2\frac{D_{ef}t}{a^2}\big)\approx\frac{1}{22}.
Tomando ln:
\pi^2\frac{D_{ef}t}{a^2}=-\ln\!\left(\frac{1}{22}\right)=\ln(22)\approx 3{,}091.
t=\frac{a^2}{\pi^2 D_{ef}}\ln(22).
  1. Números: a^2=0{,}0625\\ \text{ft}^2, \pi^2\approx 9{,}8696, D_{ef}=5\times10^{-4}.
t=\frac{0{,}0625}{9{,}8696\times 5\times10^{-4}}\times 3{,}091 = \frac{0{,}0625}{0{,}0049348}\times 3{,}091 \approx 12{,}66\times 3{,}091 \approx 39{,}2\\ \text{h}.
Interpretação: a esfera seca mais rápido que o cilindro (aprox. 39{,}2\\ \text{h}) porque a geometria dá caminhos médios de difusão menores do centro até a superfície em relação ao cilindro longo de mesmo diâmetro.

Passo 6

Resolução do item (d) — tempo para secagem de um cubo aresta 6'' (ponto crítico: centro do cubo).
  1. Modelagem e primeiro modo:
    Para o cubo 0\le x,y,z\le L com L=6''=0{,}5\\ \text{ft} e faces mantidas a U_s, a solução por separação em senos dá modos (n,m,p) com frequências
\lambda_{nmp}^2=\pi^2\!\left(\frac{n^2}{L^2}+\frac{m^2}{L^2}+\frac{p^2}{L^2}\right).
O modo dominante (menor autovalor) correspondente ao centro é (n,m,p)=(1,1,1), com
\lambda_{111}^2=\frac{3\pi^2}{L^2}.
  1. Coeficiente do primeiro modo no centro:
    A expansão tridimensional com condição inicial uniforme produz coeficientes (derivação por quadratura separável) que para o modo (1,1,1) valem
A_1=\frac{64}{\pi^3}\approx 2{,}0639.
(Resumo da derivação: cada coeficiente unidimensional para condição uniforme e modo ímpar é 4/(n\pi); multiplicando os três e incluindo o fator de normalização espacial obtém-se 64/\pi^3.)
  1. Aproximação de primeiro termo para MR no centro:
\text{MR}_{\text{centro}}\approx A_1 \exp\!\big(-\lambda_{111}^2 D_{ef} t\big) = \frac{64}{\pi^3}\exp\!\Big(-\frac{3\pi^2 D_{ef} t}{L^2}\Big).
  1. Igualar à MR alvo e resolver para t:
\frac{1}{11}\approx \frac{64}{\pi^3}\exp\!\Big(-\frac{3\pi^2 D_{ef} t}{L^2}\Big) \quad\Rightarrow\quad \exp\!\Big(-\frac{3\pi^2 D_{ef} t}{L^2}\Big)\approx \frac{1}{11}\frac{\pi^3}{64}.
Calcule numericamente o lado direito:
\dfrac{1}{11}\dfrac{\pi^3}{64} = \dfrac{\pi^3}{704}.
Numéricamente \pi^3\approx 31{,}006, então \pi^3/704\approx 0{,}04407.
Tomando ln:
\frac{3\pi^2 D_{ef} t}{L^2}=-\ln(0{,}04407)\approx 3{,}121.
Logo
t=\frac{L^2}{3\pi^2 D_{ef}}\times 3{,}121.
  1. Números: L=0{,}5\\ \text{ft}\Rightarrow L^2=0{,}25\\ \text{ft}^2. Então
\lambda_{111}^2 D_{ef} = \frac{3\pi^2}{L^2}D_{ef} = \frac{3\pi^2\times 5\times10^{-4}}{0{,}25} = 118{,}435\times 5\times10^{-4}=0{,}0592175\\ \text{h}^{-1}.
Assim
t=\frac{3{,}121}{0{,}0592175}\approx 52{,}7\\ \text{h}.
Interpretação: o cubo leva cerca de 52{,}7\\ \text{h}, entre os valores do cilindro e da esfera por causa da sua combinação de caminhos de difusão em 3 direções.

Resposta

(a) 62{,}0\\ \text{h}
(b) 4{,}26\%\\ \text{(base úmida)}ú
(c) 39{,}2\\ \text{h}
(d) 52{,}7\\ \text{h}

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