Um cilindro poroso de 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro e 80 cm de comprimento é saturado em álcool. Os espaços vazios no sólido contêm poros suficientes tal que a difusão molecular possa ocorrer através da passagem do líquido. O cilindro é deixado em um grande reservatório de água bem agitado. A agitação mantém uma concentração de 1% em peso de álcool na superfície do cilindro. Se a concentração no centro do cilindro cai de 30 \% em peso de álcool a 18% em peso em 10 h , determinar a concentração em porcentagem em peso no centro, após 15 h .

Passo 1

O cilindro poroso de diâmetro 2,5\:\mathrm{cm} (logo raio R=1,25\:\mathrm{cm}) está inicialmente saturado com concentração uniforme de álcool C_i=30\% em peso. Na superfície radial a concentração é mantida constante em C_s=1\%. O que queremos é a evolução da concentração no centro ( r=0) ao longo do tempo, usando a equação de difusão radial transiente em coordenadas cilíndricas, cuja solução analítica para r=0 é expressa por uma série de autovalores de Bessel.

Passo 2

Definimos a concentração adimensional
\theta(t)\;=\;\frac{C(0,t)-C_s}{C_i-C_s}
e o número de Fourier
\mathrm{Fo} \;=\;\frac{D_m\,t}{R^2},
onde D_m é o coeficiente de difusão molecular. A solução em r=0 vale
\theta(t) =\;2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\gamma_n\,J_1(\gamma_n)} \exp\bigl(-\gamma_n^2\,\mathrm{Fo}\bigr),
sendo \gamma_n as raízes de J_0(\gamma)=0. Para tempos moderados basta o primeiro termo ( \gamma_1=2,4048, J_1(\gamma_1)=0,5191):
\theta(t)\approx \frac{2}{\gamma_1\,J_1(\gamma_1)} \exp\bigl(-\gamma_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr) \;=\;1{,}601\;\exp\bigl(-5{,}783\,\mathrm{Fo}\bigr).

Passo 3

Aos t_1=10\:\mathrm{h} temos C(0,10)=18\%, então
\theta(10) =\frac{18-1}{30-1} =\frac{17}{29} =0{,}5862.
Logo
0{,}5862 \approx1{,}601\;\exp\bigl(-5{,}783\,\mathrm{Fo}_1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \exp\bigl(-5{,}783\,\mathrm{Fo}_1\bigr) =0{,}3662 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Fo}_1=0{,}1737.

Passo 4

Para t_2=15\:\mathrm{h} vale \mathrm{Fo}_2=(15/10)\,\mathrm{Fo}_1=1{,}5\times0{,}1737=0{,}2606. Então
\theta(15) \approx1{,}601\;\exp\bigl(-5{,}783\times0{,}2606\bigr) =1{,}601\times\exp(-1{,}507) =1{,}601\times0{,}2216 =0{,}3548.
Voltando à concentração real:
C(0,15) =C_s+\theta(15)\,(C_i-C_s) =1 + 0{,}3548\times29 =1 + 10{,}29 =11{,}29\%\\ (\text{em peso}).

Resposta

A concentração de álcool no centro após 15 h é aproximadamente 11{,}3\% em peso.

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