😎 Um cilindro de raio R e comprimento infinito é feito de um dielétrico permanentemente polarizado. O vetor de polarização \mathbf{P} é proporcional ao vetor radial \mathbf{r} em todos os pontos, \mathbf{P}=a \mathbf{r}, onde a é uma constante positiva. O cilindro gira em torno de seu eixo com velocidade angular \omega. Este é um problema não relativístico ( \omega R \ll c ).
(a) Encontre o campo elétrico \mathbf{E} a uma distância r tanto dentro quanto fora do cilindro. (b) Encontre o campo magnético B a uma distância r tanto dentro quanto fora do cilindro. (c) Qual é a energia eletromagnética total armazenada por unidade de comprimento do cilindro: (i) antes de o cilindro começar a girar? (ii) enquanto ele está girando?

Passo 1

O enunciado dá um cilindro infinito de raio R feito de um dielétrico com polarização permanente que, em todo ponto, é proporcional ao vetor posição radial. Ou seja:
\mathbf{P} = a\,\mathbf{r},
onde a>0 é constante e, em coordenadas cilíndricas, isso significa \mathbf{P}=a r\,\hat r.
O cilindro pode girar em torno de seu eixo com velocidade angular \omega (situação não relativística: \omega R \ll c).
As perguntas são:
(a) Encontrar o campo elétrico \mathbf{E} a uma distância r tanto dentro ( r<R) quanto fora ( r>R) do cilindro.
(b) Encontrar o campo magnético \mathbf{B} a uma distância r tanto dentro quanto fora do cilindro, quando ele gira com velocidade angular \omega.
(c) Calcular a energia eletromagnética por unidade de comprimento do cilindro:
\quad (i) antes de começar a girar, e
\quad (ii) enquanto está girando.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathbf{P}(r)=a r\,\hat r,\qquad \text{cilindro infinito de raio }R,\qquad \omega \text{ (quando gira).}

Passo 2

Vamos calcular as cargas ligadas criadas pela polarização — isso é essencial para achar \mathbf{E}.
Conceito importante (mini-aula): a polarização \mathbf{P} produz cargas ligadas de duas formas:
  • densidade de carga ligada volumétrica:
\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P},
onde \rho_b tem unidades de carga por volume;
  • densidade de carga ligada de superfície, na superfície do dielétrico com normal \hat n:
\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat n.
Aplicando isto ao nosso caso:
em coordenadas cilíndricas, para um campo radial \mathbf{P}=P_r(r)\,\hat r,
\nabla\cdot\mathbf{P}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r P_r(r)\big).
Aqui P_r(r)=a r. Então
\nabla\cdot\mathbf{P}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r\cdot a r\big)=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(a r^2)=\frac{1}{r}\cdot 2a r=2a.
Logo
\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P} = -2a \quad\text{(constante dentro do dielétrico)}.é
Na superfície r=R (normal radial para fora \hat n=\hat r):
\sigma_b = \mathbf{P}(R)\cdot\hat r = a R.
Verificação da conservação de carga (bom para checar se não fiz bobagem): carga ligada por unidade de comprimento devido ao volume é
\lambda_{\text{vol}}=\int_0^R \rho_b\;2\pi r\,dr = -2a\;2\pi\int_0^R r\,dr = -2a\;2\pi\frac{R^2}{2}=-2\pi a R^2.
Carga ligada por unidade de comprimento na superfície:
\lambda_{\text{surf}}=\sigma_b\cdot 2\pi R = a R\cdot 2\pi R = 2\pi a R^2.
Somando: \lambda_{\text{vol}}+\lambda_{\text{surf}}=0. O corpo é eletricamente neutro globalmente — ótimo.

Passo 3

(a) Calcular \mathbf{E} (mini-aula sobre método): para campos eletrostáticos gerados por densidade de carga total \rho (aqui \rho=\rho_b, não há cargas livres), usamos a equação de Maxwell (Lei de Gauss local):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Pela simetria cilíndrica o campo elétrico será radial: \mathbf{E}=E_r(r)\,\hat r. Em coordenadas cilíndricas,
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r E_r(r)\big).
Dentro do cilindro ( r<R) temos \rho=\rho_b=-2a. Assim
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r E_r\big)=\frac{-2a}{\varepsilon_0}.
Multiplicar por r e integrar:
\frac{d}{dr}\big(r E_r\big) = \frac{-2a}{\varepsilon_0} r
r E_r(r)=\int_0^r \frac{-2a}{\varepsilon_0} r'\,dr' = \frac{-2a}{\varepsilon_0}\cdot\frac{r^2}{2} = \frac{-a r^2}{\varepsilon_0}.
No centro r=0 queremos E_r finito, então constante de integração zero. Logo
E_r(r)= -\frac{a r}{\varepsilon_0},\qquad (r<R).
Portanto
\boxed{\mathbf{E}(r) = -\frac{a}{\varepsilon_0}\,r\,\hat r\quad\text{para }r<R.}
Fora do cilindro ( r>R) a carga total por unidade de comprimento dentro de um raio r é zero (mostramos que volume+superfície se cancelam). Pela simetria e pela Lei de Gauss a solução para r>R é E_r=0. Logo
\boxed{\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad\text{para }r>R.}
Interpretação física curta: o campo elétrico é radial dentro, proporcional a r (como num campo de densidade volumétrica constante), e desaparece fora porque o cilindro é neutro globalmente.

Passo 4

(b) Agora que o cilindro gira: precisamos achar as correntes ligadas que surgem do movimento das cargas ligadas encontradas no Passo 2, e então calcular \mathbf{B}.
Mini-aula sobre correntes ligadas por movimento: se há uma densidade de carga \rho(\mathbf{r}) que se move com velocidade \mathbf{v}(\mathbf{r}), a densidade de corrente é
\mathbf{J}=\rho\,\mathbf{v}.
Se há uma densidade superficial \sigma movendo-se com velocidade tangencial v em uma superfície, existe uma corrente superficial \mathbf{K}=\sigma\,\mathbf{v} (unidade A/m).
No nosso caso, quando o corpo gira com velocidade angular \omega, um ponto com coordenada radial r tem velocidade tangencial
\mathbf{v}(r)=\omega r\,\hat\varphi.
Portanto a densidade de corrente volumétrica ligada (para r<R) é
\mathbf{J}_b(r)=\rho_b\,\mathbf{v} = (-2a)\cdot(\omega r\,\hat\varphi) = -2a\omega r\,\hat\varphi.
E na superfície r=R a corrente superficial ligada é
\mathbf{K}_b = \sigma_b\,\mathbf{v}(R) = (a R)\cdot(\omega R\,\hat\varphi)= a\omega R^2\,\hat\varphi.
Observação de sinal: \mathbf{J}_b é no sentido -\hat\varphi (porque \rho_b é negativa), enquanto a corrente superficial \mathbf{K}_b é no sentido +\hat\varphi. Essas correntes combinadas são as fontes do campo magnético.

Passo 5

Calcular \mathbf{B} a partir de \mathbf{J}_b (mini-aula de magnetostática): em regime estacionário e não relativístico usamos
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J},
sabendo que \nabla\cdot\mathbf{B}=0. Pela simetria cilíndrica, o campo magnético resultante será paralelo ao eixo do cilindro ( \hat z) e função apenas de r:
\mathbf{B}(r)=B_z(r)\,\hat z.
Fórmula útil para o rotacional em coordenadas cilíndricas: para um campo com apenas componente z dependente de r,
(\nabla\times\mathbf{B})_\varphi = -\frac{dB_z}{dr}.
A equação de Maxwell dá então, para a componente \varphi,
-\frac{dB_z}{dr} = \mu_0 J_\varphi(r).
Dentro ( r<R) substituímos J_\varphi(r)=-2a\omega r:
-\frac{dB_z}{dr} = \mu_0 (-2a\omega r) \quad\Rightarrow\quad \frac{dB_z}{dr}=2\mu_0 a\omega r.
Integramos de 0 até r:
B_z(r)-B_z(0)=\int_0^r 2\mu_0 a\omega r'\,dr'=\mu_0 a\omega r^2.
Portanto
B_z(r)=B_z(0) + \mu_0 a\omega r^2,\qquad (r<R).
Para r>R, não há corrente volumétrica ( J_\varphi=0), portanto \frac{dB_z}{dr}=0 e B_z é constante fora:
B_z(r)=\text{const. for }r>R.
Precisamos determinar as constantes usando condições de contorno. Há uma corrente superficial \mathbf{K}_b na superfície r=R. Integrando a equação -\frac{dB_z}{dr}=\mu_0 J_\varphi através de um pequeno intervalo que cruza r=R (ou usando condição de salto para campo magnético devido à corrente superficial), obtemos o salto:
B_z(R^+)-B_z(R^-)= -\mu_0 K_\varphi.
Aqui K_\varphi=a\omega R^2.
Vamos exigir que \mathbf{B} vá a zero no infinito (campo esperado para correntes fechadas deste tipo): B_z(r\to\infty)=0. Logo a constante fora é zero:
B_z(r)=0\quad(r>R).
Aplicando a condição de salto:
0 - B_z(R^-)= -\mu_0 K_\varphi \quad\Rightarrow\quad B_z(R^-)=\mu_0 K_\varphi = \mu_0 a\omega R^2.
Comparando com expressão interna B_z(R^-)=B_z(0)+\mu_0 a\omega R^2 obtemos B_z(0)=0. Assim finalmente:
B_z(r)=\mu_0 a\omega r^2,\qquad (r<R),
e
B_z(r)=0,\qquad (r>R).
Em vetor:
\boxed{\mathbf{B}(r)=\mu_0 a\omega r^2\,\hat z\quad\text{para }r<R,\qquad \mathbf{B}(r)=\mathbf{0}\quad\text{para }r>R.}
Breve interpretação física: as correntes azimutais distribuídas criam um campo axial que cresce com r^2 no interior, e anulam fora (comportamento parecido com um solenóide perfeito: campo confinado ao interior).

Passo 6

(c) Energia eletromagnética por unidade de comprimento. Mini-aula sobre energia de campo: densidade de energia eletromagnética (no regime não relativístico estacionário) é
u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2.
A energia por unidade de comprimento é a integral sobre a seção transversal:
U = \int_0^\infty u\;2\pi r\,dr.
(i) Antes de girar: \mathbf{B}=\mathbf{0}. Usamos \mathbf{E}(r)=-\dfrac{a}{\varepsilon_0}r\,\hat r para r<R e \mathbf{E}=0 fora. Então a densidade elétrica é
\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{a^2 r^2}{\varepsilon_0^2}\right)=\frac{a^2 r^2}{2\varepsilon_0}.
Energia por unidade de comprimento:
U_{\text{antes}}=\int_0^R \frac{a^2 r^2}{2\varepsilon_0}\;2\pi r\,dr = \frac{a^2\pi}{\varepsilon_0}\int_0^R r^3\,dr = \frac{a^2\pi}{\varepsilon_0}\cdot\frac{R^4}{4}.
Portanto
\boxed{U_{\text{antes}} = \frac{\pi a^2 R^4}{4\varepsilon_0}.}
(ii) Enquanto gira: o campo elétrico não muda (não-relativístico), então a energia elétrica é a mesma. Além disso aparece energia magnética devido a \mathbf{B} interno:
B(r)=\mu_0 a\omega r^2\quad (r<R).
Densidade magnética:
\frac{1}{2\mu_0}B^2 = \frac{1}{2\mu_0}\big(\mu_0^2 a^2\omega^2 r^4\big) = \frac{1}{2}\mu_0 a^2\omega^2 r^4.
Energia magnética por unidade de comprimento:
U_{\text{mag}}=\int_0^R \frac{1}{2}\mu_0 a^2\omega^2 r^4\;2\pi r\,dr = \mu_0 a^2\omega^2\pi\int_0^R r^5\,dr = \mu_0 a^2\omega^2\pi\cdot\frac{R^6}{6}.
Logo a energia total por unidade de comprimento enquanto gira é
U_{\text{enquanto}} = U_{\text{antes}} + U_{\text{mag}} = \frac{\pi a^2 R^4}{4\varepsilon_0} + \frac{\pi\mu_0 a^2\omega^2 R^6}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)= -\dfrac{a}{\varepsilon_0}\,r\,\hat r\quad (r<R),\qquad \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad (r>R).\n
(b) \displaystyle \mathbf{B}(r)=\mu_0 a\omega r^2\,\hat z\quad (r<R),\qquad \mathbf{B}(r)=\mathbf{0}\quad (r>R).\n
(c)(i) \displaystyle U_{\text{antes}}=\frac{\pi a^2 R^4}{4\varepsilon_0}.\n
(c)(ii) \displaystyle U_{\text{enquanto}}=\frac{\pi a^2 R^4}{4\varepsilon_0}+\frac{\pi\mu_0 a^2\omega^2 R^6}{6}.

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