😎 Um cilindro de raio
e comprimento infinito é feito de um dielétrico permanentemente polarizado. O vetor de polarização
é proporcional ao vetor radial
em todos os pontos,
, onde
é uma constante positiva. O cilindro gira em torno de seu eixo com velocidade angular
. Este é um problema não relativístico (
).
(a) Encontre o campo elétrico
a uma distância
tanto dentro quanto fora do cilindro. (b) Encontre o campo magnético B a uma distância
tanto dentro quanto fora do cilindro. (c) Qual é a energia eletromagnética total armazenada por unidade de comprimento do cilindro: (i) antes de o cilindro começar a girar? (ii) enquanto ele está girando?
(a) Encontre o campo elétrico
Passo 1
O enunciado dá um cilindro infinito de raio
feito de um dielétrico com polarização permanente que, em todo ponto, é proporcional ao vetor posição radial. Ou seja:
onde
é constante e, em coordenadas cilíndricas, isso significa
.
O cilindro pode girar em torno de seu eixo com velocidade angular
(situação não relativística:
).
As perguntas são:
(a) Encontrar o campo elétrico a uma distância
tanto dentro (
) quanto fora (
) do cilindro.
(b) Encontrar o campo magnético a uma distância
tanto dentro quanto fora do cilindro, quando ele gira com velocidade angular
.
(c) Calcular a energia eletromagnética por unidade de comprimento do cilindro:
\quad (i) antes de começar a girar, e
\quad (ii) enquanto está girando.
(a) Encontrar o campo elétrico
(b) Encontrar o campo magnético
(c) Calcular a energia eletromagnética por unidade de comprimento do cilindro:
\quad (i) antes de começar a girar, e
\quad (ii) enquanto está girando.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos calcular as cargas ligadas criadas pela polarização — isso é essencial para achar
.
Conceito importante (mini-aula): a polarização
produz cargas ligadas de duas formas:
- densidade de carga ligada volumétrica:
onde
tem unidades de carga por volume;
- densidade de carga ligada de superfície, na superfície do dielétrico com normal
:
Aplicando isto ao nosso caso:
em coordenadas cilíndricas, para um campo radial ,
em coordenadas cilíndricas, para um campo radial
Aqui
. Então
Logo
Na superfície
(normal radial para fora
):
Verificação da conservação de carga (bom para checar se não fiz bobagem): carga ligada por unidade de comprimento devido ao volume é
Carga ligada por unidade de comprimento na superfície:
Somando:
. O corpo é eletricamente neutro globalmente — ótimo.
Passo 3
(a) Calcular
(mini-aula sobre método): para campos eletrostáticos gerados por densidade de carga total
(aqui
, não há cargas livres), usamos a equação de Maxwell (Lei de Gauss local):
Pela simetria cilíndrica o campo elétrico será radial:
. Em coordenadas cilíndricas,
Dentro do cilindro (
) temos
. Assim
Multiplicar por
e integrar:
No centro
queremos
finito, então constante de integração zero. Logo
Portanto
Fora do cilindro (
) a carga total por unidade de comprimento dentro de um raio
é zero (mostramos que volume+superfície se cancelam). Pela simetria e pela Lei de Gauss a solução para
é
. Logo
Interpretação física curta: o campo elétrico é radial dentro, proporcional a
(como num campo de densidade volumétrica constante), e desaparece fora porque o cilindro é neutro globalmente.
Passo 4
(b) Agora que o cilindro gira: precisamos achar as correntes ligadas que surgem do movimento das cargas ligadas encontradas no Passo 2, e então calcular
.
Mini-aula sobre correntes ligadas por movimento: se há uma densidade de carga
que se move com velocidade
, a densidade de corrente é
Se há uma densidade superficial
movendo-se com velocidade tangencial
em uma superfície, existe uma corrente superficial
(unidade A/m).
No nosso caso, quando o corpo gira com velocidade angular
, um ponto com coordenada radial
tem velocidade tangencial
Portanto a densidade de corrente volumétrica ligada (para
) é
E na superfície
a corrente superficial ligada é
Observação de sinal:
é no sentido
(porque
é negativa), enquanto a corrente superficial
é no sentido
. Essas correntes combinadas são as fontes do campo magnético.
Passo 5
Calcular
a partir de
(mini-aula de magnetostática): em regime estacionário e não relativístico usamos
sabendo que
. Pela simetria cilíndrica, o campo magnético resultante será paralelo ao eixo do cilindro (
) e função apenas de
:
Fórmula útil para o rotacional em coordenadas cilíndricas: para um campo com apenas componente
dependente de
,
A equação de Maxwell dá então, para a componente
,
Dentro (
) substituímos
:
Integramos de
até
:
Portanto
Para
, não há corrente volumétrica (
), portanto
e
é constante fora:
Precisamos determinar as constantes usando condições de contorno. Há uma corrente superficial
na superfície
. Integrando a equação
através de um pequeno intervalo que cruza
(ou usando condição de salto para campo magnético devido à corrente superficial), obtemos o salto:
Aqui
.
Vamos exigir que
vá a zero no infinito (campo esperado para correntes fechadas deste tipo):
. Logo a constante fora é zero:
Aplicando a condição de salto:
Comparando com expressão interna
obtemos
. Assim finalmente:
e
Em vetor:
Breve interpretação física: as correntes azimutais distribuídas criam um campo axial que cresce com
no interior, e anulam fora (comportamento parecido com um solenóide perfeito: campo confinado ao interior).
Passo 6
(c) Energia eletromagnética por unidade de comprimento. Mini-aula sobre energia de campo: densidade de energia eletromagnética (no regime não relativístico estacionário) é
A energia por unidade de comprimento é a integral sobre a seção transversal:
(i) Antes de girar:
. Usamos
para
e
fora. Então a densidade elétrica é
Energia por unidade de comprimento:
Portanto
(ii) Enquanto gira: o campo elétrico não muda (não-relativístico), então a energia elétrica é a mesma. Além disso aparece energia magnética devido a
interno:
Densidade magnética:
Energia magnética por unidade de comprimento:
Logo a energia total por unidade de comprimento enquanto gira é
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)(i) \n
(c)(ii)
(b)
(c)(i)
(c)(ii)