6-) Uma esfera dielétrica de raio
e constante dielétrica
é colocada em um líquido dielétrico de extensão infinita e constante dielétrica
. Um campo elétrico uniforme
estava originalmente presente no líquido. Encontre o campo elétrico resultante dentro e fora da esfera.
Passo 1
Primeiro vamos entender exatamente o que o enunciado pede e que dados ele nos dá.
- Pedido: Encontrar o campo elétrico resultante dentro e fora da esfera dielétrica colocada no líquido, quando havia originalmente um campo uniforme
no líquido. - Dados relevantes:
- Raio da esfera:
. - Constante dielétrica da esfera:
. - Constante dielétrica do líquido (meio externo, de extensão infinita):
. - Campo elétrico “original” uniforme no líquido longe da esfera:
. Vou escolher o eixo tal que .
- Raio da esfera:
- Observações importantes (do enunciado): não há cargas livres, apenas dielétricos lineares e homogêneos; portanto, a região interna e externa obedecem à equação de Laplace para o potencial elétrico e devemos aplicar as condições de contorno na superfície
. - O que precisamos fornecer ao final:
para e para .
Passo 2
Vamos modelar o problema matematicamente e justificar a forma geral da solução. Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
- Potencial elétrico
e campo elétrico: . - Em regiões sem carga livre, a densidade de cargas livres
, portanto o potencial satisfaz a equação de Laplace: Isso vale tanto dentro ( ) quanto fora ( ) da esfera, porque não há cargas livres em nenhum dos meios. - Simetria: o campo externo inicial é uniforme e apontando em
. O problema tem simetria azimutal (independência de ) e depende somente de e . Assim a solução de Laplace pode ser expandida em séries de Legendre; como o campo à distância é unicamente um termo proporcional a (termo ), apenas o termo de ordem aparece na solução física relevante. - Portanto as formas gerais (usando separação de variáveis e retenção do termo
) são: - Para
(fora): soma do campo uniforme mais um dipolo induzido: onde é constante a determinar. O termo dá o potencial do campo uniforme no infinito. - Para
(dentro): deve ser finito em , então o único termo regular é proporcional a : com constante a determinar.
- Para
- Comentário físico:
mede a intensidade do campo interno; está relacionado ao dipolo induzido pela esfera.
Passo 3
Agora vamos aplicar as condições de contorno físicas na superfície
. Qual são as condições?
- Continuidade do potencial elétrico
na superfície (não há diferença de potencial infinita): - Continuidade da componente normal do deslocamento elétrico
(não há carga livre superficial): Lembrete didático: em coordenadas esféricas para funções do tipo .
Vamos calcular as expressões necessárias a partir das potenciais propostas.
Passo 4
Calcular o primeiro contorno (continuidade do potencial) explicitando as funções no ponto
.
- Potencial interno em
: - Potencial externo em
: - Igualando:
Podemos cancelar o fator (válido para todo ), ficando: Rearranjando para isolar :
Passo 5
Calcular o segundo contorno (continuidade de
). Primeiro determinamos
dentro e fora em termos de
e
.
-
. - Dentro:
portanto (Intuição: campo interno tem direção e magnitude .) - Fora:
Diferenciando em : então Avaliando em : - Agora a condição
em dá: Cancelando :
Passo 6
Substituir a expressão de
obtida no Passo 4 na equação do Passo 5 e resolver para
.
- Lembremos:
. - Substituindo:
Desenvolvendo: Reunindo os termos em do lado esquerdo: Logo: Isolando :
Passo 7
Determinar
usando
.
- Substituindo o
encontrado: - Simplificando o numerador
:
Passo 8
Obter os campos elétricos dentro e fora a partir dos potenciais conhecidos. Lembrete:
.
- Potencial interno:
Então o campo interno é uniforme (independente de ) e igual a Explicação física: a esfera homogênea cria um campo constante dentro dela, paralelo a , reduzido ou aumentado conforme as permissividades. - Potencial externo:
com O campo externo é a soma do campo uniforme original mais o campo de um dipolo induzido. Em forma vetorial (usando que ) obtenhamos: Reescrevendo em termos de : Comentário: o segundo termo é exatamente o campo de um dipolo alinhado com e com momento proporcional a .
Passo 9
Interpretações finais e lembretes práticos para prova (dicas rápidas e motivação):
- A expressão simples do campo interno é muito útil em prova: memorize a forma
Isso surge de aplicar Laplace com somente o termo e as duas condições de contorno. - Se
(esfera condutora ideal), a fração tende a : dentro da condutora o campo é zero — consistente. - Se
, a fração é , ou seja : a presença da esfera não altera o campo se os dielétricos forem idênticos — faz sentido. - Para uso em prova, resolva sempre na ordem: escrever ansatz para
com termos , aplicar contornos ( contínuo e contínuo), resolver sistema linear para coeficientes, e então .