6-) Uma esfera dielétrica de raio a e constante dielétrica \varepsilon_{1} é colocada em um líquido dielétrico de extensão infinita e constante dielétrica \varepsilon_{2}. Um campo elétrico uniforme \mathbf{E}_{0} estava originalmente presente no líquido. Encontre o campo elétrico resultante dentro e fora da esfera.

Passo 1

Primeiro vamos entender exatamente o que o enunciado pede e que dados ele nos dá.
  • Pedido: Encontrar o campo elétrico resultante dentro e fora da esfera dielétrica colocada no líquido, quando havia originalmente um campo uniforme \mathbf{E}_0 no líquido.
  • Dados relevantes:
    • Raio da esfera: a.
    • Constante dielétrica da esfera: \varepsilon_{1}.
    • Constante dielétrica do líquido (meio externo, de extensão infinita): \varepsilon_{2}.
    • Campo elétrico “original” uniforme no líquido longe da esfera: \mathbf{E}_0. Vou escolher o eixo z tal que \mathbf{E}_0 = E_0 \hat{\mathbf{z}}.
  • Observações importantes (do enunciado): não há cargas livres, apenas dielétricos lineares e homogêneos; portanto, a região interna e externa obedecem à equação de Laplace para o potencial elétrico e devemos aplicar as condições de contorno na superfície r=a.
  • O que precisamos fornecer ao final: \mathbf{E}_{\text{in}}(\mathbf{r}) para r<a e \mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}) para r>a.

Passo 2

Vamos modelar o problema matematicamente e justificar a forma geral da solução. Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
  • Potencial elétrico \Phi e campo elétrico: \mathbf{E} = -\nabla \Phi.
  • Em regiões sem carga livre, a densidade de cargas livres \rho_{\text{free}}=0, portanto o potencial satisfaz a equação de Laplace: \nabla^2 \Phi = 0.Isso vale tanto dentro ( r<a) quanto fora ( r>a) da esfera, porque não há cargas livres em nenhum dos meios.
  • Simetria: o campo externo inicial é uniforme e apontando em z. O problema tem simetria azimutal (independência de \varphi) e depende somente de r e \theta. Assim a solução de Laplace pode ser expandida em séries de Legendre; como o campo à distância é unicamente um termo proporcional a \cos\theta (termo P_1(\cos\theta)), apenas o termo de ordem l=1 aparece na solução física relevante.
  • Portanto as formas gerais (usando separação de variáveis e retenção do termo l=1) são:
    • Para r>a (fora): soma do campo uniforme mais um dipolo induzido: \Phi_{\text{out}}(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + \frac{B \cos\theta}{r^2},onde B é constante a determinar. O termo -E_0 r \cos\theta dá o potencial do campo uniforme \mathbf{E}_0 no infinito.
    • Para r<a (dentro): deve ser finito em r=0, então o único termo l=1 regular é proporcional a r\cos\theta: \Phi_{\text{in}}(r,\theta) = -A r \cos\theta,com A constante a determinar.
  • Comentário físico: A mede a intensidade do campo interno; B está relacionado ao dipolo induzido pela esfera.

Passo 3

Agora vamos aplicar as condições de contorno físicas na superfície r=a. Qual são as condições?
  • Continuidade do potencial elétrico \Phi na superfície (não há diferença de potencial infinita): \Phi_{\text{in}}(a,\theta) = \Phi_{\text{out}}(a,\theta).
  • Continuidade da componente normal do deslocamento elétrico \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} (não há carga livre superficial): \varepsilon_{1} E_{r}^{(\text{in})}(a,\theta) = \varepsilon_{2} E_{r}^{(\text{out})}(a,\theta).Lembrete didático: E_r = -\frac{\partial \Phi}{\partial r} em coordenadas esféricas para funções do tipo f(r)\cos\theta.
Vamos calcular as expressões necessárias a partir das potenciais propostas.

Passo 4

Calcular o primeiro contorno (continuidade do potencial) explicitando as funções no ponto r=a.
  • Potencial interno em r=a: \Phi_{\text{in}}(a,\theta) = -A a \cos\theta.
  • Potencial externo em r=a: \Phi_{\text{out}}(a,\theta) = -E_0 a \cos\theta + \frac{B \cos\theta}{a^2}.
  • Igualando: -A a \cos\theta = -E_0 a \cos\theta + \frac{B \cos\theta}{a^2}.Podemos cancelar o fator \cos\theta (válido para todo \theta), ficando: -A a = -E_0 a + \frac{B}{a^2}.Rearranjando para isolar B: B = a^3\bigl(E_0 - A\bigr).

Passo 5

Calcular o segundo contorno (continuidade de D_r=\varepsilon E_r). Primeiro determinamos E_r dentro e fora em termos de A e B.
  • E_r = -\dfrac{\partial \Phi}{\partial r}.
  • Dentro: \Phi_{\text{in}} = -A r \cos\theta \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial \Phi_{\text{in}}}{\partial r} = -A \cos\theta,portanto E_{r}^{(\text{in})} = -\frac{\partial \Phi_{\text{in}}}{\partial r} = A \cos\theta.(Intuição: campo interno tem direção z e magnitude A.)
  • Fora: \Phi_{\text{out}} = -E_0 r \cos\theta + \frac{B \cos\theta}{r^2}.Diferenciando em r: \frac{\partial \Phi_{\text{out}}}{\partial r} = -E_0 \cos\theta - 2\frac{B \cos\theta}{r^3},então E_{r}^{(\text{out})} = -\frac{\partial \Phi_{\text{out}}}{\partial r} = E_0 \cos\theta + 2\frac{B \cos\theta}{r^3}.Avaliando em r=a: E_{r}^{(\text{out})}(a,\theta) = E_0 \cos\theta + 2\frac{B \cos\theta}{a^3}.
  • Agora a condição \varepsilon_{1} E_{r}^{(\text{in})} = \varepsilon_{2} E_{r}^{(\text{out})} em r=a dá: \varepsilon_{1} A \cos\theta = \varepsilon_{2}\Bigl(E_0 \cos\theta + 2\frac{B \cos\theta}{a^3}\Bigr).Cancelando \cos\theta: \varepsilon_{1} A = \varepsilon_{2}\Bigl(E_0 + 2\frac{B}{a^3}\Bigr).

Passo 6

Substituir a expressão de B obtida no Passo 4 na equação do Passo 5 e resolver para A.
  • Lembremos: B = a^3 (E_0 - A).
  • Substituindo: \varepsilon_{1} A = \varepsilon_{2}\Bigl(E_0 + 2\frac{a^3(E_0 - A)}{a^3}\Bigr) = \varepsilon_{2}\bigl(E_0 + 2(E_0 - A)\bigr).Desenvolvendo: \varepsilon_{1} A = \varepsilon_{2}\bigl(3E_0 - 2A\bigr).Reunindo os termos em A do lado esquerdo: \varepsilon_{1} A + 2\varepsilon_{2} A = 3\varepsilon_{2} E_0.Logo: A(\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}) = 3\varepsilon_{2} E_0.Isolando A: A = \frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\,E_0.

Passo 7

Determinar B usando B = a^3(E_0 - A).
  • Substituindo o A encontrado: B = a^3\Biggl(E_0 - \frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\,E_0\Biggr) = a^3 E_0\Biggl(\frac{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2} - 3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\Biggr).
  • Simplificando o numerador \varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2} - 3\varepsilon_{2} = \varepsilon_{1} - \varepsilon_{2}: B = a^3 E_0 \,\frac{\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}.

Passo 8

Obter os campos elétricos dentro e fora a partir dos potenciais conhecidos. Lembrete: \mathbf{E} = -\nabla \Phi.
  • Potencial interno: \Phi_{\text{in}}(r,\theta) = -A r \cos\theta \quad\text{com}\quad A = \frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\,E_0.Então o campo interno é uniforme (independente de \mathbf{r}) e igual a \mathbf{E}_{\text{in}} = A \hat{\mathbf{z}} = \frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\,\mathbf{E}_0.Explicação física: a esfera homogênea cria um campo constante dentro dela, paralelo a \mathbf{E}_0, reduzido ou aumentado conforme as permissividades.
  • Potencial externo: \Phi_{\text{out}}(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + \frac{B \cos\theta}{r^2},com B = a^3 E_0 \,\frac{\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}.O campo externo é a soma do campo uniforme original mais o campo de um dipolo induzido. Em forma vetorial (usando que \cos\theta = \hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{z}} = \hat{\mathbf{r}}\cdot(\mathbf{E}_0/E_0)) obtenhamos: \mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_0 + \frac{\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\,E_0 a^3\, \frac{1}{r^3}\Bigl(3(\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{z}})\,\hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}}\Bigr).Reescrevendo em termos de \mathbf{E}_0 = E_0\hat{\mathbf{z}}: \mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_0 + \frac{\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\,a^3\, \frac{1}{r^3}\Bigl(3(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}_0)\,\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{E}_0\Bigr).Comentário: o segundo termo é exatamente o campo de um dipolo \mathbf{p}_{\text{ind}} alinhado com \mathbf{E}_0 e com momento proporcional a (\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2})/(\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}).

Passo 9

Interpretações finais e lembretes práticos para prova (dicas rápidas e motivação):
  • A expressão simples do campo interno é muito útil em prova: memorize a forma \mathbf{E}_{\text{in}} = \frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1} + 2\varepsilon_{2}}\,\mathbf{E}_0.Isso surge de aplicar Laplace com somente o termo l=1 e as duas condições de contorno.
  • Se \varepsilon_1 \to \infty (esfera condutora ideal), a fração tende a 3\varepsilon_{2}/\infty \to 0: dentro da condutora o campo é zero — consistente.
  • Se \varepsilon_1 = \varepsilon_2, a fração é 3\varepsilon_2/(\varepsilon_2+2\varepsilon_2)=1, ou seja \mathbf{E}_{\text{in}}=\mathbf{E}_0: a presença da esfera não altera o campo se os dielétricos forem idênticos — faz sentido.
  • Para uso em prova, resolva sempre na ordem: escrever ansatz para \Phi com termos l=1, aplicar contornos ( \Phi contínuo e \varepsilon E_r contínuo), resolver sistema linear para coeficientes, e então \mathbf{E}=-\nabla\Phi.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}_{\text{in}}=\frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\,\mathbf{E}_0
\displaystyle \mathbf{E}_{\text{out}}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_0+\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\,a^3\frac{1}{r^3}\Bigl(3(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}_0)\,\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{E}_0\Bigr)

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