9-) Um toroide com núcleo de ferro de seção transversal quadrada e permeabilidade \mu é enrolado com N espiras de fio próximas, percorridas por uma corrente I. Encontre a magnitude da magnetização \mathbf{M} em todos os pontos dentro do ferro.

Passo 1

O enunciado dá um toroide cujo núcleo é ferro com seção transversal quadrada e permeabilidade \mu. O toroide é enrolado por N espiras de fio muito próximas (enrolamento denso) percorridas por uma corrente I. A pergunta é: encontre a magnitude da magnetização \mathbf{M} em todos os pontos dentro do ferro.
Informações relevantes fornecidas:
  • permeabilidade absoluta do ferro: \mu (assumimos \mu como a permeabilidade do material, isto é, \mu=\mu_0\mu_r);
  • número de espiras: N;
  • corrente em cada espira: I;
  • enrolamento denso (espiras próximas), o que sugere simetria toroidal;
  • o núcleo tem seção quadrada, mas nenhum raio específico é dado — portanto o resultado deve ser em função da coordenada radial r (distância ao eixo do toroide) para pontos dentro do ferro.
    O que se pede: a magnitude M da magnetização em função de r (para pontos dentro do núcleo).

Passo 2

Conceitos e relações fundamentais que vamos usar (explicadas devagar, sem pular etapas):
  1. Campo magnético \mathbf{B}. É o campo total dentro do material.
  2. Campo auxiliar \mathbf{H}. Relaciona-se às correntes livres (as correntes passadas pelos fios). É útil para aplicar a Lei de Ampère.
  3. Magnetização \mathbf{M}. É o momento magnético por unidade de volume do material — descreve a contribuição do material magnetizado (dipolos alinhados) ao campo magnético.
Relação entre \mathbf{B}, \mathbf{H} e \mathbf{M}:
\mathbf{B}=\mu_{0}\bigl(\mathbf{H}+\mathbf{M}\bigr).
Isto é uma identidade geral: \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mathbf{M} é a magnetização.
Para materiais lineares (como um ferro idealizado linear), a magnetização é proporcional a \mathbf{H}:
\mathbf{M}=\chi_{m}\,\mathbf{H},
onde \chi_{m} é a susceptibilidade magnética. A permeabilidade absoluta \mu relaciona-se com \chi_{m} por
\mu=\mu_{0}(1+\chi_{m}).
Dessa forma podemos escrever
\chi_{m}=\frac{\mu}{\mu_{0}}-1.
Portanto, se conhecermos \mathbf{H}, podemos obter \mathbf{M} por
\mathbf{M}=\Bigl(\frac{\mu}{\mu_{0}}-1\Bigr)\mathbf{H}.

Passo 3

Determinar \mathbf{H} dentro do núcleo do toroide usando a Lei de Ampère (versão para \mathbf{H}):
Lei de Ampère para \mathbf{H}: o integral de linha de \mathbf{H} ao longo de um caminho fechado é igual à corrente livre total atravessada pelo caminho:
\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I_{\text{livre, encerrada}}.
Pelo enunciado e pela simetria do toroide enrolado densamente: dentro do ferro o campo \mathbf{H} é tangencial (na direção azimutal) e depende apenas da distância radial r ao eixo do toroide. Então escolhemos um caminho circular de raio r contido no núcleo; ao longo desse caminho \mathbf{H} tem módulo constante |\mathbf{H}(r)| e direção \hat{\varphi}. O comprimento do caminho é 2\pi r. A corrente livre atravessada é a soma das correntes das espiras que o caminho envolve: com N espiras cada uma com corrente I temos I_{\text{livre, encerrada}}=N I.
Aplicando Ampère:
|\mathbf{H}(r)|\;2\pi r = N I.
Logo
|\mathbf{H}(r)|=\frac{N I}{2\pi r}.
Explicação física curta: estamos tirando proveito da simetria toroidal — as linhas de \mathbf{H} formam círculos concêntricos, portanto um caminho circular captura integral simples.

Passo 4

Usar a relação entre \mathbf{M} e \mathbf{H} para obter \mathbf{M}. Lembrando que
\mathbf{M}=\Bigl(\frac{\mu}{\mu_{0}}-1\Bigr)\mathbf{H},
e que \mathbf{H} é tangencial (direção \hat{\varphi}) com módulo dado no passo anterior. Substituindo o módulo de \mathbf{H} temos o módulo de \mathbf{M}:
M(r)=\Bigl(\frac{\mu}{\mu_{0}}-1\Bigr)\,|\mathbf{H}(r)|.
Substituindo |\mathbf{H}(r)|:
M(r)=\Bigl(\frac{\mu}{\mu_{0}}-1\Bigr)\frac{N I}{2\pi r}.
Observação sobre direção: \mathbf{M} tem a mesma direção de \mathbf{H}, isto é, \hat{\varphi} (azimutal). Como o problema pede a magnitude, já temos a expressão escalar acima.

Passo 5

Comentários sobre validade e interpretação (para você se sentir seguro na prova):
  • A expressão assume enrolamento denso e simetria toroidal, de forma que \mathbf{H} é aproximadamente azimutal e depende só de r.
  • A expressão vale para pontos dentro do ferro (no percurso dentro do núcleo). Fora do núcleo a relação e as correntes envolvidas mudam.
  • Se você preferir escrever em termos da susceptibilidade \chi_{m}, pode pôr M(r)=\chi_{m}\dfrac{N I}{2\pi r}, lembrando que \chi_{m}=\dfrac{\mu}{\mu_{0}}-1.
  • Em prova, explique claramente que usou Ampère com \mathbf{H} e a relação linear material entre \mathbf{M} e \mathbf{H}; escreva o caminho circular e mostre que a corrente livre encerrada é N I. Isso garante os pontos.

Resposta

M(r)=\Bigl(\frac{\mu}{\mu_{0}}-1\Bigr)\frac{N I}{2\pi r}

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