9-) Um toroide com núcleo de ferro de seção transversal quadrada e permeabilidade
é enrolado com
espiras de fio próximas, percorridas por uma corrente
. Encontre a magnitude da magnetização
em todos os pontos dentro do ferro.
Passo 1
O enunciado dá um toroide cujo núcleo é ferro com seção transversal quadrada e permeabilidade
. O toroide é enrolado por
espiras de fio muito próximas (enrolamento denso) percorridas por uma corrente
. A pergunta é: encontre a magnitude da magnetização
em todos os pontos dentro do ferro.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- permeabilidade absoluta do ferro:
(assumimos como a permeabilidade do material, isto é, ); - número de espiras:
; - corrente em cada espira:
; - enrolamento denso (espiras próximas), o que sugere simetria toroidal;
- o núcleo tem seção quadrada, mas nenhum raio específico é dado — portanto o resultado deve ser em função da coordenada radial
(distância ao eixo do toroide) para pontos dentro do ferro.
O que se pede: a magnitudeda magnetização em função de (para pontos dentro do núcleo).
Passo 2
Conceitos e relações fundamentais que vamos usar (explicadas devagar, sem pular etapas):
- Campo magnético
. É o campo total dentro do material. - Campo auxiliar
. Relaciona-se às correntes livres (as correntes passadas pelos fios). É útil para aplicar a Lei de Ampère. - Magnetização
. É o momento magnético por unidade de volume do material — descreve a contribuição do material magnetizado (dipolos alinhados) ao campo magnético.
Relação entre
,
e
:
Isto é uma identidade geral:
é a permeabilidade do vácuo,
é a magnetização.
Para materiais lineares (como um ferro idealizado linear), a magnetização é proporcional a
:
onde
é a susceptibilidade magnética. A permeabilidade absoluta
relaciona-se com
por
Dessa forma podemos escrever
Portanto, se conhecermos
, podemos obter
por
Passo 3
Determinar
dentro do núcleo do toroide usando a Lei de Ampère (versão para
):
Lei de Ampère para
: o integral de linha de
ao longo de um caminho fechado é igual à corrente livre total atravessada pelo caminho:
Pelo enunciado e pela simetria do toroide enrolado densamente: dentro do ferro o campo
é tangencial (na direção azimutal) e depende apenas da distância radial
ao eixo do toroide. Então escolhemos um caminho circular de raio
contido no núcleo; ao longo desse caminho
tem módulo constante
e direção
. O comprimento do caminho é
. A corrente livre atravessada é a soma das correntes das espiras que o caminho envolve: com
espiras cada uma com corrente
temos
.
Aplicando Ampère:
Logo
Explicação física curta: estamos tirando proveito da simetria toroidal — as linhas de
formam círculos concêntricos, portanto um caminho circular captura integral simples.
Passo 4
Usar a relação entre
e
para obter
. Lembrando que
e que
é tangencial (direção
) com módulo dado no passo anterior. Substituindo o módulo de
temos o módulo de
:
Substituindo
:
Observação sobre direção:
tem a mesma direção de
, isto é,
(azimutal). Como o problema pede a magnitude, já temos a expressão escalar acima.
Passo 5
Comentários sobre validade e interpretação (para você se sentir seguro na prova):
- A expressão assume enrolamento denso e simetria toroidal, de forma que
é aproximadamente azimutal e depende só de . - A expressão vale para pontos dentro do ferro (no percurso dentro do núcleo). Fora do núcleo a relação e as correntes envolvidas mudam.
- Se você preferir escrever em termos da susceptibilidade
, pode pôr , lembrando que . - Em prova, explique claramente que usou Ampère com
e a relação linear material entre e ; escreva o caminho circular e mostre que a corrente livre encerrada é . Isso garante os pontos.