Uma seção circular de 50 mm de diâmetro é submetida aos seguintes esforços, isoladamente.
-Uma carga centrada de 100 kN ;
-Um esforço cortante de 100 kN
-Um momento fletor de 1 kNm
-Um esforço cortante de 100 kN na flexão
-Um momento torçor de 1 kNm
Apresentar o tipo de tensão que aparece em cada caso e seu(s) valor(es) extremo(s)

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Seção circular de diâmetro \,d=50\\ \text{mm}\,=\;0{,}05\\ \text{m}.
  • Cargas (aplicadas isoladamente, exceto no item 4 que é a combinação flexão+corte):
    1. Uma carga centrada P=100\\ \text{kN}=100000\\ \text{N}.
    2. Um esforço cortante transversal V=100\\ \text{kN}=100000\\ \text{N}.
    3. Um momento fletor M=1\\ \text{kNm}=1000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    4. Cortante V=100\\ \text{kN} atuando em uma viga que também está sujeita à flexão M=1\\ \text{kNm} (interpreto como combinação de corte + flexão).
    5. Um momento torçor (torção) T=1\\ \text{kNm}=1000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
O que é pedido:
  • Para cada caso indicar o tipo de tensão que aparece (normal, cisalhante devido a corte, cisalhante por torção, etc.) e os valores extremos dessas tensões (ou seja, os pontos/valores máximos de tensão na seção).

Passo 2

Primeiro calculo as propriedades geométricas da seção circular e explico as fórmulas que vou usar.
Área da seção (fórmula e significado):
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde \,A\, é a área da seção e \,d\, o diâmetro.
Momento de inércia de uma seção circular (usado para flexão):
I=\frac{\pi d^{4}}{64},
onde \,I\, é o momento de inércia em relação ao eixo neutro (para flexão simples).
Momento polar de inércia (usado para torção):
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
onde \,J\, é o momento polar da área (para seção circular maciça).
Raio externo (distância até fibra mais extrema):
c=\frac{d}{2}.
Agora calculo numericamente (tudo em SI: metros, metros^4, N, Pa):
A=\frac{\pi(0{,}05)^{2}}{4}=0{,}000625\pi\approx0{,}001963495\\ \text{m}^{2}.
I=\frac{\pi(0{,}05)^{4}}{64}=\frac{\pi\cdot6{,}25\times10^{-6}}{64}\approx3{,}0673366\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}.
J=\frac{\pi(0{,}05)^{4}}{32}\approx6{,}1346732\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}.
c=\frac{0{,}05}{2}=0{,}025\\ \text{m}.
(Explicação rápida: A dá a área para tensão normal média; I aparece na fórmula da tensão de flexão \sigma=M y/I; J entra na fórmula de torção \tau=T r/J.)

Passo 3

Tipo de tensão: tensão normal uniforme (tração ou compressão, dependendo do sentido da força). Fórmula:
\sigma=\frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão normal (Pa), P é a força axial (N) e A a área (m^{2}).
Cálculo:
\sigma=\frac{100000}{0{,}001963495}\approx50\,929\,581{,}8\\ \text{Pa}\approx50{,}93\\ \text{MPa}.
Interpretação: essa tensão é uniforme ao longo da seção; valor extremo (máximo em módulo) é \,50{,}93\\ \text{MPa}.

Passo 4

Tipo de tensão: cisalhamento (tensão de corte) distribuída na seção. Para seção circular maciça, a distribuição de tensão de cisalhamento transversal não é uniforme; existe uma média e um máximo no centro neutro. Fórmulas que uso:
Tensão de cisalhamento média:
\tau_{\text{média}}=\frac{V}{A}.é
Tensão de cisalhamento máxima para seção circular (teorema clássico para seção sólida circular):
\tau_{\max}=\frac{4}{3}\,\tau_{\text{média}}=\frac{4}{3}\,\frac{V}{A},é
onde \tau_{\max} ocorre no eixo neutro (centro da seção).
Cálculos:
\tau_{\text{média}}=\frac{100000}{0{,}001963495}\approx50{,}93\\ \text{MPa}.é
\tau_{\max}=\frac{4}{3}\times50{,}93\approx67{,}91\\ \text{MPa}.
Observação didática curta: o fator 4/3 vem da forma analítica da distribuição de cisalhamento em seção circular sólida (perfil parabólico no sentido vertical do diâmetro).

Passo 5

Tipo de tensão: tensão normal por flexão (fibra superior em compressão e inferior em tração, ou vice-versa, dependendo do sentido do momento). Fórmula básica da flexão simples (hipótese de Bernoulli — seções planas permanecem planas):
\sigma_{x}=\frac{M\,y}{I},
onde \sigma_{x} é a tensão normal na fibra a distância y do neutro, M é o momento fletor, I o momento de inércia, e y a distância até a fibra considerada. O valor extremo (módulo máximo) ocorre em y=\pm c, com c a distância até a fibra mais externa.
Cálculo do valor extremo:
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I}=\frac{1000\cdot0{,}025}{3{,}0673366\times10^{-7}}\approx81{,}50\\ \text{MPa}.
Interpretação: na face extrema temos \sigma=+81{,}50\\ \text{MPa} (tracionando) e na face oposta \sigma=-81{,}50\\ \text{MPa} (comprimindo), conforme sentido do momento.

Passo 6

Tipo de tensões: coexistem tensão normal por flexão e tensão de cisalhamento por corte transversal. Pela linearidade (superposição), as tensões se somam (cada uma no seu campo).
  • Tensão normal extrema devido à flexão: já calculada no passo 5, \sigma_{\max}=\pm81{,}50\\ \text{MPa} nas fibras mais externas ( y=\pm c). Note que a tensão de cisalhamento devido ao corte é nula nessas fibras extremas (a distribuição de cisalhamento atinge zero na borda), então o ponto de maior tensão normal não sofre cisalhamento adicional aí.
  • Tensão de cisalhamento máxima devido ao corte: já calculada no passo 4, \tau_{\max}\approx67{,}91\\ \text{MPa}, e essa máxima ocorre no centro da seção (eixo neutro), onde a tensão normal por flexão é zero. Portanto os extremos de cada tipo ocorrem em pontos diferentes: \sigma máximo nas fibras externas, \tau máximo no centro.
Se for pedido o maior valor combinado em um mesmo ponto, o ponto que tem ambos não apresenta os dois máximos simultaneamente; para avaliações de segurança (ex.: critérios de von Mises) seria necessário combinar num ponto específico usando tensões \sigma e \tau lá. Aqui, como pedido são os valores extremos de cada tensão, eles ficam como acima.

Passo 7

Tipo de tensão: cisalhamento por torção (tensão de cisalhamento tangencial que varia radialmente e é máxima na superfície).
Fórmula (para eixo circular maciço, teoria de Saint-Venant):
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde \tau(r) é a tensão de cisalhamento a uma distância radial r do centro, T é o torque, e J é o momento polar da seção. O valor máximo é em r=c:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Cálculo:
\tau_{\max}=\frac{1000\cdot0{,}025}{6{,}1346732\times10^{-7}}\approx40{,}75\\ \text{MPa}.
Interpretação: essa é a tensão de cisalhamento máxima na superfície (diretamente tangencial à circunferência). No centro r=0 a tensão é zero.

Resposta

  1. Tensão normal (axial): \sigma=\dfrac{P}{A}=50{,}93\\ \text{MPa}.\n
  2. Cisalhamento transversal (corte puro): \tau_{\max}=\dfrac{4}{3}\dfrac{V}{A}=67{,}91\\ \text{MPa} (com \tau_{\text{média}}=50{,}93\\ \text{MPa}é).\n
  3. Flexão (momento fletor): \sigma_{\max}=\dfrac{M\,c}{I}=81{,}50\\ \text{MPa} (fibra externa; sinal depende do sentido do momento).\n
  4. Flexão + corte: tensão normal extrema por flexão \sigma_{\max}=81{,}50\\ \text{MPa} (nas fibras externas) e cisalhamento máximo por corte \tau_{\max}=67{,}91\\ \text{MPa} (no centro); os extremos ocorrem em pontos diferentes.\n
  5. Torção (momento torçor): \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}=40{,}75\\ \text{MPa}.

Exercícios relacionados