Uma seção circular de 50 mm de diâmetro é submetida aos seguintes esforços, isoladamente.
-Uma carga centrada de 100 kN ;
-Um esforço cortante de 100 kN
-Um momento fletor de 1 kNm
-Um esforço cortante de 100 kN na flexão
-Um momento torçor de 1 kNm
Apresentar o tipo de tensão que aparece em cada caso e seu(s) valor(es) extremo(s)
-Uma carga centrada de 100 kN ;
-Um esforço cortante de 100 kN
-Um momento fletor de 1 kNm
-Um esforço cortante de 100 kN na flexão
-Um momento torçor de 1 kNm
Apresentar o tipo de tensão que aparece em cada caso e seu(s) valor(es) extremo(s)
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Seção circular de diâmetro
- Cargas (aplicadas isoladamente, exceto no item 4 que é a combinação flexão+corte):
- Uma carga centrada
- Um esforço cortante transversal
- Um momento fletor
- Cortante
atuando em uma viga que também está sujeita à flexão (interpreto como combinação de corte + flexão). - Um momento torçor (torção)
- Uma carga centrada
O que é pedido:
- Para cada caso indicar o tipo de tensão que aparece (normal, cisalhante devido a corte, cisalhante por torção, etc.) e os valores extremos dessas tensões (ou seja, os pontos/valores máximos de tensão na seção).
Passo 2
Primeiro calculo as propriedades geométricas da seção circular e explico as fórmulas que vou usar.
Área da seção (fórmula e significado):
onde
é a área da seção e
o diâmetro.
Momento de inércia de uma seção circular (usado para flexão):
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo neutro (para flexão simples).
Momento polar de inércia (usado para torção):
onde
é o momento polar da área (para seção circular maciça).
Raio externo (distância até fibra mais extrema):
Agora calculo numericamente (tudo em SI: metros, metros^4, N, Pa):
(Explicação rápida:
dá a área para tensão normal média;
aparece na fórmula da tensão de flexão
;
entra na fórmula de torção
.)
Passo 3
Tipo de tensão: tensão normal uniforme (tração ou compressão, dependendo do sentido da força). Fórmula:
onde
é a tensão normal (Pa),
é a força axial (N) e
a área (m^{2}).
Cálculo:
Interpretação: essa tensão é uniforme ao longo da seção; valor extremo (máximo em módulo) é
.
Passo 4
Tipo de tensão: cisalhamento (tensão de corte) distribuída na seção. Para seção circular maciça, a distribuição de tensão de cisalhamento transversal não é uniforme; existe uma média e um máximo no centro neutro. Fórmulas que uso:
Tensão de cisalhamento média:
Tensão de cisalhamento máxima para seção circular (teorema clássico para seção sólida circular):
onde
ocorre no eixo neutro (centro da seção).
Cálculos:
Observação didática curta: o fator
vem da forma analítica da distribuição de cisalhamento em seção circular sólida (perfil parabólico no sentido vertical do diâmetro).
Passo 5
Tipo de tensão: tensão normal por flexão (fibra superior em compressão e inferior em tração, ou vice-versa, dependendo do sentido do momento). Fórmula básica da flexão simples (hipótese de Bernoulli — seções planas permanecem planas):
onde
é a tensão normal na fibra a distância
do neutro,
é o momento fletor,
o momento de inércia, e
a distância até a fibra considerada. O valor extremo (módulo máximo) ocorre em
, com
a distância até a fibra mais externa.
Cálculo do valor extremo:
Interpretação: na face extrema temos
(tracionando) e na face oposta
(comprimindo), conforme sentido do momento.
Passo 6
Tipo de tensões: coexistem tensão normal por flexão e tensão de cisalhamento por corte transversal. Pela linearidade (superposição), as tensões se somam (cada uma no seu campo).
-
Tensão normal extrema devido à flexão: já calculada no passo 5,
nas fibras mais externas ( ). Note que a tensão de cisalhamento devido ao corte é nula nessas fibras extremas (a distribuição de cisalhamento atinge zero na borda), então o ponto de maior tensão normal não sofre cisalhamento adicional aí. -
Tensão de cisalhamento máxima devido ao corte: já calculada no passo 4,
, e essa máxima ocorre no centro da seção (eixo neutro), onde a tensão normal por flexão é zero. Portanto os extremos de cada tipo ocorrem em pontos diferentes: máximo nas fibras externas, máximo no centro.
Se for pedido o maior valor combinado em um mesmo ponto, o ponto que tem ambos não apresenta os dois máximos simultaneamente; para avaliações de segurança (ex.: critérios de von Mises) seria necessário combinar num ponto específico usando tensões
e
lá. Aqui, como pedido são os valores extremos de cada tensão, eles ficam como acima.
Passo 7
Tipo de tensão: cisalhamento por torção (tensão de cisalhamento tangencial que varia radialmente e é máxima na superfície).
Fórmula (para eixo circular maciço, teoria de Saint-Venant):
onde
é a tensão de cisalhamento a uma distância radial
do centro,
é o torque, e
é o momento polar da seção. O valor máximo é em
:
Cálculo:
Interpretação: essa é a tensão de cisalhamento máxima na superfície (diretamente tangencial à circunferência). No centro
a tensão é zero.
Resposta
- Tensão normal (axial):
.\n - Cisalhamento transversal (corte puro):
(com ).\n - Flexão (momento fletor):
(fibra externa; sinal depende do sentido do momento).\n - Flexão + corte: tensão normal extrema por flexão
(nas fibras externas) e cisalhamento máximo por corte (no centro); os extremos ocorrem em pontos diferentes.\n - Torção (momento torçor):
.