Um cilindro sólido, 100 mm de diâmetro gera calor a uma taxa uniforme de 7 \times 10^{6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. A condutividade térmica do sólido é 190 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e a temperatura da superfície é mantida a \mathbf{1 0 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. Calcular: ( \mathbf{2 , 5} pontos)
a) A temperatura no centro do cilindro. ( \mathbf{0 , 5} pontos)
b) A temperatura a uma distância de 25 mm do centro. ( \mathbf{0 , 5} pontos)
c) O gradiente de temperatura para um raio de 25 mm . ( 0,5 pontos)
d) O fluxo de calor na superfície. ( \mathbf{1 , 0} pontos)
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas para um cilindro sólido com geração interna de calor e superfície mantida a 100^\circ\mathrm{C}:
a) A temperatura no centro do cilindro (r=0).
b) A temperatura a uma distância de 25\\ \mathrm{mm} do centro (r=25\\ \mathrm{mm}).
c) O gradiente de temperatura (derivada radial \mathrm{d}T/\mathrm{d}r) no ponto r=25\\ \mathrm{mm}.
d) O fluxo de calor na superfície (densidade de fluxo q_r em r=R, e eu também mostrarei a potência por unidade de comprimento para consistência).
T_s = 100^\circ\mathrm{C}\quad\text{(temperatura mantida na superfície, em } r=R\text{)}.
Não inicio a resolução ainda; apenas listei o que é pedido e os dados do problema.
Passo 2
Modelo físico e equação a usar (explicação didática passo a passo):
Nós temos condução de calor estacionária em um cilindro longo, com geração volumétrica uniforme q''' e simetria circular (não há variação com o ângulo nem com o eixo). A equação diferencial de calor em coordenadas cilíndricas, para a parte radial e estado estacionário, é:
Condição física no centro: a derivada deve ser finita em r=0. O termo C_{1}/r seria singular em r=0 a menos que C_{1}=0. Logo C_{1}=0. Integrando novamente:
T(r) = -\frac{q'''}{4k}\,r^{2} + C_{2}.
A constante C_{2} é obtida pela condição de contorno T(R)=T_{s}: