Um cilindro sólido, 100 mm de diâmetro gera calor a uma taxa uniforme de 7 \times 10^{6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. A condutividade térmica do sólido é 190 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e a temperatura da superfície é mantida a \mathbf{1 0 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. Calcular: ( \mathbf{2 , 5} pontos)
a) A temperatura no centro do cilindro. ( \mathbf{0 , 5} pontos)
b) A temperatura a uma distância de 25 mm do centro. ( \mathbf{0 , 5} pontos)
c) O gradiente de temperatura para um raio de 25 mm . ( 0,5 pontos)
d) O fluxo de calor na superfície. ( \mathbf{1 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para um cilindro sólido com geração interna de calor e superfície mantida a 100^\circ\mathrm{C}:
a) A temperatura no centro do cilindro ( r=0).
b) A temperatura a uma distância de 25\\ \mathrm{mm} do centro ( r=25\\ \mathrm{mm}).
c) O gradiente de temperatura (derivada radial \mathrm{d}T/\mathrm{d}r) no ponto r=25\\ \mathrm{mm}.
d) O fluxo de calor na superfície (densidade de fluxo q_r em r=R, e eu também mostrarei a potência por unidade de comprimento para consistência).
Dados fornecidos (vou pôr tudo em unidades SI):
\text{diâmetro} = 100\\ \mathrm{mm}\Rightarrow R=\frac{100}{2}\\ \mathrm{mm}=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m},â
q'''=7\times 10^{6}\\ \mathrm{W/m^{3}},
k=190\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
T_s = 100^\circ\mathrm{C}\quad\text{(temperatura mantida na superfície, em } r=R\text{)}.í
Não inicio a resolução ainda; apenas listei o que é pedido e os dados do problema.

Passo 2

Modelo físico e equação a usar (explicação didática passo a passo):
Nós temos condução de calor estacionária em um cilindro longo, com geração volumétrica uniforme q''' e simetria circular (não há variação com o ângulo nem com o eixo). A equação diferencial de calor em coordenadas cilíndricas, para a parte radial e estado estacionário, é:
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{q'''}{k}=0.
Explico os termos:
  • r é a coordenada radial (m).
  • T(r) é a temperatura que depende só de r (°C ou K; diferenças de temperatura em K = °C).
  • q''' é a taxa de geração volumétrica ( \mathrm{W/m^3}).
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}).
Agora integramos a equação. Multiplicando por r e integrando:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right) = -\frac{q'''}{k}\,r.
Integrando uma vez em r:
r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -\frac{q'''}{2k}\,r^{2} + C_{1}.
Dividindo por r:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -\frac{q'''}{2k}\,r + \frac{C_{1}}{r}.
Condição física no centro: a derivada deve ser finita em r=0. O termo C_{1}/r seria singular em r=0 a menos que C_{1}=0. Logo C_{1}=0. Integrando novamente:
T(r) = -\frac{q'''}{4k}\,r^{2} + C_{2}.
A constante C_{2} é obtida pela condição de contorno T(R)=T_{s}:
T_{s} = -\frac{q'''}{4k}\,R^{2} + C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=T_{s}+\frac{q'''}{4k}\,R^{2}.
Portanto a solução, que é a fórmula que vamos usar, é
\boxed{\,T(r) = T_{s} + \frac{q'''}{4k}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,}
e a derivada radial (gradiente) é, vindo da etapa anterior,
\boxed{\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -\frac{q'''}{2k}\,r\,.}
Também o fluxo de calor radial (densidade) é dado pela lei de Fourier:
q_{r}(r) = -k\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}.
Essas fórmulas são as que aplicamos diretamente nos itens a–d.

Passo 3

(a) Temperatura no centro ( r=0) — aplicação direta da fórmula:
T(0) = T_{s} + \frac{q'''}{4k}\,R^{2}.
Substituindo os valores (mostro passo a passo):
R^{2}=(0,05)^{2}=0,0025\\ \mathrm{m^{2}},
\frac{q'''\,R^{2}}{4k}=\frac{7\times 10^{6}\cdot 0,0025}{4\cdot 190} =\frac{17\,500}{760}\\ \mathrm{K}.
Agora a divisão:
\frac{17\,500}{760}\approx 23,026315\\ \mathrm{K}\approx 23,03\\ \mathrm{K}.
Portanto
T(0)=100^\circ\mathrm{C}+23,03\\ \mathrm{K}\approx 123,03^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

(b) Temperatura a r=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}:
Usamos a fórmula
T(r)=T_{s}+\frac{q'''}{4k}\left(R^{2}-r^{2}\right).
Calculo dos termos:
r^{2}=(0,025)^{2}=0,000625\\ \mathrm{m^{2}},
R^{2}-r^{2}=0,0025-0,000625=0,001875\\ \mathrm{m^{2}},
\frac{q'''}{4k}\left(R^{2}-r^{2}\right)=\frac{7\times 10^{6}\cdot 0,001875}{4\cdot 190} =\frac{13\,125}{760}=17,25\\ \mathrm{K}.
Logo
T(0,025)=100^\circ\mathrm{C}+17,25\\ \mathrm{K}=117,25^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

(c) Gradiente de temperatura em r=25\\ \mathrm{mm}. Usamos
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -\frac{q'''}{2k}\,r.
Substituindo:
\frac{q'''}{2k}=\frac{7\times 10^{6}}{2\cdot 190}=\frac{7\times 10^{6}}{380}=18\,421,0526316\\ \mathrm{(W/m^{3})/(W/(m\cdot K))}=18\,421,0526316\\ \mathrm{K/m^{2}}?
Mais direto: calcular o produto \frac{q'''}{2k}\,r:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\Big|_{r=0,025} = -\frac{7\times 10^{6}\cdot 0,025}{2\cdot 190} = -\frac{175\,000}{380}\\ \mathrm{K/m}.
Fazendo a divisão:
-\frac{175\,000}{380}\approx -460,5263158\\ \mathrm{K/m}\approx -460,53\\ \mathrm{K/m}.
(O sinal negativo indica que a temperatura diminui quando r aumenta — isto é, a temperatura é maior no centro e decresce em direção à superfície.)

Passo 6

(d) Fluxo de calor na superfície ( r=R). A densidade de fluxo radial é q_{r}=-k\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}r. Avaliando em r=R:
q_{r}(R) = -k\left(-\frac{q'''}{2k}R\right)=\frac{q'''\,R}{2}.
Essa forma é útil porque elimina k. Substituindo:
q_{r}(R)=\frac{7\times 10^{6}\cdot 0,05}{2}=7\times 10^{6}\cdot 0,025=175\,000\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: q_{r}(R)=175\,000\\ \mathrm{W/m^{2}} sai radialmente para fora (positivo no sentido de calor fluindo para fora).
Para checar consistência, a potência gerada por unidade de comprimento do cilindro é
\dot{Q}' = q'''\cdot \pi R^{2}=7\times 10^{6}\cdot \pi\cdot (0,05)^{2}\approx 54\,978,9\\ \mathrm{W/m}.
E a potência que atravessa a superfície por unidade de comprimento também é
q_{r}(R)\cdot 2\pi R = 175\,000\cdot 2\pi\cdot 0,05\approx 54\,978,9\\ \mathrm{W/m},
confirmando que os cálculos são coerentes.

Resposta

(a) T(0)=123,03^\circ\mathrm{C}
(b) T(0,025)=117,25^\circ\mathrm{C}
(c) \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\Big|_{r=0,025}=-460,53\\ \mathrm{K/m}
(d) q_{r}(R)=175\,000\\ \mathrm{W/m^{2}} (fluxo superficial, para fora); potência por unidade de comprimento \dot{Q}'\approx 54\,978,9\\ \mathrm{W/m}

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