Um longo cilindro oco é construído com material cuja condutividade térmica é uma função da temperatura, de acordo com a relação k=0,06+0,0006 T, onde T é expressa em { }^{\circ} \mathrm{F} e k em \mathrm{BTU} / \mathrm{h} ~ \mathrm{ft}{ }^{\circ} \mathrm{F}. Os raios interno e externo do cilindro são, respectivamente, de 5 e 10 polegadas. Sob as condições de estado estacionário, a temperatura na superficie interna é 800^{\circ} \mathrm{F} e na externa, 200^{\circ} \mathrm{F}.
a) Calcule a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta a variação na condutividade térmica com a temperatura.
b) Se o coeficiente de transferência de calor na superfície externa no cilindro for 3 \mathrm{BTU} / \mathrm{h} \mathrm{ft}^{\circ} \mathrm{F}, calcule a temperatura do ar na parte externa do mesmo.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Condutividade térmica como função da temperatura: k(T)=0,06+0,0006\,T, com T em {}^\circ\mathrm{F} e k em \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}).
  • Raio interno do cilindro: r_1=5 polegadas.
  • Raio externo do cilindro: r_2=10 polegadas.
  • Temperatura na superfície interna: T_1=800^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura na superfície externa: T_2=200^\circ\mathrm{F}.
  • Parte (a): calcular a taxa de transferência de calor por pé linear (isto é, q' em \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft})), levando em conta que k varia com T.
  • Parte (b): sabendo que o coeficiente de convecção na superfície externa é h=3\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}), calcular a temperatura do ar externo T_\infty (assumindo que a superfície externa do cilindro continua a ter T_2=200^\circ\mathrm{F}).
Observação importante de unidades (vou converter para pés, porque k está em unidades por pé):
  • r_1 = 5\\ \text{in} = \dfrac{5}{12}\\ \text{ft} = \dfrac{5}{12}\\ \mathrm{ft}.
  • r_2 = 10\\ \text{in} = \dfrac{10}{12}\\ \text{ft} = \dfrac{5}{6}\\ \mathrm{ft}.
A partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (aula rápida e prática).
  • Em regime estacionário, transporte de calor radial em um cilindro longo é descrito pela lei de Fourier em coordenadas cilíndricas. Para potência por unidade de comprimento q' (unidade: \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft})) temos:
q' = -2\pi r\,k(T)\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q' é a taxa de calor por unidade de comprimento (constante com r em regime estacionário),
  • r é a coordenada radial,
  • k(T) é condutividade térmica dependente de T,
  • dT/dr é gradiente radial de temperatura.
    Explicação rápida: o fluxo através de um anel cilíndrico de raio r e comprimento unitário tem área lateral 2\pi r\cdot 1. Fourier diz que fluxo local é -k\,A\,dT/dr.

Passo 3

Separação das variáveis e integração para o caso k=k(T).
A equação do passo anterior pode ser rearranjada:
\frac{dr}{r} = -\frac{2\pi\,k(T)}{q'}\,dT.
Integramos de r_1 a r_2 correspondendo a T_1 a T_2. No lado esquerdo a integral é em r, no direito em T. Assim:
\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r} = -\frac{2\pi}{q'}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
A integral da esquerda é simples:
\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r} = \ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Logo obtemos a relação útil:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = -\frac{2\pi}{q'}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
Rearranjando para q':
q' = -\frac{2\pi}{\ln(r_2/r_1)}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
Observação sobre sinais: como T_2<T_1, a integral \int_{T_1}^{T_2} k\,dT é negativa; o fator - garante q'>0 quando o calor vai do interior mais quente para fora mais frio. Alternativamente usamos \int_{T_2}^{T_1} k\,dT e retiramos o sinal.

Passo 4

Calcular a integral \int k(T)\,dT explicitamente e avaliar entre os limites.
Dado k(T)=0,06+0,0006\,T. Uma primitiva é:
\int k(T)\,dT = \int \big(0,06+0,0006\,T\big)\,dT = 0,06\,T + 0,0003\,T^2 + C.
Agora avalio entre T_2=200^\circ\mathrm{F} e T_1=800^\circ\mathrm{F}. Vou usar a forma positiva:
\int_{T_2}^{T_1} k(T)\,dT = \big[0,06T+0,0003T^2\big]_{200}^{800}.
Calculemos:
0,06\cdot 800 + 0,0003\cdot 800^2 = 48 + 0,0003\cdot 640000 = 48 + 192 = 240.
0,06\cdot 200 + 0,0003\cdot 200^2 = 12 + 0,0003\cdot 40000 = 12 + 12 = 24.
\int_{200}^{800} k(T)\,dT = 240 - 24 = 216.
Unidade desse resultado: \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}) multiplicado por ^\circ\mathrm{F} \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}) (compatível com a fórmula para q' por comprimento).
Também a razão geométrica:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = \ln\!\left(\frac{10\\ \text{in}}{5\\ \text{in}}\right) = \ln(2).
(Observe que o resultado não depende da unidade das distâncias, contanto que ambos sejam na mesma unidade; usei a razão, portanto \ln2.)

Passo 5

Calcular q' numérico usando a expressão obtida.
Usando a forma
q' = \frac{2\pi}{\ln(r_2/r_1)}\int_{T_2}^{T_1} k(T)\,dT
(eu troquei os limites para ficar com quantidade positiva),
substituindo os valores:
q'=\frac{2\pi\cdot 216}{\ln 2} = \frac{432\pi}{\ln 2}.
Agora numérico: \ln 2\approx 0,693147 e \pi\approx 3,141593. Calculando:
q' \approx \frac{432\cdot 3,141593}{0,693147}\approx 1\,958,95\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}).
Arredondando razoavelmente: q'\approx 1\,959\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}).

Passo 6

Parte (b): achar a temperatura do ar T_\infty usando convecção na superfície externa.
  • A taxa de calor por comprimento também pode ser expressa pela resistência convectiva na superfície externa:
q' = h\,( \text{área lateral por comprimento})\,(T_2 - T_\infty).á
A área lateral por unidade de comprimento é 2\pi r_2. Então:
q' = h\cdot 2\pi r_2 \cdot (T_2 - T_\infty).
Isolando T_\infty:
T_\infty = T_2 - \frac{q'}{h\cdot 2\pi r_2}.
Substituindo h=3\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}), r_2=\dfrac{5}{6}\\ \mathrm{ft}, T_2=200^\circ\mathrm{F} e q'\approx 1\,958,95\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}):
h\cdot 2\pi r_2 = 3\cdot 2\pi\cdot\frac{5}{6} = 5\pi.
Logo
T_\infty = 200 - \frac{1\,958,95}{5\pi}.
Calcule numeric:
5\pi \approx 15,70796,\qquad \frac{1\,958,95}{5\pi}\approx 124,7.
T_\infty \approx 200 - 124,7 = 75,3^\circ\mathrm{F}.

Passo 7

Pequeno resumo didático e checagem mental:
  • Na parte (a) usamos a propriedade de que, em regime estacionário, q' é constante com r; isso permitiu separar variáveis mesmo com k dependendo de T e integrar dr/r de um lado e k(T)\,dT do outro. Esse é o truque clássico quando k depende de T mas não de r explicitamente.
  • Na parte (b) equiparamos o fluxo por condução no exterior (o que saiu do cilindro) com o fluxo por convecção para o ar, e isolamos T_\infty. Verificamos que o valor obtido é razoável (temperatura do ar menor que a superfície externa, e positiva).

Resposta

(a) q' = 1\,958,95\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft})
(b) T_\infty = 75,3^\circ\mathrm{F}

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