Um longo cilindro oco é construído com material cuja condutividade térmica é uma função da temperatura, de acordo com a relação
, onde T é expressa em
e k em
. Os raios interno e externo do cilindro são, respectivamente, de 5 e 10 polegadas. Sob as condições de estado estacionário, a temperatura na superficie interna é
e na externa,
.
a) Calcule a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta a variação na condutividade térmica com a temperatura.
b) Se o coeficiente de transferência de calor na superfície externa no cilindro for
, calcule a temperatura do ar na parte externa do mesmo.
a) Calcule a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta a variação na condutividade térmica com a temperatura.
b) Se o coeficiente de transferência de calor na superfície externa no cilindro for
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Condutividade térmica como função da temperatura:
, com em e em . - Raio interno do cilindro:
polegadas. - Raio externo do cilindro:
polegadas. - Temperatura na superfície interna:
. - Temperatura na superfície externa:
. - Parte (a): calcular a taxa de transferência de calor por pé linear (isto é,
em ), levando em conta que varia com . - Parte (b): sabendo que o coeficiente de convecção na superfície externa é
, calcular a temperatura do ar externo (assumindo que a superfície externa do cilindro continua a ter ).
Observação importante de unidades (vou converter para pés, porque
está em unidades por pé):
-
. -
.
A partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Conceito físico e fórmula básica (aula rápida e prática).
- Em regime estacionário, transporte de calor radial em um cilindro longo é descrito pela lei de Fourier em coordenadas cilíndricas. Para potência por unidade de comprimento
(unidade: ) temos:
onde:
-
é a taxa de calor por unidade de comprimento (constante com em regime estacionário), -
é a coordenada radial, -
é condutividade térmica dependente de , -
é gradiente radial de temperatura.
Explicação rápida: o fluxo através de um anel cilíndrico de raioe comprimento unitário tem área lateral . Fourier diz que fluxo local é .
Passo 3
Separação das variáveis e integração para o caso
.
A equação do passo anterior pode ser rearranjada:
A equação do passo anterior pode ser rearranjada:
Integramos de
a
correspondendo a
a
. No lado esquerdo a integral é em
, no direito em
. Assim:
A integral da esquerda é simples:
Logo obtemos a relação útil:
Rearranjando para
:
Observação sobre sinais: como
, a integral
é negativa; o fator
garante
quando o calor vai do interior mais quente para fora mais frio. Alternativamente usamos
e retiramos o sinal.
Passo 4
Calcular a integral
explicitamente e avaliar entre os limites.
Dado . Uma primitiva é:
Dado
Agora avalio entre
e
. Vou usar a forma positiva:
Calculemos:
Unidade desse resultado:
multiplicado por
dá
(compatível com a fórmula para
por comprimento).
Também a razão geométrica:
Também a razão geométrica:
(Observe que o resultado não depende da unidade das distâncias, contanto que ambos sejam na mesma unidade; usei a razão, portanto
.)
Passo 5
Calcular
numérico usando a expressão obtida.
Usando a forma
Usando a forma
(eu troquei os limites para ficar com quantidade positiva),
substituindo os valores:
substituindo os valores:
Agora numérico:
e
. Calculando:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 6
Parte (b): achar a temperatura do ar
usando convecção na superfície externa.
- A taxa de calor por comprimento também pode ser expressa pela resistência convectiva na superfície externa:
A área lateral por unidade de comprimento é
. Então:
Isolando
:
Substituindo
,
,
e
:
Logo
Calcule numeric:
Passo 7
Pequeno resumo didático e checagem mental:
- Na parte (a) usamos a propriedade de que, em regime estacionário,
é constante com ; isso permitiu separar variáveis mesmo com dependendo de e integrar de um lado e do outro. Esse é o truque clássico quando depende de mas não de explicitamente. - Na parte (b) equiparamos o fluxo por condução no exterior (o que saiu do cilindro) com o fluxo por convecção para o ar, e isolamos
. Verificamos que o valor obtido é razoável (temperatura do ar menor que a superfície externa, e positiva).
Resposta
(a)
(b)
(b)