Questão (Valor:
pontos): O escoamento de óleo em conduto fechado (
) deve ser simulado em um modelo reduzido utilizando água (
). A vazão máxima no escoamento de óleo é de
e a vazão máxima de água que pode ser simulada no modelo é de
. A partir das informações apresentadas, pede-se:
a) calcular a escala máxima com que poderá ser construído o modelo e o respectivo diâmetro para que se possa assegurar a semelhança dinâmica entre os dois escoamentos ( 1,0 ponto);
b) definir a escala de velocidades ( 0,5 ponto);
c) estimar a pressão em um dado ponto do tubo com óleo quando, em seu ponto homólogo no modelo reduzido, a pressão for de
ponto
.
Solução:
a) calcular a escala máxima com que poderá ser construído o modelo e o respectivo diâmetro para que se possa assegurar a semelhança dinâmica entre os dois escoamentos ( 1,0 ponto);
b) definir a escala de velocidades ( 0,5 ponto);
c) estimar a pressão em um dado ponto do tubo com óleo quando, em seu ponto homólogo no modelo reduzido, a pressão for de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as três coisas indicadas.
Dados (extraí os números do enunciado):
Perguntas:
a) calcular a escala máxima linear com que o modelo pode ser construído e o respectivo diâmetro do modelo para assegurar semelhança dinâmica (igualdade de Reynolds) (1,0 ponto);
b) definir a escala de velocidades (0,5 ponto);
c) estimar a pressão em um ponto do tubo com óleo quando, no ponto homólogo do modelo, a pressão for (1,0 ponto).
a) calcular a escala máxima linear com que o modelo pode ser construído e o respectivo diâmetro do modelo para assegurar semelhança dinâmica (igualdade de Reynolds) (1,0 ponto);
b) definir a escala de velocidades (0,5 ponto);
c) estimar a pressão em um ponto do tubo com óleo quando, no ponto homólogo do modelo, a pressão for
Passo 2
Princípio físico usado e definição do número de Reynolds (aula rápida):
- Para escoamentos internos de fluidos newtonianos, a semelhança dinâmica é obtida quando o número de Reynolds do protótipo e do modelo são iguais. O número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e viscosas e é definido por
onde
é a densidade do fluido,
é a velocidade média,
é o diâmetro do conduto e
é a viscosidade dinâmica. Aqui
é adimensional.
- Em tubos, a velocidade média
relaciona-se com a vazão por
onde
é a área da secção.
Vamos igualar os Reynolds de óleo (protótipo) e água (modelo) para obter a escala geométrica admissível.
Passo 3
Igualando os números de Reynolds do modelo (água) e do protótipo (óleo):
Substituo
para cada caso:
Simplificando
e um
:
Isolando
:
A escala linear (razão diâmetro modelo/protótipo) é
Passo 4
Cálculo numérico da escala e do diâmetro do modelo (faço as contas passo a passo).
Calculo o numerador e denominador de :
Calculo o numerador e denominador de
Logo
Assim o diâmetro do modelo é
Também é útil a escala apresentada como razão inversa (escala do tipo 1:
):
ou seja, aproximadamente escala
.
Passo 5
Escala de velocidades (definição e cálculo):
- A velocidade média do protótipo é
- A velocidade média do modelo (com
encontrado) é
- A escala de velocidades (razão
) é
Ou seja, o modelo tem velocidade média cerca de
vezes a do protótipo (aprox. razão
em termos de velocidade).
Passo 6
Escalonamento da pressão (explicação e cálculo):
- Para escoamentos dinamicamente semelhantes, os coeficientes adimensionais de pressão (por exemplo coeficiente de pressão) são iguais. Isso implica que diferenças de pressão dinâmicas escalam como
. Em outras palavras, uma pressão dinâmica típica escala com . - Assim, se a pressão medida no ponto homologous do modelo é
, a pressão correspondente no protótipo é
Substituindo valores (usei
):
Logo
Comentário físico rápido: esse
corresponde à pressão dinâmica/estática associada ao mesmo ponto homologous sob semelhança dinâmica (assumimos que a pressão indicada no modelo é comparável e que efeitos gravitacionais ou de compressibilidade não alteram a escala).
Resposta
a) escala linear máxima
(aprox. escala
); diâmetro do modelo
.
b) escala de velocidades (velocidade do modelo ≈
, protótipo ≈
).
c) pressão estimada no protótipo (≈
).
b) escala de velocidades
c) pressão estimada no protótipo