\mathbf{4}^{\text {a }} Questão (Valor: \mathbf{2 , 5} pontos): O escoamento de óleo em conduto fechado ( \mathrm{D}=2,4 \mathrm{~m} ; \rho=940 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=4,4 \times 10^{-2} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) deve ser simulado em um modelo reduzido utilizando água ( \rho=1.000 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ). A vazão máxima no escoamento de óleo é de 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e a vazão máxima de água que pode ser simulada no modelo é de 20 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A partir das informações apresentadas, pede-se:
a) calcular a escala máxima com que poderá ser construído o modelo e o respectivo diâmetro para que se possa assegurar a semelhança dinâmica entre os dois escoamentos ( 1,0 ponto);
b) definir a escala de velocidades ( 0,5 ponto);
c) estimar a pressão em um dado ponto do tubo com óleo quando, em seu ponto homólogo no modelo reduzido, a pressão for de 23.544 \mathrm{~Pa}(1,0 ponto ).

Solução:

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as três coisas indicadas.
Dados (extraí os números do enunciado):
D_{\text{óleo}}=2{,}4\\ \text{m},\quad \rho_{\text{óleo}}=940\\ \text{kg}/\text{m}^3,\quad \mu_{\text{óleo}}=4{,}4\times10^{-2}\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2,óóó
Q_{\text{óleo, max}}=15\\ \text{m}^3/\text{s},ó
\rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3,\quad \mu_{\text{água}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2,áá
Q_{\text{água, max}}=20\\ \text{L}/\text{s}=0{,}02\\ \text{m}^3/\text{s}.á
Perguntas:
a) calcular a escala máxima linear com que o modelo pode ser construído e o respectivo diâmetro do modelo para assegurar semelhança dinâmica (igualdade de Reynolds) (1,0 ponto);
b) definir a escala de velocidades (0,5 ponto);
c) estimar a pressão em um ponto do tubo com óleo quando, no ponto homólogo do modelo, a pressão for 23544\\ \text{Pa} (1,0 ponto).

Passo 2

Princípio físico usado e definição do número de Reynolds (aula rápida):
  • Para escoamentos internos de fluidos newtonianos, a semelhança dinâmica é obtida quando o número de Reynolds do protótipo e do modelo são iguais. O número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e viscosas e é definido por
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido, V é a velocidade média, D é o diâmetro do conduto e \mu é a viscosidade dinâmica. Aqui \mathrm{Re} é adimensional.
  • Em tubos, a velocidade média V relaciona-se com a vazão Q por
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2},
onde A=\pi D^2/4 é a área da secção.
Vamos igualar os Reynolds de óleo (protótipo) e água (modelo) para obter a escala geométrica admissível.

Passo 3

Igualando os números de Reynolds do modelo (água) e do protótipo (óleo):
\frac{\rho_{\text{água}} V_{\text{m}} D_{\text{m}}}{\mu_{\text{água}}} = \frac{\rho_{\text{óleo}} V_{\text{p}} D_{\text{p}}}{\mu_{\text{óleo}}}.ááóó
Substituo V=\dfrac{4Q}{\pi D^2} para cada caso:
\frac{\rho_{\text{água}}\;\dfrac{4Q_{\text{m}}}{\pi D_{\text{m}}^2}\;D_{\text{m}}}{\mu_{\text{água}}} = \frac{\rho_{\text{óleo}}\;\dfrac{4Q_{\text{p}}}{\pi D_{\text{p}}^2}\;D_{\text{p}}}{\mu_{\text{óleo}}}.ááóó
Simplificando 4/\pi e um D_{\text{m}}:
\frac{\rho_{\text{água}}\,Q_{\text{m}}}{\mu_{\text{água}}\,D_{\text{m}}} = \frac{\rho_{\text{óleo}}\,Q_{\text{p}}}{\mu_{\text{óleo}}\,D_{\text{p}}}.ááóó
Isolando D_{\text{m}}:
D_{\text{m}} = \frac{\rho_{\text{água}}\,Q_{\text{m}}\,\mu_{\text{óleo}}\,D_{\text{p}}} {\mu_{\text{água}}\,\rho_{\text{óleo}}\,Q_{\text{p}}}.áóáó
A escala linear (razão diâmetro modelo/protótipo) é
s=\frac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}} = \frac{\rho_{\text{água}}\,Q_{\text{m}}\,\mu_{\text{óleo}}} {\mu_{\text{água}}\,\rho_{\text{óleo}}\,Q_{\text{p}}}.áóáó

Passo 4

Cálculo numérico da escala e do diâmetro do modelo (faço as contas passo a passo).
Calculo o numerador e denominador de s:
\text{numerador}= \rho_{\text{água}}\,Q_{\text{m}}\,\mu_{\text{óleo}} =1000\cdot 0{,}02\cdot 4{,}4\times10^{-2}=20\cdot 0{,}044=0{,}88.áó
\text{denominador}= \mu_{\text{água}}\,\rho_{\text{óleo}}\,Q_{\text{p}} =1\times10^{-3}\cdot 940\cdot 15=0{,}94\cdot15=14{,}1.áó
Logo
s=\frac{0{,}88}{14{,}1}\approx 0{,}062412.
Assim o diâmetro do modelo é
D_{\text{m}}=s\,D_{\text{p}}=0{,}062412\cdot 2{,}4\\ \text{m}\approx 0{,}14979\\ \text{m}\approx 0{,}150\\ \text{m}.
Também é útil a escala apresentada como razão inversa (escala do tipo 1: N):
\frac{D_{\text{p}}}{D_{\text{m}}}\approx \frac{1}{0{,}062412}\approx 16{,}02,
ou seja, aproximadamente escala 1\!:\!16.

Passo 5

Escala de velocidades (definição e cálculo):
  • A velocidade média do protótipo é
V_{\text{p}}=\frac{4Q_{\text{p}}}{\pi D_{\text{p}}^2} =\frac{4\cdot 15}{\pi\cdot (2{,}4)^2} =\frac{60}{\pi\cdot 5{,}76} \approx 3{,}316\\ \text{m/s}.
  • A velocidade média do modelo (com D_{\text{m}} encontrado) é
V_{\text{m}}=\frac{4Q_{\text{m}}}{\pi D_{\text{m}}^2} =\frac{4\cdot 0{,}02}{\pi\cdot (0{,}14979)^2} \approx 1{,}1355\\ \text{m/s}.
  • A escala de velocidades (razão V_{\text{m}}/V_{\text{p}}) é
\frac{V_{\text{m}}}{V_{\text{p}}}\approx \frac{1{,}1355}{3{,}316}\approx 0{,}3423.
Ou seja, o modelo tem velocidade média cerca de 0{,}342 vezes a do protótipo (aprox. razão 1:2{,}92 em termos de velocidade).

Passo 6

Escalonamento da pressão (explicação e cálculo):
  • Para escoamentos dinamicamente semelhantes, os coeficientes adimensionais de pressão (por exemplo coeficiente de pressão) são iguais. Isso implica que diferenças de pressão dinâmicas escalam como \rho V^2. Em outras palavras, uma pressão dinâmica típica escala com \rho V^2.
  • Assim, se a pressão medida no ponto homologous do modelo é p_{\text{m}}, a pressão correspondente no protótipo é
p_{\text{p}}=p_{\text{m}}\cdot\frac{\rho_{\text{p}}V_{\text{p}}^{2}}{\rho_{\text{m}}V_{\text{m}}^{2}}.
Substituindo valores (usei p_{\text{m}}=23544\\ \text{Pa}):
\frac{\rho_{\text{p}}V_{\text{p}}^{2}}{\rho_{\text{m}}V_{\text{m}}^{2}} =\frac{940\cdot (3{,}3159)^2}{1000\cdot (1{,}1355)^2} \approx 8{,}0121.
Logo
p_{\text{p}}=23544\cdot 8{,}0121\approx 188{,}684\\ \text{Pa}.
Comentário físico rápido: esse p_{\text{p}} corresponde à pressão dinâmica/estática associada ao mesmo ponto homologous sob semelhança dinâmica (assumimos que a pressão indicada no modelo é comparável e que efeitos gravitacionais ou de compressibilidade não alteram a escala).

Resposta

a) escala linear máxima s=\dfrac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}}\approx 0{,}0624 (aprox. escala 1\!:\!16); diâmetro do modelo D_{\text{m}}\approx 0{,}150\\ \text{m}.
b) escala de velocidades \dfrac{V_{\text{m}}}{V_{\text{p}}}\approx 0{,}342 (velocidade do modelo ≈ 1{,}136\\ \text{m/s}, protótipo ≈ 3{,}316\\ \text{m/s}).
c) pressão estimada no protótipo p_{\text{p}}\approx 1{,}8868\times10^{5}\\ \text{Pa} (≈ 188{,}7\\ \text{kPa}).

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