Um cilindro submetido a uma pressão interna ( p_{i} ) tem o diâmetro externo de r_{0}= 400 mm e uma espessura de parede de 40 mm . O material tem tenacidade á fratura \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=100 \mathrm{MPa}(\mathrm{m})^{1 / 2} e \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=1600 \mathrm{MPa}. Se este cilindro tiver uma trinca radial na direção longitudinal, com profundidade de 8 mm :
Determinar a pressão que irá causar o crescimento incontrolável da trinca.

Passo 1

Vou listar claramente o que o problema dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro externo r_{0}=400\\ \text{mm};
    • espessura da parede t=40\\ \text{mm};
    • tenacidade à fratura \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=100\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2};
    • limite de escoamento \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=1600\\ \mathrm{MPa};
    • trinca radial (no sentido longitudinal) com profundidade a=8\\ \text{mm}.
  • O que se pede:
    • determinar a pressão interna p que fará a trinca crescer de forma incontrolável (isto é, a pressão crítica de fratura, onde o fator de intensidade de tensão atinge \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}).

Passo 2

Transformar e organizar comprimentos em unidades consistentes (SI, metros) e calcular o raio médio da parede do cilindro.
  • raio interno: r_i = r_{0} - t = 400\\ \text{mm} - 40\\ \text{mm} = 360\\ \text{mm}.
  • raio médio (usado na fórmula de tensão de parede): r_m = \frac{r_{0}+r_i}{2} = \frac{400+360}{2}\\ \text{mm} = 380\\ \text{mm} = 0,38\\ \text{m}.
  • espessura e profundidade da trinca em metros: t = 40\\ \text{mm} = 0,04\\ \text{m},\qquad a = 8\\ \text{mm} = 0,008\\ \text{m}.

Passo 3

Explicar a tensão que abre a trinca e a fórmula que vamos usar.
  • A trinca longitudinal (no sentido do eixo) é aberta principalmente pela tensão circunferencial (tensão hoop) induzida pela pressão interna. Para cascos relativamente finos usa-se a aproximação \sigma_\theta = \frac{p\, r_m}{t},onde
    • \sigma_\theta é a tensão circunferencial (hoop) no ponto do defeito, em \mathrm{MPa};
    • p é a pressão interna, em \mathrm{MPa};
    • r_m é o raio médio, em \mathrm{m};
    • t é a espessura, em \mathrm{m}.
Esta fórmula vem do equilíbrio do cilindro fino: a força gerada pela pressão é sustentada pela parede, e o fator r_m/t amplifica a pressão em tensão.

Passo 4

Apresentar a teoria de fratura linear-elástica usada (conceito do fator de intensidade de tensões) e escolher o fator geométrico.
  • Na mecânica da fratura linear-elástica o modo I (abertura) tem fator de intensidade de tensões K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},onde
    • K_I é o fator de intensidade (unidades \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2});
    • Y é um fator geométrico adimensional que depende da forma e posição da trinca;
    • \sigma é a tensão aplicada que abre a trinca (aqui \sigma_\theta);
    • a é a profundidade da trinca (m).
  • Para uma trinca de superfície (trinca que parte da superfície) orientada perpendicular à tensão aplicada, um valor usual e conservador para o fator geométrico é Y\approx 1{,}12 (valor padrão para trinca de bordo em placa). Como a razão a/t=8/40=0{,}2 é pequena a correção de geometria é modesta; usaremos Y=1{,}12 e comentaremos a sensibilidade depois.

Passo 5

Relacionar K_I com \mathrm{K}_{\mathrm{IC}} e isolar p (pressão crítica).
  • No limite instável de fratura (ritmo rápido), o K_I alcança \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}. Logo \mathrm{K}_{\mathrm{IC}} = Y\,\sigma_\theta\,\sqrt{\pi a}.
  • Substituindo \sigma_\theta=\dfrac{p\,r_m}{t} temos \mathrm{K}_{\mathrm{IC}} = Y\left(\frac{p\,r_m}{t}\right)\sqrt{\pi a}.
  • Isolando p: p = \frac{\mathrm{K}_{\mathrm{IC}}\; t}{Y\, r_m\, \sqrt{\pi a}}.
Aqui explico cada símbolo novamente:
  • \mathrm{K}_{\mathrm{IC}} dado (tenacidade);
  • t espessura (m);
  • Y fator geométrico adotado;
  • r_m raio médio (m);
  • a profundidade da trinca (m).

Passo 6

Substituir numericamente, mostrando as contas passo a passo.
  • Primeiro calcule \sqrt{\pi a}: \pi a = \pi\cdot 0{,}008 = 0{,}025132741\ldots
\sqrt{\pi a} = \sqrt{0{,}025132741\ldots} \approx 0{,}15856\\ \text{m}^{1/2}.
  • Numerador: \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}\; t = 100\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2}\times 0{,}04\\ \mathrm{m} = 4\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{3/2}.
  • Denominador: Y\, r_m\, \sqrt{\pi a} = 1{,}12\times 0{,}38\\ \mathrm{m}\times 0{,}15856\\ \mathrm{m}^{1/2}
= 1{,}12\times 0{,}060255\ldots \approx 0{,}067486\\ \mathrm{m}^{3/2}.
  • Logo a pressão crítica: p = \frac{4}{0{,}067486}\\ \mathrm{MPa} \approx 59{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Portanto, pela condição K_I=K_{IC} obtemos p_{\text{crítico}}\approx 59{,}3\\ \mathrm{MPa}í.

Passo 7

Verificações de consistência (pequena zona plástica e confronto com escoamento).
  • Tensão hoop correspondente a essa pressão: \sigma_\theta = \frac{p\, r_m}{t} = 59{,}3\\ \mathrm{MPa}\times\frac{0{,}38}{0{,}04} = 59{,}3\times 9{,}5 \approx 563{,}4\\ \mathrm{MPa}.Como \sigma_\theta \approx 563{,}4\\ \mathrm{MPa} < \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=1600\\ \mathrm{MPa}, não houve escoamento macroscópico antes da fratura: o material permanece na região elástica.
  • Tamanho aproximado da zona plástica (critério de Irwin, pequena plasticidade): r_p \approx \frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_{IC}}{\mathrm{S}_{\mathrm{y}}}\right)^2 = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{100}{1600}\right)^2\\ \text{m}.Calcule: \frac{100}{1600}=0{,}0625,\qquad (0{,}0625)^2=0{,}00390625,
r_p \approx \frac{0{,}00390625}{6{,}283185} \approx 0{,}0006217\\ \text{m} = 0{,}62\\ \text{mm}.
Compare com a=8\\ \text{mm} e t=40\\ \text{mm}: r_p é muito menor que a e que t, então a hipótese de fratura linear-elástica e pequena zona plástica é válida.
  • Pressão necessária para que a tensão hoop atinja o escoamento no material (controle por escoamento) seria p_{\text{escoamento}} = \frac{\mathrm{S}_{\mathrm{y}}\, t}{r_m} = \frac{1600\times 0{,}04}{0{,}38}\\ \mathrm{MPa}\approx 168{,}4\\ \mathrm{MPa},o que é bem maior que 59{,}3\\ \mathrm{MPa}. Logo a falha por fratura ocorre antes do escoamento global.

Passo 8

Interpretação final e sensibilidade ao fator geométrico Y.
  • Usamos Y=1{,}12 (valor conservador típico para trinca de borda). Se Y fosse maior (p.ex. Y=1{,}3), a pressão crítica seria menor (porque p\propto 1/Y). Para ver: com Y=1{,}3 obteríamos p\approx 51{,}5\\ \mathrm{MPa}.
  • Conclusão: com os dados e aproximações adotadas, o crescimento incontrolável da trinca acontece em pressão bem abaixo da pressão que causaria escoamento plástico global, então a resposta é controlada por fratura linear-elástica.

Resposta

p_{\text{crítico}}\approx 59{,}3\\ \mathrm{MPa}í

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