Um cilindro submetido a uma pressão interna (
) tem o diâmetro externo de
400 mm e uma espessura de parede de 40 mm . O material tem tenacidade á fratura
e
. Se este cilindro tiver uma trinca radial na direção longitudinal, com profundidade de 8 mm :
Determinar a pressão que irá causar o crescimento incontrolável da trinca.
Determinar a pressão que irá causar o crescimento incontrolável da trinca.
Passo 1
Vou listar claramente o que o problema dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- diâmetro externo
; - espessura da parede
; - tenacidade à fratura
; - limite de escoamento
; - trinca radial (no sentido longitudinal) com profundidade
.
- diâmetro externo
- O que se pede:
- determinar a pressão interna
que fará a trinca crescer de forma incontrolável (isto é, a pressão crítica de fratura, onde o fator de intensidade de tensão atinge ).
- determinar a pressão interna
Passo 2
Transformar e organizar comprimentos em unidades consistentes (SI, metros) e calcular o raio médio da parede do cilindro.
- raio interno:
- raio médio (usado na fórmula de tensão de parede):
- espessura e profundidade da trinca em metros:
Passo 3
Explicar a tensão que abre a trinca e a fórmula que vamos usar.
- A trinca longitudinal (no sentido do eixo) é aberta principalmente pela tensão circunferencial (tensão hoop) induzida pela pressão interna. Para cascos relativamente finos usa-se a aproximação
onde -
é a tensão circunferencial (hoop) no ponto do defeito, em ; -
é a pressão interna, em ; -
é o raio médio, em ; -
é a espessura, em .
-
Esta fórmula vem do equilíbrio do cilindro fino: a força gerada pela pressão é sustentada pela parede, e o fator
amplifica a pressão em tensão.
Passo 4
Apresentar a teoria de fratura linear-elástica usada (conceito do fator de intensidade de tensões) e escolher o fator geométrico.
- Na mecânica da fratura linear-elástica o modo I (abertura) tem fator de intensidade de tensões
onde -
é o fator de intensidade (unidades ); -
é um fator geométrico adimensional que depende da forma e posição da trinca; -
é a tensão aplicada que abre a trinca (aqui ); -
é a profundidade da trinca (m).
-
- Para uma trinca de superfície (trinca que parte da superfície) orientada perpendicular à tensão aplicada, um valor usual e conservador para o fator geométrico é
(valor padrão para trinca de bordo em placa). Como a razão é pequena a correção de geometria é modesta; usaremos e comentaremos a sensibilidade depois.
Passo 5
Relacionar
com
e isolar
(pressão crítica).
- No limite instável de fratura (ritmo rápido), o
alcança . Logo - Substituindo
temos - Isolando
:
Aqui explico cada símbolo novamente:
-
dado (tenacidade); -
espessura (m); -
fator geométrico adotado; -
raio médio (m); -
profundidade da trinca (m).
Passo 6
Substituir numericamente, mostrando as contas passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Numerador:
- Denominador:
- Logo a pressão crítica:
Portanto, pela condição
obtemos
.
Passo 7
Verificações de consistência (pequena zona plástica e confronto com escoamento).
- Tensão hoop correspondente a essa pressão:
Como , não houve escoamento macroscópico antes da fratura: o material permanece na região elástica. - Tamanho aproximado da zona plástica (critério de Irwin, pequena plasticidade):
Calcule:
Compare com
e
:
é muito menor que
e que
, então a hipótese de fratura linear-elástica e pequena zona plástica é válida.
- Pressão necessária para que a tensão hoop atinja o escoamento no material (controle por escoamento) seria
o que é bem maior que . Logo a falha por fratura ocorre antes do escoamento global.
Passo 8
Interpretação final e sensibilidade ao fator geométrico
.
- Usamos
(valor conservador típico para trinca de borda). Se fosse maior (p.ex. ), a pressão crítica seria menor (porque ). Para ver: com obteríamos . - Conclusão: com os dados e aproximações adotadas, o crescimento incontrolável da trinca acontece em pressão bem abaixo da pressão que causaria escoamento plástico global, então a resposta é controlada por fratura linear-elástica.