Um elemento (placa) submetido a tração, é feito de aço 1045 tratado térmicamente, com tenacidade a fratura de
e limite de escoamento
. A placa tem largura
, comprimento de
mm e espessura
.
a) A placa pde ter trincas de borda (atravessandotoda a espessura) de comprimento
. Determinar a força P permitida para esta placa de forma que o fator de segurança para fratura frágil seja de
.
b) Com a força calculada no item anterior, qual seria o fator de segurança para escoamento (ignorando a trinca)
c) Qual é o fator de segurança dominante da placa?
a) A placa pde ter trincas de borda (atravessandotoda a espessura) de comprimento
b) Com a força calculada no item anterior, qual seria o fator de segurança para escoamento (ignorando a trinca)
c) Qual é o fator de segurança dominante da placa?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados dados (peguei todos estes valores do enunciado):
-
Perguntas:
a) Determinar a força permitidade forma que o fator de segurança para fratura frágil seja , para uma trinca de borda com comprimento .
b) Com a força do item (a), calcular o fator de segurança para escoamento (ignorando a trinca).
c) Indicar qual é o fator de segurança dominante da placa (o menor entre os dois). -
Dados (todos extraídos do enunciado):
- Tenacidade à fratura:
. - Limite de escoamento:
. - Dimensões da placa:
- largura (na direção perpendicular à trinca):
. - comprimento (direção da aplicação da tração):
(não será necessária para os cálculos aqui além da geometria global). - espessura:
.
- largura (na direção perpendicular à trinca):
- Comprimento da trinca de borda (atravessando toda a espessura):
. - Fator de segurança pedido para fratura:
.
- Tenacidade à fratura:
Observação (apenas para registrar): a força de tração
aplicada produz uma tensão média normal na seção igual a
. No que segue vou usar a mecânica da fratura linear-elástica para trinca de borda na forma clássica do fator de intensidade de tensões.
Passo 2
Fórmula fundamental da mecânica da fratura (explicação didática):
- Para uma trinca de borda em placa submetida à tensão uniforme remota
, o fator de intensidade de tensões no modo I é
onde:
-
é o fator de intensidade de tensões (unidade ); -
é a tensão nominal aplicada (unidade ); -
é o comprimento da trinca (unidade ); -
é um fator geométrico adimensional que depende da razão para trinca de borda em placa finita.
Explicando
: para trinca de borda em placa de largura finita
várias correlações polinomiais são usadas. Uma forma prática (muito usada em livros) é
onde
. Vou usar essa expressão e os valores do enunciado.
Calcular
(peguei
e
do enunciado):
Agora calcular cada termo para
:
Substituindo na expressão de
:
Agora avalio numericamente termo a termo:
Somando:
Portanto
(adimensional).
Passo 3
Condição de segurança para fratura frágil:
- O fator de segurança pedido
significa que se exige
Ou equivalentemente, no limite admissível usamos
Vou calcular o valor admissível de
(peguei
e
do enunciado):
Passo 4
Resolver para a tensão nominal
:
- Da fórmula
isolamos :
Converter
de milímetros para metros (sempre trabalhar nas mesmas unidades para
):
Calcular
:
Então o denominador
é
Agora
:
Interpretação: para que o fator de segurança contra fratura seja
, a tensão média na seção não deve exceder aproximadamente
.
Passo 5
Calcular a força permitida
:
- A tensão média é
. Então
Converter
e
para metros (peguei os valores do enunciado):
Área da seção
.
Portanto
Lembrando que
, temos
Portanto a força permitida (para fratura com
) é
(ou
).
Passo 6
Fator de segurança para escoamento (ignorando a trinca), usando a tensão real gerada por
do item (a):
- Tensão aplicada
já calculada: . - Fator de segurança para escoamento é
Substituindo:
Explicando: isto significa que, com a força
limitada pelo critério de fratura, a placa está bem longe de escoar elasticamente — o escoamento não é o modo de falha crítico aqui.
Passo 7
Comparação e conclusão sobre qual fator domina:
- Temos dois fatores de segurança:
- para fratura frágil:
(imposto pelo enunciado e pelo cálculo de projeto), - para escoamento:
.
- para fratura frágil:
- O fator dominante é o menor (o mais crítico):
, ou seja, a fratura frágil governa o dimensionamento da placa.
Força permitida é aquela que atende o critério de fratura com
; com essa força a placa tem margem grande contra escoamento.
Resposta
(a)
(b)
(c) Fator de segurança dominante: (fratura frágil).
(b)
(c) Fator de segurança dominante: