Um elemento (placa) submetido a tração, é feito de aço 1045 tratado térmicamente, com tenacidade a fratura de \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=110 \mathrm{MPa}(\mathrm{m})^{1 / 2} e limite de escoamento \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=1000 \mathrm{MPa}. A placa tem largura \mathrm{b}=80 \mathrm{~mm}, comprimento de \mathrm{h}=300 mm e espessura \mathrm{t}=10 \mathrm{~mm}.
a) A placa pde ter trincas de borda (atravessandotoda a espessura) de comprimento \mathrm{a}=18 \mathrm{~mm}. Determinar a força P permitida para esta placa de forma que o fator de segurança para fratura frágil seja de \mathrm{n}=2,5.
b) Com a força calculada no item anterior, qual seria o fator de segurança para escoamento (ignorando a trinca)
c) Qual é o fator de segurança dominante da placa?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Perguntas:
    a) Determinar a força permitida P de forma que o fator de segurança para fratura frágil seja n=2,5, para uma trinca de borda com comprimento a=18\\ \mathrm{mm}.
    b) Com a força do item (a), calcular o fator de segurança para escoamento (ignorando a trinca).
    c) Indicar qual é o fator de segurança dominante da placa (o menor entre os dois).
  • Dados (todos extraídos do enunciado):
    • Tenacidade à fratura: \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=110\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2}.
    • Limite de escoamento: \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=1000\\ \mathrm{MPa}.
    • Dimensões da placa:
      • largura (na direção perpendicular à trinca): b=80\\ \mathrm{mm}.
      • comprimento (direção da aplicação da tração): h=300\\ \mathrm{mm} (não será necessária para os cálculos aqui além da geometria global).
      • espessura: t=10\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento da trinca de borda (atravessando toda a espessura): a=18\\ \mathrm{mm}.
    • Fator de segurança pedido para fratura: n=2{,}5.
Observação (apenas para registrar): a força de tração P aplicada produz uma tensão média normal na seção igual a \sigma=P/(b\,t). No que segue vou usar a mecânica da fratura linear-elástica para trinca de borda na forma clássica do fator de intensidade de tensões.

Passo 2

Fórmula fundamental da mecânica da fratura (explicação didática):
  • Para uma trinca de borda em placa submetida à tensão uniforme remota \sigma, o fator de intensidade de tensões no modo I é
K_I = F\;\sigma\;\sqrt{\pi a},
onde:
  • K_I é o fator de intensidade de tensões (unidade \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2});
  • \sigma é a tensão nominal aplicada (unidade \mathrm{MPa});
  • a é o comprimento da trinca (unidade \mathrm{m});
  • F é um fator geométrico adimensional que depende da razão a/b para trinca de borda em placa finita.
Explicando F: para trinca de borda em placa de largura finita b várias correlações polinomiais são usadas. Uma forma prática (muito usada em livros) é
F(\rho)=1{,}12-0{,}231\,\rho+10{,}55\,\rho^2-21{,}72\,\rho^3+30{,}39\,\rho^4,
onde \rho=\dfrac{a}{b}. Vou usar essa expressão e os valores do enunciado.
Calcular \rho (peguei a e b do enunciado):
\rho=\frac{a}{b}=\frac{18\\ \mathrm{mm}}{80\\ \mathrm{mm}}=0{,}225.
Agora calcular cada termo para F:
\rho^2=(0{,}225)^2=0{,}050625,
\rho^3=(0{,}225)^3=0{,}011390625,
\rho^4=(0{,}225)^4=0{,}0025628906.
Substituindo na expressão de F:
\begin{aligned} F &=1{,}12-0{,}231\cdot 0{,}225+10{,}55\cdot 0{,}050625\\\ &\quad -21{,}72\cdot 0{,}011390625+30{,}39\cdot 0{,}0025628906. \end{aligned}
Agora avalio numericamente termo a termo:
-0{,}231\cdot 0{,}225=-0{,}051975,
10{,}55\cdot 0{,}050625\approx 0{,}53409375,
-21{,}72\cdot 0{,}011390625\approx -0{,}24740625,
30{,}39\cdot 0{,}0025628906\approx 0{,}0778857.
Somando:
F\approx 1{,}12-0{,}051975+0{,}53409375-0{,}24740625+0{,}0778857\approx 1{,}433.
Portanto F\approx 1{,}433 (adimensional).

Passo 3

Condição de segurança para fratura frágil:
  • O fator de segurança pedido n significa que se exige
\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{IC}}}{K_I}\ge n.
Ou equivalentemente, no limite admissível usamos
K_I=\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{IC}}}{n}.
Vou calcular o valor admissível de K_I (peguei \mathrm{K}_{\mathrm{IC}} e n do enunciado):
K_{I,\mathrm{adm}}=\frac{110\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2}}{2{,}5}=44\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2}.

Passo 4

Resolver para a tensão nominal \sigma:
  • Da fórmula \,K_I=F\,\sigma\,\sqrt{\pi a}\, isolamos \sigma:
\sigma=\frac{K_I}{F\sqrt{\pi a}}.
Converter a de milímetros para metros (sempre trabalhar nas mesmas unidades para K_I):
a=18\\ \mathrm{mm}=0{,}018\\ \mathrm{m}.
Calcular \sqrt{\pi a}:
\pi a=\pi\cdot 0{,}018\approx 0{,}0565487,
\sqrt{\pi a}\approx 0{,}23783\\ \mathrm{m}^{1/2}.
Então o denominador F\sqrt{\pi a} é
F\sqrt{\pi a}\approx 1{,}433\times 0{,}23783\approx 0{,}3406.
Agora \sigma:
\sigma=\frac{44\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2}}{0{,}3406}\approx 129{,}2\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: para que o fator de segurança contra fratura seja n=2{,}5, a tensão média na seção não deve exceder aproximadamente \sigma\approx 129{,}2\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Calcular a força permitida P:
  • A tensão média é \sigma=\dfrac{P}{b\,t}. Então
P=\sigma\,b\,t.
Converter b e t para metros (peguei os valores do enunciado):
b=80\\ \mathrm{mm}=0{,}08\\ \mathrm{m},\qquad t=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
Área da seção A=b\,t=0{,}08\times 0{,}01=0{,}0008\\ \mathrm{m}^2.
Portanto
P=\sigma\,A\approx 129{,}2\\ \mathrm{MPa}\times 0{,}0008\\ \mathrm{m}^2.
Lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=10^6\\ \mathrm{N/m}^2, temos
P\approx 129{,}2\times 10^6\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\times 0{,}0008\\ \mathrm{m}^2 \approx 103\,360\\ \mathrm{N}\approx 103{,}4\\ \mathrm{kN}.
Portanto a força permitida (para fratura com n=2{,}5) é P\approx 1,03\times 10^5\\ \mathrm{N} (ou 103{,}4\\ \mathrm{kN}).

Passo 6

Fator de segurança para escoamento (ignorando a trinca), usando a tensão real gerada por P do item (a):
  • Tensão aplicada \sigma_{\mathrm{aplic}}=\dfrac{P}{b\,t} já calculada: \sigma_{\mathrm{aplic}}\approx 129{,}2\\ \mathrm{MPa}.
  • Fator de segurança para escoamento é
n_{\mathrm{escoamento}}=\frac{\mathrm{S}_{\mathrm{y}}}{\sigma_{\mathrm{aplic}}}.
Substituindo:
n_{\mathrm{escoamento}}=\frac{1000\\ \mathrm{MPa}}{129{,}2\\ \mathrm{MPa}}\approx 7{,}74.
Explicando: isto significa que, com a força P limitada pelo critério de fratura, a placa está bem longe de escoar elasticamente — o escoamento não é o modo de falha crítico aqui.

Passo 7

Comparação e conclusão sobre qual fator domina:
  • Temos dois fatores de segurança:
    • para fratura frágil: n_{\mathrm{fratura}}=2{,}5 (imposto pelo enunciado e pelo cálculo de projeto),
    • para escoamento: n_{\mathrm{escoamento}}\approx 7{,}74.
  • O fator dominante é o menor (o mais crítico): n_{\mathrm{dominante}}=2{,}5, ou seja, a fratura frágil governa o dimensionamento da placa.
Força permitida é aquela que atende o critério de fratura com n=2{,}5; com essa força a placa tem margem grande contra escoamento.

Resposta

(a) P\approx 1,03\times 10^{5}\\ \mathrm{N}\\ (103{,}4\\ \mathrm{kN})
(b) n_{\mathrm{escoamento}}\approx 7{,}74
(c) Fator de segurança dominante: n_{\mathrm{dominante}}=2{,}5 (fratura frágil).

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