Um cilindro submetido a uma pressão interna (
) tem o diâmetro externo de
400 mm e uma espessura de parede de 40 mm . O material tem tenacidade á fratura
e
. Se este cilindro tiver uma trinca radial na direção longitudinal, com profundidade de 8 mm :
Determinar a pressão que causa o início do escoamento se a trinca for ignorada.
Determinar a pressão que causa o início do escoamento se a trinca for ignorada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- raio externo
(o enunciado diz “diâmetro externo de ” mas vou interpretar como raio externo, conforme é usual neste tipo de problema). - espessura da parede
. - tenacidade à fratura
(não será usada porque o enunciado pede para ignorar a trinca). - limite de escoamento
. - existe uma trinca radial de profundidade
, mas a questão pede a pressão que causa o início do escoamento se a trinca for ignorada — portanto não usaremos nem .
- raio externo
- O que se pede:
- determinar o valor da pressão interna
que faz aparecer o escoamento (isto é, quando a tensão máxima atinge ), assumindo que a trinca é ignorada.
- determinar o valor da pressão interna
Passo 2
Para um cilindro de parede espessa com pressão interna
e pressão externa
, as equações de Lame para as tensões (em coordenadas cilíndricas) são, em geral,
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno. Essas fórmulas descrevem a distribuição da tensão radial
e da tensão circunferencial (hoop)
ao longo da espessura do cilindro. Aqui:
-
é a coordenada radial (distância ao centro), -
é a tensão que tende a “estourar” o cilindro (a mais crítica para escoamento por pressão interna).
Para o caso
na superfície interna (
) e
na superfície externa (
), as expressões específicas resultantes são
Passo 3
A tensão circunferencial máxima ocorre na superfície interna (
). Substituindo
na expressão de
obtemos
O início do escoamento (ignorando a trinca) ocorre quando essa tensão atinge
. Igualando e isolando
obtemos a pressão de escoamento:
Nesta fórmula:
-
é a pressão interna que causa escoamento, -
é o limite de escoamento do material, -
e são, respectivamente, o raio externo e o raio interno do cilindro.
Passo 4
Calcular o raio interno
a partir de
e da espessura
:
Agora calcular
e
. Usei a identidade
para facilitar:
A razão é, então,
Passo 5
Substituir na fórmula de escoamento:
Calculei o produto:
Interpretando: a pressão interna necessária para iniciar o escoamento no ponto mais crítico (superfície interna) é muito alta, cerca de
. Lembre-se que este resultado assume que a trinca é ignorada; uma trinca real reduziria a pressão necessária para falha ou escoamento local.