Um cilindro submetido a uma pressão interna ( p_{i} ) tem o diâmetro externo de r_{0}= 400 mm e uma espessura de parede de 40 mm . O material tem tenacidade á fratura \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=100 \mathrm{MPa}(\mathrm{m})^{1 / 2} e \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=1600 \mathrm{MPa}. Se este cilindro tiver uma trinca radial na direção longitudinal, com profundidade de 8 mm :
Determinar a pressão que causa o início do escoamento se a trinca for ignorada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • raio externo r_{o}=400\\ \text{mm} (o enunciado diz “diâmetro externo de r_0” mas vou interpretar como raio externo, conforme é usual neste tipo de problema).
    • espessura da parede t=40\\ \text{mm}.
    • tenacidade à fratura \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=100\\ \text{MPa}\,\text{m}^{1/2} (não será usada porque o enunciado pede para ignorar a trinca).
    • limite de escoamento \mathrm{S}_{y}=1600\\ \text{MPa}.
    • existe uma trinca radial de profundidade a=8\\ \text{mm}, mas a questão pede a pressão que causa o início do escoamento se a trinca for ignorada — portanto não usaremos a nem \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}.
  • O que se pede:
    • determinar o valor da pressão interna p_{i} que faz aparecer o escoamento (isto é, quando a tensão máxima atinge \mathrm{S}_{y}), assumindo que a trinca é ignorada.

Passo 2

Para um cilindro de parede espessa com pressão interna p_{i} e pressão externa p_{o}=0, as equações de Lame para as tensões (em coordenadas cilíndricas) são, em geral,
\sigma_{r}(r)=A-\frac{B}{r^{2}},\qquad \sigma_{\theta}(r)=A+\frac{B}{r^{2}},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno. Essas fórmulas descrevem a distribuição da tensão radial \sigma_{r} e da tensão circunferencial (hoop) \sigma_{\theta} ao longo da espessura do cilindro. Aqui:
  • r é a coordenada radial (distância ao centro),
  • \sigma_{\theta} é a tensão que tende a “estourar” o cilindro (a mais crítica para escoamento por pressão interna).
Para o caso p_{i} na superfície interna ( r=r_{i}) e p_{o}=0 na superfície externa ( r=r_{o}), as expressões específicas resultantes são
\sigma_{r}(r)=\frac{p_{i}r_{i}^{2}}{r_{o}^{2}-r_{i}^{2}}\Big(1-\frac{r_{o}^{2}}{r^{2}}\Big), \qquad \sigma_{\theta}(r)=\frac{p_{i}r_{i}^{2}}{r_{o}^{2}-r_{i}^{2}}\Big(1+\frac{r_{o}^{2}}{r^{2}}\Big).

Passo 3

A tensão circunferencial máxima ocorre na superfície interna ( r=r_{i}). Substituindo r=r_{i} na expressão de \sigma_{\theta} obtemos
\sigma_{\theta}(r_{i})=\frac{p_{i}r_{i}^{2}}{r_{o}^{2}-r_{i}^{2}}\Big(1+\frac{r_{o}^{2}}{r_{i}^{2}}\Big) =\;p_{i}\,\frac{r_{i}^{2}+r_{o}^{2}}{r_{o}^{2}-r_{i}^{2}}.
O início do escoamento (ignorando a trinca) ocorre quando essa tensão atinge \mathrm{S}_{y}. Igualando e isolando p_{i} obtemos a pressão de escoamento:
p_{i,\mathrm{y}}=\mathrm{S}_{y}\,\frac{r_{o}^{2}-r_{i}^{2}}{r_{o}^{2}+r_{i}^{2}}.
Nesta fórmula:
  • p_{i,\mathrm{y}} é a pressão interna que causa escoamento,
  • \mathrm{S}_{y} é o limite de escoamento do material,
  • r_{o} e r_{i} são, respectivamente, o raio externo e o raio interno do cilindro.

Passo 4

Calcular o raio interno r_{i} a partir de r_{o} e da espessura t:
r_{i}=r_{o}-t=\;400\\ \text{mm}-40\\ \text{mm}=\;360\\ \text{mm}.
Agora calcular r_{o}^{2}-r_{i}^{2} e r_{o}^{2}+r_{i}^{2}. Usei a identidade r_{o}^{2}-r_{i}^{2}=(r_{o}-r_{i})(r_{o}+r_{i}) para facilitar:
r_{o}^{2}-r_{i}^{2}=(400-360)(400+360)=40\times760=30400\\ \text{mm}^{2}.
r_{o}^{2}+r_{i}^{2}=400^{2}+360^{2}=160000+129600=289600\\ \text{mm}^{2}.
A razão é, então,
\frac{r_{o}^{2}-r_{i}^{2}}{r_{o}^{2}+r_{i}^{2}}=\frac{30400}{289600}=\frac{19}{181}\approx0{,}104973.

Passo 5

Substituir na fórmula de escoamento:
p_{i,\mathrm{y}}=\mathrm{S}_{y}\,\frac{r_{o}^{2}-r_{i}^{2}}{r_{o}^{2}+r_{i}^{2}} =1600\\ \text{MPa}\times\frac{19}{181}.
Calculei o produto:
p_{i,\mathrm{y}}\approx1600\times0{,}104973\\ \text{MPa}\approx167{,}96\\ \text{MPa}.
Interpretando: a pressão interna necessária para iniciar o escoamento no ponto mais crítico (superfície interna) é muito alta, cerca de 168\\ \text{MPa}. Lembre-se que este resultado assume que a trinca é ignorada; uma trinca real reduziria a pressão necessária para falha ou escoamento local.

Resposta

p_{i,\mathrm{y}}\approx167{,}96\\ \text{MPa}

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