Uma placa com 240 mm de largura, 480 mm de comprimento e 10 mm de espessura é tracionada na direção do comprimento. Esta placa tem uma trinca central de comprimento 2 \mathrm{a}=10 \mathrm{~mm}. O material é aço com \mathrm{K}_{\mathrm{Ic}}=80 \mathrm{MPa}(\mathrm{m})^{1 / 2} e \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=1000 \mathrm{MPa}. Determine a carga máxima que pode ser aplicada antes que a placa:
a) escoe;
b) apresente um aumento incontrolável da trinca.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei estes números do enunciado).
  • Dimensões da placa:
    • largura W=240\\ \mathrm{mm},
    • comprimento L=480\\ \mathrm{mm} (direção da tração),
    • espessura t=10\\ \mathrm{mm}.
  • Trinca central de comprimento 2a=10\\ \mathrm{mm}, portanto a=5\\ \mathrm{mm}.
  • Propriedades do material:
    • tenacidade à fratura \mathrm{K}_{\mathrm{Ic}}=80\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2},
    • limite de escoamento \mathrm{S}_y=1000\\ \mathrm{MPa}.
  • O que se pede:
    (a) a carga máxima que pode ser aplicada antes da placa escoar;
    (b) a carga máxima que pode ser aplicada antes de ocorrer um aumento incontrolável da trinca (instabilidade/fratura elástica).

Passo 2

Entendimento físico e fórmula para escoamento (parte (a)).
  • Quando uma barra/placa é tracionada, a tensão média normal na seção transversal é \sigma=\dfrac{P}{A}, onde P é a força axial aplicada e A é a área da seção transversal perpendicular à tração.
  • A área da seção transversal aqui é a largura vezes a espessura: A = W\cdot t.Substituindo os valores (uso unidades mm para manter consistência com MPa = \mathrm{N/mm}^2): A = 240\\ \mathrm{mm}\times 10\\ \mathrm{mm}=2400\\ \mathrm{mm}^2.
  • A placa começa a escoar quando a tensão média atinge \mathrm{S}_y. Portanto a carga de escoamento P_{\text{y}} é P_{\text{y}}=\mathrm{S}_y\;A.Vou calcular isso passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Cálculo numérico do limite de escoamento P_{\text{y}}.
  • Substituindo \mathrm{S}_y=1000\\ \mathrm{MPa} (lembre: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2) e A=2400\\ \mathrm{mm}^2: P_{\text{y}} = 1000\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 2400\\ \mathrm{mm}^2 = 2{,}40\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
  • Em unidades mais usuais: P_{\text{y}}=2{,}40\times10^{6}\\ \mathrm{N}=2400\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Introdução ao critério de fratura elástica linear (parte (b)) — ensejando ensino didático.
  • Na mecânica da fratura linear elástica (LEFM), a abertura e o crescimento incontrolável de uma trinca em modo I ocorre quando o fator de intensidade de tensão K_I alcança a tenacidade \mathrm{K}_{\mathrm{Ic}}: K_I = \mathrm{K}_{\mathrm{Ic}}.
  • Para uma trinca central através da espessura em uma placa plana tracionada, o K_I é dado por K_I = \sigma \sqrt{\pi a}\;Y\!,onde:
    • \sigma é a tensão nominal aplicada (média) na placa,
    • a é o semi‑comprimento da trinca (metade de 2a),
    • Y é um fator adimensional que corrige o efeito de largura finita da placa (depende de a/W).
  • Explicando cada termo de forma simples:
    • \sqrt{\pi a} traduz o fato de que a singularidade elástica na ponta da trinca escala com \sqrt{a};
    • Y corrige a fórmula do corpo infinito para o caso real de largura finita; se a trinca for pequena em relação à largura, Y\approx1.
  • Para uma trinca central em uma placa de largura W sob tração uniforme, uma fórmula prática usada é Y=\left[\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi a}{W}\right)\right]^{1/2}.(Esta é uma correção padrão; para a/W pequeno ela é muito próxima de 1.)
  • Para encontrar a carga que provoca fratura, primeiro determinamos a tensão crítica \sigma_c a partir de \sigma_c = \frac{\mathrm{K}_{\mathrm{Ic}}}{\sqrt{\pi a}\;Y},e então a carga crítica é P_\mathrm{f}=\sigma_c\,A. Vou calcular Y, \sigma_c e P_\mathrm{f} numericamente no próximo passo.

Passo 5

Cálculo do fator de correção Y.
  • Primeiro calcule a/W: \frac{a}{W}=\frac{5\\ \mathrm{mm}}{240\\ \mathrm{mm}}=0{,}0208333\ldots
  • Agora calcule \dfrac{\pi a}{W}: \frac{\pi a}{W}=\pi\times0{,}0208333\ldots \approx 0{,}0654499\\ \text{(rad)}.
  • Calcule \operatorname{sec}(\pi a/W)=1/\cos(\pi a/W). Como \pi a/W é pequeno: \cos(0{,}0654499)\approx 0{,}997856\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi a}{W}\right)\approx 1{,}002147.
  • Portanto Y=\left[1{,}002147\right]^{1/2}\approx 1{,}001073.
  • Comentário: Y difere de 1 apenas em 0,1%, então a placa está muito próxima do caso de placa “infinita” para essa trinca pequena.

Passo 6

Cálculo da tensão crítica \sigma_c para instabilidade da trinca.
  • Converter a para metros na fórmula com \mathrm{K}_{\mathrm{Ic}} (unidade \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2}): a=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \sqrt{\pi a}: \sqrt{\pi a}=\sqrt{\pi\times 0{,}005}\approx 0{,}125331\\ \mathrm{m}^{1/2}.
  • Agora a tensão crítica é \sigma_c=\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{Ic}}}{\sqrt{\pi a}\;Y} =\frac{80\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{m}^{1/2}}{0{,}125331\\ \mathrm{m}^{1/2}\times 1{,}001073}.Calculando: \sigma_c \approx \frac{80}{0{,}125467}\\ \mathrm{MPa}\approx 637{,}9\\ \mathrm{MPa}.(Aqui mantive unidades MPa = N/mm^2 compatíveis com o uso de A em mm^2.)

Passo 7

Cálculo da carga crítica P_{\mathrm{f}} que provoca fratura instável.
  • Usando A=2400\\ \mathrm{mm}^2 e \sigma_c\approx 637{,}9\\ \mathrm{MPa}: P_{\mathrm{f}}=\sigma_c\,A \approx 637{,}9\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 2400\\ \mathrm{mm}^2 \approx 1{,}53\times10^{6}\\ \mathrm{N}.Em kN: P_{\mathrm{f}}\approx 1530\\ \mathrm{kN}\\ (\text{aprox. }1{,}53\times10^{6}\\ \mathrm{N}).

Passo 8

Comparação e conclusão prática (vamo animar: boa notícia — já tá quase lá).
  • Encontramos:
    • carga de escoamento P_{\text{y}}=2{,}40\times10^{6}\\ \mathrm{N} (2400 kN);
    • carga de fratura por instabilidade da trinca P_{\mathrm{f}}\approx 1{,}53\times10^{6}\\ \mathrm{N} (1530 kN).
  • Como P_{\mathrm{f}}<P_{\text{y}}, a trinca vai provocar fratura instável antes que a placa alcance o limite de escoamento macroscópico. Ou seja: a placa quebra por fratura antes de escoar.

Resposta

(a) 2,40\times10^{6}\\ \mathrm{N}
(b) 1,53\times10^{6}\\ \mathrm{N}

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