Uma placa com 240 mm de largura, 480 mm de comprimento e 10 mm de espessura é tracionada na direção do comprimento. Esta placa tem uma trinca central de comprimento
. O material é aço com
e
. Determine a carga máxima que pode ser aplicada antes que a placa:
a) escoe;
b) apresente um aumento incontrolável da trinca.
a) escoe;
b) apresente um aumento incontrolável da trinca.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei estes números do enunciado).
- Dimensões da placa:
- largura
, - comprimento
(direção da tração), - espessura
.
- largura
- Trinca central de comprimento
, portanto . - Propriedades do material:
- tenacidade à fratura
, - limite de escoamento
.
- tenacidade à fratura
- O que se pede:
(a) a carga máxima que pode ser aplicada antes da placa escoar;
(b) a carga máxima que pode ser aplicada antes de ocorrer um aumento incontrolável da trinca (instabilidade/fratura elástica).
Passo 2
Entendimento físico e fórmula para escoamento (parte (a)).
- Quando uma barra/placa é tracionada, a tensão média normal na seção transversal é
, onde é a força axial aplicada e é a área da seção transversal perpendicular à tração. - A área da seção transversal aqui é a largura vezes a espessura:
Substituindo os valores (uso unidades mm para manter consistência com MPa ): - A placa começa a escoar quando a tensão média atinge
. Portanto a carga de escoamento é Vou calcular isso passo a passo no próximo passo.
Passo 3
Cálculo numérico do limite de escoamento
.
- Substituindo
(lembre: ) e : - Em unidades mais usuais:
Passo 4
Introdução ao critério de fratura elástica linear (parte (b)) — ensejando ensino didático.
- Na mecânica da fratura linear elástica (LEFM), a abertura e o crescimento incontrolável de uma trinca em modo I ocorre quando o fator de intensidade de tensão
alcança a tenacidade : - Para uma trinca central através da espessura em uma placa plana tracionada, o
é dado por onde: -
é a tensão nominal aplicada (média) na placa, -
é o semi‑comprimento da trinca (metade de ), -
é um fator adimensional que corrige o efeito de largura finita da placa (depende de ).
-
- Explicando cada termo de forma simples:
-
traduz o fato de que a singularidade elástica na ponta da trinca escala com ; -
corrige a fórmula do corpo infinito para o caso real de largura finita; se a trinca for pequena em relação à largura, .
-
- Para uma trinca central em uma placa de largura
sob tração uniforme, uma fórmula prática usada é (Esta é uma correção padrão; para pequeno ela é muito próxima de 1.) - Para encontrar a carga que provoca fratura, primeiro determinamos a tensão crítica
a partir de e então a carga crítica é . Vou calcular , e numericamente no próximo passo.
Passo 5
Cálculo do fator de correção
.
- Primeiro calcule
: - Agora calcule
: - Calcule
. Como é pequeno: - Portanto
- Comentário:
difere de 1 apenas em 0,1%, então a placa está muito próxima do caso de placa “infinita” para essa trinca pequena.
Passo 6
Cálculo da tensão crítica
para instabilidade da trinca.
- Converter
para metros na fórmula com (unidade ): - Calcular
: - Agora a tensão crítica é
Calculando: (Aqui mantive unidades MPa = N/mm^2 compatíveis com o uso de em mm^2.)
Passo 7
Cálculo da carga crítica
que provoca fratura instável.
- Usando
e : Em kN:
Passo 8
Comparação e conclusão prática (vamo animar: boa notícia — já tá quase lá).
- Encontramos:
- carga de escoamento
(2400 kN); - carga de fratura por instabilidade da trinca
(1530 kN).
- carga de escoamento
- Como
, a trinca vai provocar fratura instável antes que a placa alcance o limite de escoamento macroscópico. Ou seja: a placa quebra por fratura antes de escoar.
Resposta
(a)
(b)
(b)