Questão 4.6 Para um sistema com coordenadas generalizadas q_{1}, q_{2} e uma Hamiltoniana:
H^{\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)}=\frac{p_{2}}{2 m_{1}}+\frac{2}{2 m_{2}}+V\left(q_{1}, q_{2}\right)
onde m_{1} e m_{2} são as massas e V\left(q_{1}, q_{2}\right) é o potencial, encontre as equações de Hamilton.

Passo 1

O enunciado nos dá a Hamiltoniana e pede para encontrar as equações de Hamilton.
Informações fornecidas:
  • As coordenadas generalizadas são (q_{1},q_{2}) e os momentos conjugados são (p_{1},p_{2}).
  • A Hamiltoniana é
H^{\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)}=\frac{p_{2}}{2 m_{1}}+\frac{2}{2 m_{2}}+V\left(q_{1}, q_{2}\right).
  • As constantes m_{1} e m_{2} são massas e V\left(q_{1},q_{2}\right) é o potencial.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar as equações de Hamilton para esse sistema — isto é, expressar \dot q_{i} e \dot p_{i} em termos de derivadas de H.

Passo 2

Lembra do que são as equações de Hamilton e o que cada símbolo significa.
Regra (equações de Hamilton) — para cada índice i:
\dot q_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},\qquad \dot p_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}.
Explicando com calma:
  • \dot q_{i} é a derivada temporal de \,q_{i} (velocidade generalizada).
  • \dot p_{i} é a derivada temporal do momento conjugado p_{i}.
  • \partial H/\partial p_{i} é a derivada parcial de H mantendo todas as outras variáveis fixas; semelhante para \partial H/\partial q_{i}.
    Estas fórmulas são padrão em Hamiltoniana clássica e são as que vamos aplicar diretamente ao H dado.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias de H. Vamos olhar termo a termo.
A Hamiltoniana é
H=\frac{p_{2}}{2 m_{1}}+\frac{2}{2 m_{2}}+V(q_{1},q_{2}).
Observe que:
  • O primeiro termo depende de p_{2} (linearmente) e não depende de p_{1}.
  • O segundo termo \dfrac{2}{2 m_{2}} é uma constante numérica (não depende de q_i nem de p_i).
  • O potencial V depende apenas de q_{1},q_{2} (não depende de p_{1},p_{2}).
Agora as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a p_{1}:
\frac{\partial H}{\partial p_{1}}=0,
pois H não contém p_{1}.
  • Derivada parcial em relação a p_{2}:
\frac{\partial H}{\partial p_{2}}=\frac{1}{2 m_{1}},
pois \dfrac{d}{dp_{2}}\!\left(\dfrac{p_{2}}{2m_{1}}\right)=\dfrac{1}{2m_{1}} e os outros termos não dependem de p_{2}.
  • Derivadas parciais em relação às coordenadas:
\frac{\partial H}{\partial q_{1}}=\frac{\partial V}{\partial q_{1}},\qquad \frac{\partial H}{\partial q_{2}}=\frac{\partial V}{\partial q_{2}}.
A constante \dfrac{2}{2m_{2}} some nas derivadas porque é independente de q_i e p_i.

Passo 4

Aplicar as equações de Hamilton usando as derivadas encontradas.
Para i=1:
\dot q_{1}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}=0,
\dot p_{1}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{1}}.
Para i=2:
\dot q_{2}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}=\frac{1}{2 m_{1}},
\dot p_{2}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{2}}.
Interpretação rápida e intuitiva:
  • \dot q_{1}=0 significa que \,q_{1} é constante no tempo (não evolui), dado este H.
  • \dot q_{2}=\dfrac{1}{2m_{1}} é uma velocidade constante (independe de p_{2} aqui porque H depende de p_{2} linearmente).
  • As equações para \dot p_{i} mostram que os momentos mudam de acordo com as forças generalizadas derivadas do potencial V, com o sinal negativo padrão (força = -gradiente do potencial).

Passo 5

Exemplos e contraste para fixar a intuição (para a prova):
Exemplo padrão lembrado frequentemente: se
H=\frac{p^{2}}{2m}+V(q),
então
\dot q=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m},\qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{dV}{dq},
ou seja, \dot q dá a relação entre momento e velocidade usual p= m\dot q. No nosso problema, a dependência de H em p_{i} é diferente (ausência de p_{1}, dependência linear em p_{2}), daí as formas específicas \dot q_{1}=0 e \dot q_{2}=1/(2m_{1}).
Dica para prova: sempre identifique quais termos de H dependem de p_{i} para obter \dot q_{i}, e quais dependem de q_{i} para obter \dot p_{i}. Se um momento não aparece em H, a equação para \dot q correspondente será zero; se uma coordenada não aparece em H, o momento conjugado é conservado.

Resposta

\dot q_{1}=0
\dot q_{2}=\dfrac{1}{2 m_{1}}
\dot p_{1}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_{1}}
\dot p_{2}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_{2}}

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