Questão 4.6 Para um sistema com coordenadas generalizadas
e uma Hamiltoniana:
onde
e
são as massas e
é o potencial, encontre as equações de Hamilton.
Passo 1
O enunciado nos dá a Hamiltoniana e pede para encontrar as equações de Hamilton.
Informações fornecidas:
- As coordenadas generalizadas são
e os momentos conjugados são . - A Hamiltoniana é
- As constantes
e são massas e é o potencial.
O que o enunciado pede:
- Encontrar as equações de Hamilton para esse sistema — isto é, expressar
e em termos de derivadas de .
Passo 2
Lembra do que são as equações de Hamilton e o que cada símbolo significa.
Regra (equações de Hamilton) — para cada índice
:
Explicando com calma:
-
é a derivada temporal de (velocidade generalizada). -
é a derivada temporal do momento conjugado . -
é a derivada parcial de mantendo todas as outras variáveis fixas; semelhante para .
Estas fórmulas são padrão em Hamiltoniana clássica e são as que vamos aplicar diretamente aodado.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias de
. Vamos olhar termo a termo.
A Hamiltoniana é
Observe que:
- O primeiro termo depende de
(linearmente) e não depende de . - O segundo termo
é uma constante numérica (não depende de nem de ). - O potencial
depende apenas de (não depende de ).
Agora as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
pois
não contém
.
- Derivada parcial em relação a
:
pois
e os outros termos não dependem de
.
- Derivadas parciais em relação às coordenadas:
A constante
some nas derivadas porque é independente de
e
.
Passo 4
Aplicar as equações de Hamilton usando as derivadas encontradas.
Para
:
Para
:
Interpretação rápida e intuitiva:
-
significa que é constante no tempo (não evolui), dado este . -
é uma velocidade constante (independe de aqui porque depende de linearmente). - As equações para
mostram que os momentos mudam de acordo com as forças generalizadas derivadas do potencial , com o sinal negativo padrão (força = -gradiente do potencial).
Passo 5
Exemplos e contraste para fixar a intuição (para a prova):
Exemplo padrão lembrado frequentemente: se
então
ou seja,
dá a relação entre momento e velocidade usual
. No nosso problema, a dependência de
em
é diferente (ausência de
, dependência linear em
), daí as formas específicas
e
.
Dica para prova: sempre identifique quais termos de
dependem de
para obter
, e quais dependem de
para obter
. Se um momento não aparece em
, a equação para
correspondente será zero; se uma coordenada não aparece em
, o momento conjugado é conservado.