Cilindros de queijo provolone de 5 cm de diâmetro e 24 cm de comprimento estão sendo submetidos a salga em contato com uma salmoura a uma concentração de 100 g cdot L^-1, bem agitada. Constatou-se que após 36 horas, a concentração média de NaCl no queijo passou de 1,0 g cdot L^-1 (inicial) para 50 g cdot L^-1.
a) Qual a concentração de NaCl no eixo central do queijo neste instante?
b) Em quantas horas se encurtará o processo, caso o cilindro de queijo fosse cortado em 6 pedaços iguais?
Dado adicional: DA B=0,035 cm^2 cdot h^-1.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos cilindros de queijo provolone com diâmetro de 5 cm e comprimento de 24 cm sendo salgados em uma salmoura com concentração de NaCl de . Após 36 horas, a concentração média de NaCl no queijo aumentou de para .
Vamos precisar usar conceitos de difusão, especificamente a Lei de Fick, que descreve como as substâncias se difundem de áreas de alta concentração para áreas de baixa concentração.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar a concentração de NaCl no eixo central do queijo após 36 horas.
Primeiro, vamos considerar que o queijo é um cilindro homogêneo e que a difusão ocorre radialmente a partir da superfície para o centro. A concentração no centro ( C(0,t) = Cinicial + (Csuperfície - Cinicial) (1 - 2raizpi sumn=0^infty (-1)^nn + 0.5 e^-((n + 0.5)^2 pi^2 D t) / R^2) ) pode ser encontrada usando a solução da equação de difusão para um cilindro.
A solução para a concentração no centro de um cilindro é dada por:
C(0,t) = Cinicial + (Csuperfície - Cinicial) (1 - 2pi arctan(ttau)) í
Onde:
  • é a concentração inicial de NaCl no queijo.
  • í é a concentração de NaCl na salmoura.
  • é o coeficiente de difusão.
  • é o tempo.
  • é o raio do cilindro.
Para simplificar, podemos usar a aproximação para uma estimativa rápida:
í
Onde é uma constante de tempo que depende de e .

Passo 3

Vamos agora calcular os valores:
  • Diâmetro do queijo = 5 cm, então o raio tau = R^2D = (2,5)^20,035 = 6,250,035 approx 178,57 , horas .
  • Tempo C(0,36) = 1,0 + (100 - 1,0) (1 - 2pi arctan(36178,57)) .
  • Coeficiente de difusão arctan(36178,57) approx arctan(0,201) approx 0,199 , radianos .
  • C(0,36) = 1,0 + 99 (1 - 2pi times 0,199) approx 1,0 + 99 (1 - 0,127) approx 1,0 + 99 times 0,873 approx 1,0 + 86,427 = 87,427 , g cdot L^-1 .
  • í.
Primeiro, calculamos a constante de tempo :
Agora, substituímos na expressão simplificada:
Calculando :
Então:

Passo 4

Parte b) Queremos saber em quanto tempo o processo será encurtado se o cilindro de queijo for cortado em 6 pedaços iguais.
Quando cortamos o cilindro em pedaços menores, o raio de cada pedaço também diminui. Se o volume é dividido por 6, o raio R' = Rraiz[3]6 approx 2,51,817 approx 1,376 , cm de cada pedaço será reduzido proporcionalmente:
tau' = (1,376)^20,035 approx 1,8940,035 approx 54,11 , horas
A constante de tempo t' = 0,303 times 36 approx 10,9 , horas para cada pedaço é:
Comparando com a constante de tempo original , vemos que o tempo necessário será aproximadamente vezes o tempo original.
Então, o novo tempo será:

Resposta

a) A concentração de NaCl no eixo central do queijo após 36 horas é aproximadamente .
b) O processo será encurtado para cerca de se o cilindro de queijo for cortado em 6 pedaços iguais.

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