Cilindros de queijo provolone de 5 cm de diâmetro e 24 cm de comprimento estão sendo submetidos a salga em contato com uma salmoura a uma concentração de
, bem agitada. Constatou-se que após 36 horas, a concentração média de NaCl no queijo passou de
(inicial) para
.
a) Qual a concentração de NaCl no eixo central do queijo neste instante?
b) Em quantas horas se encurtará o processo, caso o cilindro de queijo fosse cortado em 6 pedaços iguais?
Dado adicional:
.
a) Qual a concentração de NaCl no eixo central do queijo neste instante?
b) Em quantas horas se encurtará o processo, caso o cilindro de queijo fosse cortado em 6 pedaços iguais?
Dado adicional:
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos cilindros de queijo provolone com diâmetro de 5 cm e comprimento de 24 cm sendo salgados em uma salmoura com concentração de NaCl de
. Após 36 horas, a concentração média de NaCl no queijo aumentou de
para
.
Vamos precisar usar conceitos de difusão, especificamente a Lei de Fick, que descreve como as substâncias se difundem de áreas de alta concentração para áreas de baixa concentração.
Passo 2
Parte a) Queremos encontrar a concentração de NaCl no eixo central do queijo após 36 horas.
Primeiro, vamos considerar que o queijo é um cilindro homogêneo e que a difusão ocorre radialmente a partir da superfície para o centro. A concentração no centro (
) pode ser encontrada usando a solução da equação de difusão para um cilindro.
A solução para a concentração no centro de um cilindro é dada por:
Onde:
-
é a concentração inicial de NaCl no queijo. -
é a concentração de NaCl na salmoura. -
é o coeficiente de difusão. -
é o tempo. -
é o raio do cilindro.
Para simplificar, podemos usar a aproximação para uma estimativa rápida:
Onde
é uma constante de tempo que depende de
e
.
Passo 3
Vamos agora calcular os valores:
- Diâmetro do queijo = 5 cm, então o raio
. - Tempo
. - Coeficiente de difusão
. -
. -
.
Primeiro, calculamos a constante de tempo
:
Agora, substituímos na expressão simplificada:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Parte b) Queremos saber em quanto tempo o processo será encurtado se o cilindro de queijo for cortado em 6 pedaços iguais.
Quando cortamos o cilindro em pedaços menores, o raio de cada pedaço também diminui. Se o volume é dividido por 6, o raio
de cada pedaço será reduzido proporcionalmente:
A constante de tempo
para cada pedaço é:
Comparando com a constante de tempo original
, vemos que o tempo necessário será aproximadamente
vezes o tempo original.
Então, o novo tempo
será:
Resposta
a) A concentração de NaCl no eixo central do queijo após 36 horas é aproximadamente
.
b) O processo será encurtado para cerca de
se o cilindro de queijo for cortado em 6 pedaços iguais.