Cinco ratos, em uma população estável de 500 são intencionalmente inoculados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação da epidemia, segundo a qual a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de ratos infectados pelo número de ratos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para que a metade da população contraia a doença?

Passo 1

O enunciado diz que temos I(t) ratos infectados numa população constante de N=500 ratos, e que
\frac{dI}{dt}\propto I\,(N-I).
Isto é um modelo logístico sem taxa de recuperação, logo podemos escrever
\frac{dI}{dt}=k\,I\,(500-I),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Precisamos achar o tempo t tal que I(t)=250, dado I(0)=5.

Passo 2

Vamos separar variáveis:
\frac{dI}{I\,(500-I)} = k\,dt.
Fazendo frações parciais em 1/[I(500-I)], obtemos
\frac{1}{I(500-I)} =\frac{1}{500}\Bigl(\frac1I+\frac1{500-I}\Bigr).
Então a integral fica
\int \frac{dI}{I(500-I)} =\frac{1}{500}\int\Bigl(\frac1I+\frac1{500-I}\Bigr)dI =\frac{1}{500}\ln\!\Bigl|\frac{I}{500-I}\Bigr|+C.

Passo 3

Igualando à integral de k\,dt, temos
\frac{1}{500}\ln\!\Bigl(\frac{I}{500-I}\Bigr)=k\,t+C.
No instante t=0, I(0)=5, então
\frac{1}{500}\ln\!\Bigl(\frac{5}{500-5}\Bigr) =C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{500}\ln\!\Bigl(\frac{5}{495}\Bigr).
Logo a solução implícita é
\ln\!\Bigl(\frac{I}{500-I}\Bigr) =500\,k\,t+\ln\!\Bigl(\frac{5}{495}\Bigr).

Passo 4

Para encontrar t em que I=250, note que \ln\bigl(250/(500-250)\bigr)=\ln1=0. Assim
0=500\,k\,t+\ln\!\Bigl(\frac{5}{495}\Bigr) \;\Longrightarrow\; t=-\frac{1}{500\,k}\ln\!\Bigl(\frac{5}{495}\Bigr).
Como \ln(5/495)=\ln(1/99)=-\ln99, resulta
t=\frac{\ln99}{500\,k}.

Resposta

t=\frac{\ln 99}{500\,k}.

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