Use as definições apropriadas para tentar calcular a integral de linha por dois métodos, diretamente e usando o teorema de Green.
é o limite da região englobada pelas parábolas
e
.
Descreva a dificuldade encontrada ao tentar calcular a integral por algum dos dois métodos.
Descreva a dificuldade encontrada ao tentar calcular a integral por algum dos dois métodos.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
é o contorno da região
limitada pelas parábolas
e
.
Vamos tentar dois métodos: (i) direto, parametrizando o contorno em dois trechos, e (ii) usando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre .
Vamos tentar dois métodos: (i) direto, parametrizando o contorno em dois trechos, e (ii) usando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre
Passo 2
Método direto pelo contorno
:
- Trajeto
: de a com
Substituindo em,
- Trajeto
: de a com
Então
Somando os dois trechos obtém-se quatro integrais a avaliar.
Passo 3
Dificuldade do método direto
Entre as integrais que aparecem temos
Entre as integrais que aparecem temos
e também
. Essas são integrais de Fresnel, que não admitem primitiva expressa em funções elementares. Logo o método direto leva a integrais que não podem ser fechadas em termos de funções elementares.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green:
Calculamos
logo o integrando é
. Assim
A região
em coordenadas
é
.
Portanto
Portanto