Use as definições apropriadas para tentar calcular a integral de linha por dois métodos, diretamente e usando o teorema de Green.
\int_{C}\left(y+e^{\sqrt{x}}\right) d x+\left(2 x+\cos \left(y^{2}\right)\right) d y
C é o limite da região englobada pelas parábolas y=x^{2} e x=y^{2}.
Descreva a dificuldade encontrada ao tentar calcular a integral por algum dos dois métodos.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{C}\bigl(y+e^{\sqrt{x}}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(2x+\cos(y^{2})\bigr)\,dy
onde C é o contorno da região R limitada pelas parábolas y=x^{2} e x=y^{2}.
Vamos tentar dois métodos: (i) direto, parametrizando o contorno em dois trechos, e (ii) usando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre R.

Passo 2

Método direto pelo contorno C=C_{1}\cup C_{2}:
  1. Trajeto C_{1}: de (0,0) a (1,1) com
    \;x=t,\;y=t^{2},\;dx=dt,\;dy=2t\,dt,\;t\in[0,1].
    Substituindo em P\,dx+Q\,dy,
\int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{1}\bigl(t^{2}+e^{\sqrt{t}}\bigr)\,dt +\int_{0}^{1}\bigl(2t+\cos(t^{4})\bigr)\,2t\,dt.
  1. Trajeto C_{2}: de (1,1) a (0,0) com
    \;x=u^{2},\;y=u,\;dx=2u\,du,\;dy=du,\;u\in[1,0].
    Então
\int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy =\int_{1}^{0}\bigl(u+e^{u}\bigr)2u\,du +\int_{1}^{0}\bigl(2u^{2}+\cos(u^{2})\bigr)\,du.
Somando os dois trechos obtém-se quatro integrais a avaliar.

Passo 3

Dificuldade do método direto
Entre as integrais que aparecem temos
\int_{0}^{1}2t\cos\bigl(t^{4}\bigr)\,dt \;=\; \int_{0}^{1}\cos(v^{2})\,dv \quad\bigl(v=t^{2}\bigr),
e também \int_{1}^{0}\cos(u^{2})\,du. Essas são integrais de Fresnel, que não admitem primitiva expressa em funções elementares. Logo o método direto leva a integrais que não podem ser fechadas em termos de funções elementares.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=1,
logo o integrando é 2-1=1. Assim
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}1\,dA =\text{área}(R).á
A região R em coordenadas (x,y) é \;0\le x\le 1,\;x^{2}\le y\le \sqrt{x}.
Portanto
\text{área}(R) =\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{2}{3}x^{3/2}-\tfrac{1}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3} =\tfrac{1}{3}.á

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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