Cinco resistores de 1,5 \mathrm{M} \Omega estão em paralelo. Qual o valor do sexto resistor, colocado em paralelo com os mesmos, se a resistência equivalente do conjunto é de 200 \mathrm{k} \Omega ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Temos cinco resistores idênticos, cada um de valor \,1{,}5\\ \mathrm{M}\Omega, ligados em paralelo.
  • Coloca-se um sexto resistor, de valor desconhecido \,R_6, também em paralelo com os cinco primeiros.
  • A resistência equivalente do conjunto de todos os seis resistores em paralelo é \,200\\ \mathrm{k}\Omega.
Pergunta: qual o valor de \,R_6 que faz com que a resistência equivalente do conjunto seja \,200\\ \mathrm{k}\Omega ?

Passo 2

Conceito e fórmula importante (explicação didática):
Quando resistores estão em paralelo, a corrente se divide entre os ramos e a queda de tensão em todos os resistores é a mesma. A forma prática de calcular a resistência equivalente de resistores em paralelo é somando os inversos das resistências (conductâncias) e depois invertendo a soma. A fórmula geral é
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\sum_{i}\frac{1}{R_{i}}.
Aqui:
  • \,R_{\text{eq}} é a resistência equivalente do conjunto,
  • \,R_{i} são os valores de cada resistor do conjunto,
  • \frac{1}{R_i} é a condutância do resistor i (medida de quão facilmente a corrente passa por ele).
Exemplo simples para fixar: para dois resistores em paralelo \,R_1 e \,R_2,
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2},
que pode ser reescrito como
R_{\text{eq}}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Primeiro vamos padronizar unidades (tudo em ohms) para evitar confusão:
  • \,1{,}5\\ \mathrm{M}\Omega = 1{,}5\times10^{6}\\ \Omega.
  • \,200\\ \mathrm{k}\Omega = 2{,}0\times10^{5}\\ \Omega.
A equação da condutância total para os seis resistores é
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\underbrace{\frac{1}{1{,}5\times10^{6}}+\frac{1}{1{,}5\times10^{6}}+\frac{1}{1{,}5\times10^{6}}+\frac{1}{1{,}5\times10^{6}}+\frac{1}{1{,}5\times10^{6}}}_{\text{cinco termos iguais}}+\frac{1}{R_6}.
Como são cinco termos iguais, podemos escrever os cinco como 5/(1{,}5\times10^{6}). Portanto:
\frac{1}{2{,}0\times10^{5}}=\frac{5}{1{,}5\times10^{6}}+\frac{1}{R_6}.

Passo 4

Calcule as quantidades numéricas passo a passo (sem pular etapas):
  1. Primeiro calcule \frac{1}{R_{\text{eq}}}:
\frac{1}{2{,}0\times10^{5}}= \frac{1}{2{,}0}\times10^{-5}=0{,}5\times10^{-5}=5\times10^{-6}\\ \Omega^{-1}.
  1. Agora calcule a contribuição dos cinco resistores de 1{,}5\\ \mathrm{M}\Omega:
\frac{5}{1{,}5\times10^{6}} = \frac{5}{1{,}5}\times10^{-6} = \frac{50}{15}\times10^{-6} = \frac{10}{3}\times10^{-6}\\ \Omega^{-1}.
Portanto a equação fica
5\times10^{-6} = \frac{10}{3}\times10^{-6} + \frac{1}{R_6}.

Passo 5

Isolando \frac{1}{R_6} e encontrando \,R_6 (aqui mostro todas as contas):
\frac{1}{R_6}=5\times10^{-6} - \frac{10}{3}\times10^{-6} = \left(5-\frac{10}{3}\right)\times10^{-6}=\frac{5}{3}\times10^{-6}\\ \Omega^{-1}.
Agora invertemos para obter \,R_6:
R_6=\frac{1}{\dfrac{5}{3}\times10^{-6}} = \frac{3}{5}\times10^{6}\\ \Omega.
Deixar em unidades usuais: \dfrac{3}{5}\times10^{6}\\ \Omega = 0{,}6\times10^{6}\\ \Omega = 600\times10^{3}\\ \Omega.

Resposta

\,600\\ \mathrm{k}\Omega

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