Um cinegrafista está em uma caminhonete que se move para oeste a 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} enquanto filma um guepardo que também está se movendo para oeste 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} mais rápido que a caminhonete. De repente, o guepardo para, vira e então passa a correr a 45 \mathrm{~km} / \mathrm{h} para leste, de acordo com a estimativa de um membro da equipe, agora nervoso, que está na margem da estrada, no caminho do guepardo. A mudança na velocidade do animal leva 2,0 \mathrm{~s}. Quais são a magnitude e (b) a direção da aceleração do animal em relação ao cinegrafista e (c) magnitude e (d) direção da aceleração do animal em relação ao membro da equipe nervoso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • A caminhonete (o cinegrafista) move-se para oeste com velocidade 20\\ \mathrm{km/h}.
    • O guepardo move-se inicialmente para oeste com velocidade 30\\ \mathrm{km/h} mais rápida que a caminhonete.
    • Depois o guepardo para, vira e passa a correr para leste com velocidade 45\\ \mathrm{km/h} (essa última velocidade foi estimada pelo membro na margem).
    • A mudança de velocidade (a manobra de parar, virar e acelerar para o outro sentido) leva \,2{,}0\\ \mathrm{s}.
  • O que o problema pede:
    • (a) magnitude da aceleração do animal em relação ao cinegrafista;
    • (b) direção da aceleração do animal em relação ao cinegrafista;
    • (c) magnitude da aceleração do animal em relação ao membro da equipe na margem (observador em repouso no solo);
    • (d) direção da aceleração do animal em relação a esse membro da equipe.

Passo 2

Primeiro vamos achar as velocidades inicial e final do guepardo no referencial do solo (o referencial do membro na margem), usando os dados do enunciado.
  • Velocidade da caminhonete (cinegrafista) no solo: \,v_{\text{caminhonete}} = 20\\ \mathrm{km/h} para oeste.
  • O enunciado diz que o guepardo ia 30\\ \mathrm{km/h} mais rápido para oeste do que a caminhonete, portanto a velocidade inicial do guepardo no solo é v_{i,\text{solo}} = 20 + 30 = 50\\ \mathrm{km/h}\\ \text{para oeste}.
  • A velocidade final do guepardo no solo (após virar) é v_{f,\text{solo}} = 45\\ \mathrm{km/h}\\ \text{para leste}.
  • O intervalo de tempo da mudança é \Delta t = 2{,}0\\ \mathrm{s}.
Observação útil (que vamos usar): direções opostas serão tratadas com sinais opostos. Para facilitar cálculos, escolho o sentido leste como positivo e oeste como negativo.

Passo 3

Converter velocidades em unidades do SI ( \mathrm{m/s}) e atribuir sinais conforme a convenção (leste positivo):
  • Conversão: 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade inicial no solo (oeste \Rightarrow negativa): v_{i,\text{solo}} = -50\\ \mathrm{km/h} = -\frac{50}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = -13{,}888\ldots\\ \mathrm{m/s}.Vou guardar v_{i,\text{solo}} \approx -13{,}8889\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade final no solo (leste \Rightarrow positiva): v_{f,\text{solo}} = +45\\ \mathrm{km/h} = +\frac{45}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = +12{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a variação de velocidade no referencial do solo e a aceleração média:
  • Variação de velocidade: \Delta v_{\text{solo}} = v_{f,\text{solo}} - v_{i,\text{solo}} = 12{,}5 - (-13{,}8889) = 26{,}3889\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração média: a = \frac{\Delta v_{\text{solo}}}{\Delta t} = \frac{26{,}3889}{2{,}0} = 13{,}19445\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando razoavelmente (dados com duas casas significativas em \Delta t), tomamos a \approx 13{,}2\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Agora a questão das referências: o cinegrafista está em uma caminhonete que se move com velocidade constante (referencial inercial em movimento retilíneo uniforme). Propriedade importante: entre referenciais inerciais que se movem com velocidade constante relativa um ao outro, as acelerações de uma partícula são as mesmas (transformação de Galileo). Isso significa que a aceleração medida pelo cinegrafista é numericamente igual à aceleração medida pelo observador na margem (mesmo magnitude e mesma direção).
Para verificar de modo direto (mostrando contas), podemos calcular as velocidades no referencial do cinegrafista:
  • Velocidade da caminhonete no solo: v_{\text{caminhonete}} = -20\\ \mathrm{km/h} = -5{,}5556\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade inicial do guepardo relativa ao cinegrafista: v'_{i} = v_{i,\text{solo}} - v_{\text{caminhonete}} = -13{,}8889 - (-5{,}5556) = -8{,}3333\\ \mathrm{m/s},que corresponde a -30\\ \mathrm{km/h} (ou seja, 30\\ \mathrm{km/h} para oeste relativo ao caminhão).
  • Velocidade final relativa ao cinegrafista: v'_{f} = v_{f,\text{solo}} - v_{\text{caminhonete}} = 12{,}5 - (-5{,}5556) = 18{,}0556\\ \mathrm{m/s},que corresponde a 65\\ \mathrm{km/h} para leste relativo ao caminhão.
  • Variação relativa: \Delta v' = v'_{f} - v'_{i} = 18{,}0556 - (-8{,}3333) = 26{,}3889\\ \mathrm{m/s},que é exatamente a mesma variação encontrada no solo, portanto a aceleração calculada no referencial do cinegrafista é a mesma a \approx 13{,}2\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Determinar a direção da aceleração a partir do sinal de \Delta v:
  • Como \Delta v_{\text{solo}} = +26{,}3889\\ \mathrm{m/s} (positivo segundo a convenção leste-positivo), a aceleração aponta para o leste.
  • Isso faz sentido fisicamente: o guepardo teve que reverter seu movimento de oeste para leste, então a aceleração está apontando para leste (mesma conclusão tanto no solo quanto no caminhão).

Resposta

(a) 13{,}2\\ \mathrm{m/s^2}
(b) para leste
(c) 13{,}2\\ \mathrm{m/s^2}
(d) para leste

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