Um gato anda em um carrossel girando com movimento circular uniforme. No instante \mathrm{t}_{1}=2,00 \mathrm{~s}, a velocidade do gato é \vec{v}_{1}=(3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}+(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\jmath}, medida em um sistema de coordenadas x y planar. Em \mathrm{t}_{2}=5,00 \mathrm{~s}, a velocidade do gato é \vec{v}_{1}= (-3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}+(-4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\jmath}. Quais são a aceleração média do gato durante o intervalo de tempo t_{2}-t_{1}, que é menor que um período?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (valores retirados do enunciado):
  • Em t_{1}=2,00\\ \mathrm{s} a velocidade é \vec{v}_{1}=(3,00\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}+(4,00\\ \mathrm{m/s})\hat{\jmath}.
  • Em t_{2}=5,00\\ \mathrm{s} a velocidade é \vec{v}_{2}=(-3,00\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}+(-4,00\\ \mathrm{m/s})\hat{\jmath}.
  • O intervalo de tempo é t_{2}-t_{1}, que vale 5,00-2,00\\ \mathrm{s}.
    O que se pede: calcular a aceleração média do gato no intervalo de tempo t_{2}-t_{1}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática).
A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Em forma vetorial:
\bar{\vec{a}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui:
  • \Delta \vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1} é a diferença entre as velocidades finais e iniciais (feita componente a componente).
  • \Delta t=t_{2}-t_{1} é o tempo decorrido (um número escalar).
    Unidades: velocidade em \mathrm{m/s}, tempo em \mathrm{s}, então aceleração média em \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Calcular a variação da velocidade \Delta \vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1} componente a componente.
\vec{v}_{1}=(3,00)\hat{\imath}+(4,00)\hat{\jmath},\qquad \vec{v}_{2}=(-3,00)\hat{\imath}+(-4,00)\hat{\jmath}.
Subtraindo:
\Delta \vec{v} = (-3,00-3,00)\hat{\imath}+(-4,00-4,00)\hat{\jmath}=(-6,00)\hat{\imath}+(-8,00)\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o intervalo de tempo:
\Delta t = t_{2}-t_{1}=5,00-2,00=3,00\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Dividir cada componente de \Delta \vec{v} por \Delta t para obter a aceleração média componente a componente.
\bar{\vec{a}}=\frac{(-6,00)\hat{\imath}+(-8,00)\hat{\jmath}}{3,00}.
Fazendo a divisão:
\bar{\vec{a}}=\left(-\frac{6,00}{3,00}\right)\hat{\imath}+\left(-\frac{8,00}{3,00}\right)\hat{\jmath}=(-2,00)\hat{\imath}+\left(-\tfrac{8}{3}\right)\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Em decimal aproximado:
\bar{\vec{a}} = (-2,00)\hat{\imath}+(-2,67)\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Interpretação física curta e útil para a prova (sem resolver de novo):
  • Note que \vec{v}_{2}=-\vec{v}_{1}, então \Delta \vec{v}=-2\vec{v}_{1} e, portanto, \bar{\vec{a}}=-(2/\!3)\,\vec{v}_{1}. Ou seja, a aceleração média é anti-paralela à velocidade inicial e tem módulo igual a 2/3 do módulo de \vec{v}_{1}.
  • Unidade final está em \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

\bar{\vec{a}} = (-2,00\\ \mathrm{m/s^{2}})\hat{\imath}+\left(-\dfrac{8}{3}\\ \mathrm{m/s^{2}}\right)\hat{\jmath} \approx (-2,00\\ \mathrm{m/s^{2}})\hat{\imath}+(-2,67\\ \mathrm{m/s^{2}})\hat{\jmath}

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