O atual recorde mundial de salto de motocicleta é de 77,0 \mathrm{~m}, estabelecido por Jason Renie. Suponha que ele tenha saído da rampa de decolagem a 12,0^{\circ} em relação à horizontal e que as alturas de decolagem e aterrissagem sejam as mesmas. Desprezando a resistência do ar, determine sua velocidade de decolagem.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Alcance horizontal (recorde): R = 77,0\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo de saída em relação à horizontal: \theta = 12,0^\circ.
  • As alturas de decolagem e aterrissagem são as mesmas.
  • Desprezar a resistência do ar.
    O que se pede: determinar a velocidade de decolagem v_0 (módulo da velocidade inicial) que permite alcançar R com o ângulo dado, sob as condições acima.

Passo 2

Modelagem e variáveis: vamos usar o movimento do projétil sem resistência do ar. Escolhemos e definimos:
  • Origem no ponto de decolagem.
  • Eixo x horizontal e eixo y vertical.
  • v_0: velocidade inicial (o que queremos achar).
  • \theta: ângulo inicial com a horizontal (dado).
  • g: aceleração da gravidade, tomada como g = 9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
    As componentes da velocidade inicial são:
v_{0x} = v_0 \cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta.
As equações do movimento (paramétricas) são:
x(t) = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t,
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g t^2 = v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2}g t^2.

Passo 3

Tempo de voo até retornar à mesma altura: como a altura final é a mesma da inicial, colocamos y(t)=0 para t>0:
0 = v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2}g t^2.
Fatorando t obtemos as soluções t=0 (decolagem) e
t = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}
(esse é o tempo de voo total, útil para calcular o alcance).

Passo 4

Alcance horizontal R: é o x correspondente ao tempo de voo total. Substituindo o tempo em x(t),
R = v_0\cos\theta \cdot \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, simplificamos:
R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}.
Esta é a fórmula padrão do alcance para lançamento e aterrissagem na mesma altura.

Passo 5

Isolando v_0 da fórmula do alcance:
v_0 = \sqrt{\frac{R g}{\sin(2\theta)}}.
Aqui:
  • R é o alcance (dado),
  • g é a gravidade ( 9,80\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \theta é o ângulo ( 12,0^\circ),
  • \sin(2\theta) significa o seno de 2\theta.

Passo 6

Substituição numérica e cálculo (mostrando cada conta):
Primeiro calcule 2\theta:
2\theta = 2\times 12,0^\circ = 24,0^\circ.
Calcule \sin(2\theta)=\sin(24,0^\circ). Usando calculadora:
\sin(24,0^\circ) \approx 0,40673664.
Calcule o produto R g:
R g = 77,0 \times 9,80 = 754,6\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Divida por \sin(2\theta):
\frac{R g}{\sin(2\theta)} = \frac{754,6}{0,40673664} \approx 1854,95\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Agora a raiz quadrada para obter v_0:
v_0 = \sqrt{1854,95}\approx 43,06\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos),
v_0 \approx 43,1\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_0 \approx 43,1\\ \mathrm{m/s}

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