O atual recorde mundial de salto de motocicleta é de
, estabelecido por Jason Renie. Suponha que ele tenha saído da rampa de decolagem a
em relação à horizontal e que as alturas de decolagem e aterrissagem sejam as mesmas. Desprezando a resistência do ar, determine sua velocidade de decolagem.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
- Alcance horizontal (recorde):
. - Ângulo de saída em relação à horizontal:
. - As alturas de decolagem e aterrissagem são as mesmas.
- Desprezar a resistência do ar.
O que se pede: determinar a velocidade de decolagem(módulo da velocidade inicial) que permite alcançar com o ângulo dado, sob as condições acima.
Passo 2
Modelagem e variáveis: vamos usar o movimento do projétil sem resistência do ar. Escolhemos e definimos:
- Origem no ponto de decolagem.
- Eixo
horizontal e eixo vertical. -
: velocidade inicial (o que queremos achar). -
: ângulo inicial com a horizontal (dado). -
: aceleração da gravidade, tomada como .
As componentes da velocidade inicial são:
As equações do movimento (paramétricas) são:
Passo 3
Tempo de voo até retornar à mesma altura: como a altura final é a mesma da inicial, colocamos
para
:
Fatorando
obtemos as soluções
(decolagem) e
(esse é o tempo de voo total, útil para calcular o alcance).
Passo 4
Alcance horizontal
: é o
correspondente ao tempo de voo total. Substituindo o tempo em
,
Usando a identidade trigonométrica
, simplificamos:
Esta é a fórmula padrão do alcance para lançamento e aterrissagem na mesma altura.
Passo 5
Isolando
da fórmula do alcance:
Aqui:
-
é o alcance (dado), -
é a gravidade ( ), -
é o ângulo ( ), -
significa o seno de .
Passo 6
Substituição numérica e cálculo (mostrando cada conta):
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Calcule
. Usando calculadora:
Calcule o produto
:
Divida por
:
Agora a raiz quadrada para obter
:
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos),