(Cinemática de um braço robótico) Uma engenheira mecânica está projetando um braço robótico com duas juntas. Os segmentos têm comprimento L1=2 m e L2=1.5 m. A posição da garra é descrita pelas equações:
& x=L1 cos (theta1)+L2 cos (theta1+theta2) & y=L1 sin (theta1)+L2 sin (theta1+theta2)
Com theta1=30^circ e theta2=45^circ, determine a posição final da garra.

Passo 1

O enunciado apresenta a cinemática direta de um braço robótico planar de dois elos com comprimentos L1=2,m e L2=1,5,m. A posição da garra é dada pelas fórmulas
x = L1cos(theta1) + L2cos(theta1+theta2)
y = L1sin(theta1) + L2sin(theta1+theta2)
e queremos encontrar (x,y) quando theta1=30^circ e theta2=45^circ.

Passo 2

Precisamos dos valores de cos e sin desses ângulos. Usando identidades conhecidas:
cos(30^circ)=raiz32, sin(30^circ)=12.
Para theta1+theta2=75^circ temos
cos(75^circ)=raiz6-raiz24 e sin(75^circ)=raiz6+raiz24.

Passo 3

Substituindo em x:
x = 2cdotraiz32 + 1,5cdotraiz6-raiz24 = raiz3 + 1,5(raiz6-raiz2)4 approx 1,732 + 0,388 = 2,120,m

Passo 4

Substituindo em y:
y = 2cdot12 + 1,5cdotraiz6+raiz24 = 1 + 1,5(raiz6+raiz2)4 approx 1 + 1,449 = 2,449,m

Resposta

A posição final da garra é aproximadamente
(x,y) approx (2,12,m,,2,45,m)

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