(Cinemática do MHS) Um oscilador harmônico simples descreve 120 oscilações completas num intervalo de um minuto. Qual é a frequência angular ( \omega ) e o período ( T ) desse oscilador, respectivamente?
a) 2 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} e 1,0 \mathrm{~s}
b) 4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} e 0,5 \mathrm{~s}
c) \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} e 2,0 \mathrm{~s}
d) 4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} e 2,0 \mathrm{~s}
e) 2 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} e 0,5 \mathrm{~s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de oscilações completas: N=120.
    • Intervalo de tempo para essas N oscilações: \Delta t=1\\ \text{minuto}=60\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede:
    • A frequência angular \omega (em \mathrm{rad/s}).
    • O período T (em \mathrm{s}).

Passo 2

Entender as grandezas e as fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • Frequência f: é o número de oscilações por segundo. Unidade: hertz ( \mathrm{Hz}), onde 1\\ \mathrm{Hz}=1\\ \text{oscilaçao por segundo}ç.
    • Fórmula: f=\dfrac{N}{\Delta t},onde N é o número de oscilações e \Delta t é o intervalo de tempo em segundos.
  • Período T: é o tempo que o sistema leva para fazer uma oscilação completa (tempo por oscilação). É o inverso da frequência.
    • Fórmula: T=\dfrac{1}{f}.
  • Frequência angular \omega: mede quantos radianos o oscilador “varre” por segundo. Uma oscilação completa corresponde a 2\pi radianos, por isso:
    • Fórmula: \omega = 2\pi f.
    • Interpretação intuitiva: se f=1\\ \mathrm{Hz} então \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s} porque em um segundo ocorre uma volta completa de 2\pi rad.

Passo 3

Calcular a frequência f usando os dados do enunciado.
f=\dfrac{N}{\Delta t}=\dfrac{120}{60\\ \mathrm{s}}=2\\ \mathrm{Hz}.
Explicando: 120 oscilações em 60\\ \mathrm{s} significa que, em cada segundo, há 2 oscilações.

Passo 4

Calcular o período T a partir de f.
T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{2\\ \mathrm{Hz}}=0,5\\ \mathrm{s}.
Interpretação: cada oscilação demora meio segundo.

Passo 5

Calcular a frequência angular \omega a partir de f.
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 2\\ \mathrm{rad/s}=4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser uma aproximação numérica, \omega\approx 12,566\\ \mathrm{rad/s} (mas a forma exata 4\pi\\ \mathrm{rad/s} é preferível).

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos nas contas:
  • \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • T=0,5\\ \mathrm{s}.
Agora basta comparar esses valores com as alternativas fornecidas para escolher a correta.

Resposta

\omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s},\\ T=0,5\\ \mathrm{s}
(b)

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