(a) Uma pessoa seria capaz, em princípio, de viajar da Terra até o centro da galáxia (que está a cerca de 23000 anos-luz de distância) em um tempo de vida normal? Explique por quê, levando em conta a dilatação dos tempos ou a contração das distâncias. (b) Com que velocidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a viagem em 30 anos (tempo próprio)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Responder, qualitativamente, se uma pessoa poderia, em princípio, viajar da Terra até o centro da galáxia (distância aproximada 23000 anos-luz) e completar a viagem dentro de um tempo de vida “normal”, usando os efeitos de relatividade (dilatação do tempo ou contração de distâncias). Os dados fornecidos: distância entre Terra e centro da galáxia L_0 = 23000 anos-luz (esta é a distância no referencial da Terra).
  • (b) Calcular a velocidade constante v necessária para que o tempo próprio da pessoa (tempo medido por ela) seja \tau=30 anos durante a viagem de comprimento L_0=23000 anos-luz.
Informações relevantes dadas ou implícitas que usaremos:
  • Distância no referencial da Terra: L_0=23000 anos-luz.
  • Tempo próprio desejado do viajante: \tau=30 anos.
  • Assumiremos movimento retilíneo com velocidade constante v (ignorando fases de aceleração e desaceleração).
  • Vamos usar as fórmulas da relatividade restrita: dilatação do tempo e contração de comprimentos, com c sendo a velocidade da luz. Para facilitar os cálculos numéricos usaremos unidades naturais onde c=1 ano-luz/ano (ou seja, 1 ly = distância que a luz percorre em 1 ano).

Passo 2

Apresentando as fórmulas básicas e o significado das variáveis (aquelas que usaremos):
  • Fator de Lorentz \gamma: \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \qquad\text{onde}\qquad \beta=\frac{v}{c}.
Aqui \beta é a velocidade em unidades de c, e \gamma mede quanto os tempos e comprimentos são afetados relativisticamente.
  • Dilatação do tempo (relacionamento entre tempo próprio \tau do viajante e tempo coordenado t no referencial da Terra): t=\gamma\,\tau.
Neste contexto, t é o tempo que passa na Terra durante a viagem (tempo “em repouso” relativo à distância L_0), e \tau é o tempo medido dentro da nave (tempo próprio).
  • Relação entre distância, velocidade e tempo no referencial da Terra: t=\frac{L_0}{v}=\frac{L_0}{\beta c}.
Combinando com a dilatação, o tempo próprio do viajante é \tau=\frac{t}{\gamma}=\frac{L_0}{\beta c \,\gamma}.
  • Contração de comprimentos (ponto de vista do viajante): a distância medida pela pessoa na nave é L'=\frac{L_0}{\gamma}.
No referencial da nave, a pessoa vê a galáxia “encolhida” na direção do movimento, e o tempo de viagem é L'/v, que deve ser igual ao \tau.
Eu expliquei cada variável: L_0 distância no referencial Terra, L' distância no referencial da nave, v velocidade da nave, \beta=v/c, \gamma fator de Lorentz, t tempo no referencial Terra, \tau tempo próprio do viajante.

Passo 3

Montar a equação que determina \beta (ou v) a partir da exigência \tau=30 anos.
Partindo de \tau=\dfrac{L_0}{\beta c \,\gamma}. Trabalhando em unidades c=1 (anos-luz por ano), isto fica mais simples: \tau=\frac{L_0}{\beta \gamma}.
Definindo K=\beta\gamma, reescrevemos como K=\frac{L_0}{\tau}.
Calculamos K com os números dados:
K=\frac{L_0}{\tau}=\frac{23000}{30}=766,\overline{6}\approx766{,}6667.
Agora precisamos recuperar \beta a partir de K. Note que \beta\gamma=\dfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=K. Elevando ao quadrado:
\frac{\beta^{2}}{1-\beta^{2}}=K^{2}.
Resolvendo para \beta^{2}:
\beta^{2}=\frac{K^{2}}{1+K^{2}}.
Portanto
\beta=\sqrt{\frac{K^{2}}{1+K^{2}}}=\frac{K}{\sqrt{1+K^{2}}}.

Passo 4

Fazer os cálculos numéricos explícitos (passo a passo, sem pular contas):
  • Primeiro K:
K=\frac{23000}{30}=766{,}666666\ldots
  • Calcular K^{2} e 1+K^{2}:
K^{2}\approx 587777{,}7778, \qquad 1+K^{2}\approx 587778{,}7778.
  • Calcular \beta:
\beta=\frac{K}{\sqrt{1+K^{2}}}\approx\frac{766{,}6666667}{\sqrt{587778{,}7778}}.
Para K grande, \sqrt{1+K^{2}}\approx K\left(1+\dfrac{1}{2K^{2}}\right), então numericamente obtemos
\beta\approx 0{,}99999915.
Ou seja,
v=\beta c\approx 0{,}99999915\,c.
  • Calcular \gamma (útil para interpretação):
\gamma=\sqrt{1+K^{2}}\approx\sqrt{587778{,}7778}\approx 766{,}667.
  • Verificação rápida: tempo no referencial Terra
t=\gamma\,\tau\approx 766{,}667\times 30\\ \text{anos}\approx 23000\\ \text{anos},
coerente com o fato de que no referencial da Terra a luz (ou a nave) precisa percorrer 23000 anos-luz e levaria cerca de 23000 anos coordenados.

Passo 5

Explicar a mesma solução usando o ponto de vista do viajante (contração de comprimentos) — isso ajuda a entender o porquê do número:
  • No referencial da nave, a distância até o centro da galáxia é contraída:
L'=\frac{L_0}{\gamma}.
Com \gamma\approx 766{,}667 temos
L'=\frac{23000}{766{,}667}\\ \text{anos-luz}\approx 30\\ \text{anos-luz}.
  • A velocidade da nave em unidades c=1 é \beta\approx0{,}99999915. O tempo de viagem medido pelo viajante é
\tau=\frac{L'}{\beta}\approx\frac{30}{0{,}99999915}\\ \text{anos}\approx 30\\ \text{anos},
o que confirma a consistência entre os dois pontos de vista (dilatação do tempo no referencial Terra e contração de distância no referencial da nave dão o mesmo \tau).

Passo 6

Interpretação física e comentário sobre (a) — é viável “em princípio”?
  • Em princípio (isto é, segundo as leis da relatividade restrita), sim: se uma pessoa pudesse acelerar sua nave até uma velocidade extremamente próxima da velocidade da luz e manter essa velocidade, o tempo próprio acumulado por ela ao atravessar 23000 anos-luz poderia ser reduzido a algo como algumas décadas. O mecanismo é exatamente a dilatação do tempo (no referencial da Terra a viagem dura milhares de anos, mas o relógio da pessoa corre muito mais devagar por causa de \gamma grande) ou, equivalentemente, a contração do comprimento (na nave a galáxia está muito mais próxima).
  • Contudo, na prática há enormes obstáculos: energia necessária para alcançar e manter \beta tão próximo de 1 é astronômica; é preciso lidar com acelerações e desacelerações (que aqui foram desprezadas), efeitos nocivos de radiação e impactos com partículas a energias relativísticas, e limitações tecnológicas e biológicas. Portanto “em princípio, sim”; “na prática, não (com tecnologia atual e com segurança biológica)”.

Passo 7

Resumo final numérico e interpretação curta dos resultados (cheque final do cálculo):
  • Velocidade necessária para \tau=30 anos: v\approx0{,}99999915\,c\quad(\beta\approx0{,}99999915).
  • Fator de Lorentz correspondente: \gamma\approx766{,}667.
  • Distância medida pelo viajante (contraída): L'=\dfrac{23000}{\gamma}\approx30 anos-luz, e então \tau\approx L'/v\approx30 anos, conforme exigido.

Resposta

(a) Sim — em princípio a pessoa poderia envelhecer só algumas décadas porque, para v muito próximo de c, o tempo próprio é fortemente reduzido ( \gamma grande) ou, equivalentemente, a distância é fortemente contraída no referencial da nave; na prática, contudo, obstáculos energéticos, de aceleração e de proteção tornam a viagem impraticável com a tecnologia atual.
(b) v\approx0{,}99999915\,c (ou \beta\approx0{,}99999915), correspondente a \gamma\approx766{,}667.

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