(a) Uma pessoa seria capaz, em princípio, de viajar da Terra até o centro da galáxia (que está a cerca de 23000 anos-luz de distância) em um tempo de vida normal? Explique por quê, levando em conta a dilatação dos tempos ou a contração das distâncias. (b) Com que velocidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a viagem em 30 anos (tempo próprio)?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Responder, qualitativamente, se uma pessoa poderia, em princípio, viajar da Terra até o centro da galáxia (distância aproximada
anos-luz) e completar a viagem dentro de um tempo de vida “normal”, usando os efeitos de relatividade (dilatação do tempo ou contração de distâncias). Os dados fornecidos: distância entre Terra e centro da galáxia anos-luz (esta é a distância no referencial da Terra). - (b) Calcular a velocidade constante
necessária para que o tempo próprio da pessoa (tempo medido por ela) seja anos durante a viagem de comprimento anos-luz.
Informações relevantes dadas ou implícitas que usaremos:
- Distância no referencial da Terra:
anos-luz. - Tempo próprio desejado do viajante:
anos. - Assumiremos movimento retilíneo com velocidade constante
(ignorando fases de aceleração e desaceleração). - Vamos usar as fórmulas da relatividade restrita: dilatação do tempo e contração de comprimentos, com
sendo a velocidade da luz. Para facilitar os cálculos numéricos usaremos unidades naturais onde ano-luz/ano (ou seja, ly = distância que a luz percorre em ano).
Passo 2
Apresentando as fórmulas básicas e o significado das variáveis (aquelas que usaremos):
- Fator de Lorentz
:
Aqui
é a velocidade em unidades de
, e
mede quanto os tempos e comprimentos são afetados relativisticamente.
- Dilatação do tempo (relacionamento entre tempo próprio
do viajante e tempo coordenado no referencial da Terra):
Neste contexto,
é o tempo que passa na Terra durante a viagem (tempo “em repouso” relativo à distância
), e
é o tempo medido dentro da nave (tempo próprio).
- Relação entre distância, velocidade e tempo no referencial da Terra:
Combinando com a dilatação, o tempo próprio do viajante é
- Contração de comprimentos (ponto de vista do viajante): a distância medida pela pessoa na nave é
No referencial da nave, a pessoa vê a galáxia “encolhida” na direção do movimento, e o tempo de viagem é
, que deve ser igual ao
.
Eu expliquei cada variável:
distância no referencial Terra,
distância no referencial da nave,
velocidade da nave,
,
fator de Lorentz,
tempo no referencial Terra,
tempo próprio do viajante.
Passo 3
Montar a equação que determina
(ou
) a partir da exigência
anos.
Partindo de
. Trabalhando em unidades
(anos-luz por ano), isto fica mais simples:
Definindo
, reescrevemos como
Calculamos
com os números dados:
Agora precisamos recuperar
a partir de
. Note que
. Elevando ao quadrado:
Resolvendo para
:
Portanto
Passo 4
Fazer os cálculos numéricos explícitos (passo a passo, sem pular contas):
- Primeiro
:
- Calcular
e :
- Calcular
:
Para
grande,
, então numericamente obtemos
Ou seja,
- Calcular
(útil para interpretação):
- Verificação rápida: tempo no referencial Terra
coerente com o fato de que no referencial da Terra a luz (ou a nave) precisa percorrer
anos-luz e levaria cerca de
anos coordenados.
Passo 5
Explicar a mesma solução usando o ponto de vista do viajante (contração de comprimentos) — isso ajuda a entender o porquê do número:
- No referencial da nave, a distância até o centro da galáxia é contraída:
Com
temos
- A velocidade da nave em unidades
é . O tempo de viagem medido pelo viajante é
o que confirma a consistência entre os dois pontos de vista (dilatação do tempo no referencial Terra e contração de distância no referencial da nave dão o mesmo
).
Passo 6
Interpretação física e comentário sobre (a) — é viável “em princípio”?
- Em princípio (isto é, segundo as leis da relatividade restrita), sim: se uma pessoa pudesse acelerar sua nave até uma velocidade extremamente próxima da velocidade da luz e manter essa velocidade, o tempo próprio acumulado por ela ao atravessar
anos-luz poderia ser reduzido a algo como algumas décadas. O mecanismo é exatamente a dilatação do tempo (no referencial da Terra a viagem dura milhares de anos, mas o relógio da pessoa corre muito mais devagar por causa de grande) ou, equivalentemente, a contração do comprimento (na nave a galáxia está muito mais próxima). - Contudo, na prática há enormes obstáculos: energia necessária para alcançar e manter
tão próximo de é astronômica; é preciso lidar com acelerações e desacelerações (que aqui foram desprezadas), efeitos nocivos de radiação e impactos com partículas a energias relativísticas, e limitações tecnológicas e biológicas. Portanto “em princípio, sim”; “na prática, não (com tecnologia atual e com segurança biológica)”.
Passo 7
Resumo final numérico e interpretação curta dos resultados (cheque final do cálculo):
- Velocidade necessária para
anos: - Fator de Lorentz correspondente:
. - Distância medida pelo viajante (contraída):
anos-luz, e então anos, conforme exigido.
Resposta
(a) Sim — em princípio a pessoa poderia envelhecer só algumas décadas porque, para
muito próximo de
, o tempo próprio é fortemente reduzido (
grande) ou, equivalentemente, a distância é fortemente contraída no referencial da nave; na prática, contudo, obstáculos energéticos, de aceleração e de proteção tornam a viagem impraticável com a tecnologia atual.
(b) (ou
), correspondente a
.
(b)