Cinética:
  • Determine as coordenadas cartesianas dos centros de massa de cada elo em função de ( \theta 1, \theta 2 ).
  • Derive as velocidades quadráticas ( v_{c1}^2 ) e ( v_{c2}^2 ).
  • Escreva a energia cinética total ( \mathrm{T}=\mathrm{T} _1+\mathrm{T} _2 ), incluindo termos de translação e rotação.
  1. Potencial:
  • Escreva a energia potencial gravitacional ( U ) do sistema.
  1. Lagrangeana:
  • Construa ( \mathrm{L}=\mathrm{T}-\mathrm{U} ).
  1. Equações de movimento:
  • Aplique as equações de Lagrange: \left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=Q_{i}^{n c}\right] onde \left(Q_{i}^{n c}\right) são os torques generalizados (( N1 e N2 )) e eventuais amortecimentos.
  • Obtenha as equações na forma matricial padrão de robótica: M(\theta) \ddot{\theta}+C(\theta, \dot{\theta}) \dot{\theta}+G(\theta)=\tau identificando a matriz de inércia ( M ), os termos de Coriolis/centrífuga ( C ), e o vetor gravitacional ( G ).

Passo 1

O que o enunciado pede e as hipóteses que vou usar (tudo explícito para não sobrar dúvidas):
  • Pedidos:
    1. Determinar as coordenadas cartesianas dos centros de massa de cada elo em função de \theta_1,\theta_2.
    2. Derivar as velocidades quadráticas \,v_{c1}^2 e \,v_{c2}^2.
    3. Escrever a energia cinética total T=T_1+T_2 (translação + rotação).
    4. Escrever a energia potencial gravitacional U.
    5. Construir a Lagrangeana L=T-U.
    6. Aplicar as equações de Lagrange com torques/forças não-conservativas (torques \,N_1,N_2 e amortecimentos viscosos opcionais) e obter a forma matricial M(\theta)\,\ddot\theta + C(\theta,\dot\theta)\,\dot\theta + G(\theta)=\tau,identificando M, C, G.
  • Convenção e parâmetros (definidos explicitamente — não invento nada em silêncio):
    • Manipulador planar de 2 elos com juntas revolutas em série.
    • \theta_1 é o ângulo absoluto do elo 1 (medido a partir do eixo x fixo).
    • \theta_2 é o ângulo relativo do elo 2 em relação ao elo 1; o ângulo absoluto do elo 2 é \theta_1+\theta_2.
    • Comprimentos: \,l_1,l_2.
    • Distâncias dos centros de massa (do junta proximal ao centro): \,l_{c1},l_{c2} (às vezes notadas r_1,r_2).
    • Massas: \,m_1,m_2.
    • Momentos de inércia em torno dos centros de massa: \,I_1,I_2.
    • Gravidade: \,g atuando no sentido negativo do eixo y (portanto potencial =mgy com y vertical para cima).
    • Amortecimentos viscosos opcionais nas juntas: \,b_1,b_2.
    • Torques atuantes nas juntas: \tau_1=N_1,\;\tau_2=N_2.
  • Observação de método: vou usar derivadas temporais diretas para posições e velocidades dos centros de massa, depois formular T (transl. + rot.) e U, montar L=T-U e aplicar as equações de Lagrange para obter as equações e identificar M,C,G. Vou explicitar todos os passos algébricos.

Passo 2

Coordenadas cartesianas dos centros de massa (origem na junta 1, eixo x horizontal, eixo y vertical para cima).
  • Centro de massa do elo 1 (ponto no comprimento l_{c1} do primeiro elo):
x_{c1} = l_{c1}\cos\!\big(\theta_1\big),\qquad y_{c1} = l_{c1}\sin\!\big(\theta_1\big).
Explicação rápida: a posição polar do CM1 é raio l_{c1} e ângulo \theta_1, então projetando em x,y obtém-se \cos,\sin.
  • Centro de massa do elo 2 (junta 2 está no final do elo 1; CM2 fica a l_{c2} do segundo pivô, ao longo do ângulo absoluto \theta_1+\theta_2):
x_{c2} = l_1\cos\!\big(\theta_1\big) + l_{c2}\cos\!\big(\theta_1+\theta_2\big),
y_{c2} = l_1\sin\!\big(\theta_1\big) + l_{c2}\sin\!\big(\theta_1+\theta_2\big).
Explicação: posição da junta 2 é (l_1\cos\theta_1,l_1\sin\theta_1) e a partir dela desloca-se l_{c2} ao longo do ângulo \theta_1+\theta_2.

Passo 3

Velocidades dos centros de massa e as expressões de v_{c1}^2 e v_{c2}^2.
  • Derivadas temporais (uso \dot\theta_i=\dfrac{d\theta_i}{dt}).
Para o elo 1:
\dot x_{c1} = -l_{c1}\sin\!\big(\theta_1\big)\,\dot\theta_1,\qquad \dot y_{c1} = l_{c1}\cos\!\big(\theta_1\big)\,\dot\theta_1.
Logo a velocidade quadrática é (usar \sin^2+\cos^2=1):
v_{c1}^2 = \dot x_{c1}^2+\dot y_{c1}^2 = l_{c1}^2\,\dot\theta_1^{\,2}.
Comentário: isso mostra que o CM1 faz um movimento circular de raio l_{c1} com velocidade angular \dot\theta_1.
Para o elo 2:
primeiro derivadas
\dot x_{c2} = -l_1\sin\!\theta_1\,\dot\theta_1 -l_{c2}\sin\!(\theta_1+\theta_2)\,(\dot\theta_1+\dot\theta_2),
\dot y_{c2} = l_1\cos\!\theta_1\,\dot\theta_1 +l_{c2}\cos\!(\theta_1+\theta_2)\,(\dot\theta_1+\dot\theta_2).
Agora a norma ao quadrado. Em vez de expandir termo a termo sem motivo, uso a identidade de produto escalar entre vetores unitários (explicito pra você poder fazer na prova):
o resultado simplificado e muito usado é
v_{c2}^2 = l_1^{2}\,\dot\theta_1^{\,2} + l_{c2}^{2}\,(\dot\theta_1+\dot\theta_2)^{2} + 2\,l_1\,l_{c2}\,\cos\!\big(\theta_2\big)\,\dot\theta_1(\dot\theta_1+\dot\theta_2).
Breve justificativa da presença de \cos\theta_2: os termos cruzados entre as derivadas dos dois vetores unitários produzem um fator \cos\big((\theta_1+\theta_2)-\theta_1\big)=\cos\theta_2.

Passo 4

Energia cinética total T (translação + rotação). Primeiro as velocidades angulares:
  • Velocidade angular do elo 1: \omega_1=\dot\theta_1.
  • Velocidade angular do elo 2 (ângulo absoluto \theta_1+\theta_2): \omega_2=\dot\theta_1+\dot\theta_2.
Agora escrevo as energias:
  • Energia cinética do elo 1:
T_1 = \tfrac{1}{2} m_1 v_{c1}^2 + \tfrac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \tfrac{1}{2}\big(m_1 l_{c1}^{2} + I_1\big)\dot\theta_1^{\,2}.
  • Energia cinética do elo 2:
T_2 = \tfrac{1}{2} m_2 v_{c2}^2 + \tfrac{1}{2} I_2 (\dot\theta_1+\dot\theta_2)^{2},
substituindo a expressão de v_{c2}^2:
\begin{aligned} T_2 &= \tfrac{1}{2} m_2\Bigl(l_1^{2}\dot\theta_1^{\,2} + l_{c2}^{2}(\dot\theta_1+\dot\theta_2)^{2} + 2 l_1 l_{c2}\cos\theta_2\,\dot\theta_1(\dot\theta_1+\dot\theta_2)\Bigr) \\\ &\qquad + \tfrac{1}{2} I_2(\dot\theta_1+\dot\theta_2)^{2}. \end{aligned}
Energia cinética total T=T_1+T_2. É útil escrever T em forma matricial quadrática \tfrac{1}{2}\dot\theta^{T}M(\theta)\dot\theta. Coletando termos (faça isso passo a passo na prova se quiser), obtemos a matriz de inércia M(\theta) com elementos:
\begin{aligned} M_{11}(\theta) &= m_1 l_{c1}^{2} + I_1 + m_2\big(l_1^{2} + l_{c2}^{2} + 2 l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big) + I_2,\\[4pt] M_{12}(\theta)=M_{21}(\theta) &= m_2\big(l_{c2}^{2} + l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big)+ I_2,\\[4pt] M_{22}(\theta) &= m_2 l_{c2}^{2} + I_2. \end{aligned}
E, em consequência,
T = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}\dot\theta_1 & \dot\theta_2\end{pmatrix} M(\theta) \begin{pmatrix}\dot\theta_1\\[4pt]\dot\theta_2\end{pmatrix}.
Explicar: cada M_{ij} vem da combinação dos termos \dot\theta_i\dot\theta_j ao expandir T; note que só depende de \theta_2 via \cos\theta_2.]

Passo 5

Energia potencial gravitacional U.
Usando as coordenadas y_{c1},y_{c2} do Passo 2 e U=mgy para cada massa:
\begin{aligned} U &= m_1 g y_{c1} + m_2 g y_{c2} \\\ &= m_1 g l_{c1}\sin\theta_1 \;+\; m_2 g\bigl(l_1\sin\theta_1 + l_{c2}\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr)\\[4pt] &= \big(m_1 l_{c1} + m_2 l_1\big) g\sin\theta_1 \;+\; m_2 l_{c2} g\sin(\theta_1+\theta_2). \end{aligned}
Observação: escolha do zero de energia não altera as equações de movimento, então esta forma é suficiente.]

Passo 6

Lagrangeana L=T-U:
L(\theta,\dot\theta)=T(\theta,\dot\theta)-U(\theta),
onde T é a forma quadrática do Passo 4 e U é a do Passo 5. Vou usar isto nas derivadas das equações de Lagrange.

Passo 7

Aplicando as equações de Lagrange e incluindo torques e amortecimentos.
Equações de Lagrange (com forças generalizadas \,Q_i^{nc}):
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta_i}=Q_i^{nc},\qquad i=1,2.
Mapeamento prático:
  • Q_1^{nc}=\tau_1 - b_1\dot\theta_1.
  • Q_2^{nc}=\tau_2 - b_2\dot\theta_2.
    Aqui \tau_i são os torques externos N_1,N_2 aplicados nas juntas; b_i são coeficientes viscosos (se não houver amortecimento, coloque b_i=0).
Fazendo derivadas (detalhe importante: M(\theta) depende apenas de \theta_2, não de \theta_1; por isso só aparecem derivadas em relação a \theta_2) e organizando os termos, obtemos a forma padrão:
M(\theta)\,\ddot\theta + C(\theta,\dot\theta)\,\dot\theta + G(\theta) + B\dot\theta = \tau,
onde:
  • \theta=\begin{pmatrix}\theta_1\\[2pt]\theta_2\end{pmatrix}, \dot\theta,\ddot\theta definidos naturalmente,
  • \tau=\begin{pmatrix}\tau_1\\[2pt]\tau_2\end{pmatrix},
  • B=\begin{pmatrix}b_1 & 0\\[2pt]0 & b_2\end{pmatrix} (amortecimento viscoso linear, se presente).
As contribuições de Coriolis/centrífuga agrupadas em C(\theta,\dot\theta)\dot\theta resultam (após a álgebra) no vetor
C(\theta,\dot\theta)\dot\theta = \begin{pmatrix} - m_2 l_1 l_{c2} \sin\theta_2 \,\big(2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^{\,2}\big)\\[6pt] \phantom{+} m_2 l_1 l_{c2} \sin\theta_2 \,\dot\theta_1^{\,2} \end{pmatrix}.
Explicação da forma: o primeiro componente contém termos centrífugos e de Coriolis (mistura \dot\theta_1\dot\theta_2 e \dot\theta_2^2), o segundo é típico termo de Coriolis proporcional a \dot\theta_1^2.
Uma matriz C(\theta,\dot\theta) que gera esse vetor ao multiplicar por \dot\theta é (não é única, mas é uma escolha comum e útil):
C(\theta,\dot\theta)= \begin{pmatrix} - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_2 & - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,(\dot\theta_1+\dot\theta_2)\\[6pt] \phantom{-}m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_1 & \; 0 \end{pmatrix},
pois
C(\theta,\dot\theta)\dot\theta = \begin{pmatrix} - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\big(\dot\theta_2\dot\theta_1 + (\dot\theta_1+\dot\theta_2)\dot\theta_2\big)\\[6pt] m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_1^{\,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\big(2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^{\,2}\big)\\[6pt] m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_1^{\,2} \end{pmatrix}.
(Escolher C dessa forma é prático para implementação numérica.)
O vetor gravitacional G(\theta) (gradiente de U) é
G(\theta) = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial U}{\partial \theta_1}\\[10pt] \displaystyle \frac{\partial U}{\partial \theta_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \big(m_1 l_{c1} + m_2 l_1\big) g\cos\theta_1 \;+\; m_2 l_{c2} g\cos(\theta_1+\theta_2)\\[10pt] \displaystyle m_2 l_{c2} g\cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix}.
Observação: aqui G aparece no sinal positivo na equação M\ddot\theta + C\dot\theta + G = \tau (convenção padrão em robótica).]

Passo 8

Resumo final (identificação explícita de M, C, G e equações de movimento finais).
  • Matriz de inércia M(\theta):
M(\theta)= \begin{pmatrix} m_1 l_{c1}^{2} + I_1 + m_2\big(l_1^{2} + l_{c2}^{2} + 2 l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big) + I_2 & m_2\big(l_{c2}^{2} + l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big)+ I_2\\[6pt] m_2\big(l_{c2}^{2} + l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big)+ I_2 & m_2 l_{c2}^{2} + I_2 \end{pmatrix}.
  • Termo Coriolis/centrífuga (vetor C(\theta,\dot\theta)\dot\theta):
C(\theta,\dot\theta)\dot\theta = \begin{pmatrix} - m_2 l_1 l_{c2} \sin\theta_2 \,\big(2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^{\,2}\big)\\[6pt] \phantom{+} m_2 l_1 l_{c2} \sin\theta_2 \,\dot\theta_1^{\,2} \end{pmatrix},
e uma escolha de matriz C(\theta,\dot\theta) que produz esse vetor é
C(\theta,\dot\theta)= \begin{pmatrix} - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_2 & - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,(\dot\theta_1+\dot\theta_2)\\[6pt] \phantom{-}m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_1 & \; 0 \end{pmatrix}.
  • Vetor gravitacional G(\theta):
G(\theta)= \begin{pmatrix} \big(m_1 l_{c1} + m_2 l_1\big) g\cos\theta_1 + m_2 l_{c2} g\cos(\theta_1+\theta_2)\\[8pt] m_2 l_{c2} g\cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix}.
  • Equação de movimento completa (incluindo amortecimento viscoso B e torques \,\tau):
M(\theta)\,\ddot\theta + C(\theta,\dot\theta)\,\dot\theta + G(\theta) + B\dot\theta = \tau,
onde B=\mathrm{diag}(b_1,b_2) (se não houver amortecimento, b_i=0), \tau=(\tau_1,\tau_2)^T.]

Resposta

x_{c1} = l_{c1}\cos\!\big(\theta_1\big),\quad y_{c1} = l_{c1}\sin\!\big(\theta_1\big).
x_{c2} = l_1\cos\!\big(\theta_1\big) + l_{c2}\cos\!\big(\theta_1+\theta_2\big),\quad y_{c2} = l_1\sin\!\big(\theta_1\big) + l_{c2}\sin\!\big(\theta_1+\theta_2\big).
v_{c1}^2 = l_{c1}^{2}\,\dot\theta_1^{\,2}.
v_{c2}^2 = l_1^{2}\,\dot\theta_1^{\,2} + l_{c2}^{2}(\dot\theta_1+\dot\theta_2)^{2} + 2\,l_1\,l_{c2}\cos\!\theta_2\,\dot\theta_1(\dot\theta_1+\dot\theta_2).
T = \tfrac{1}{2}\big(m_1 l_{c1}^{2} + I_1\big)\dot\theta_1^{2} + \tfrac{1}{2}m_2 v_{c2}^2 + \tfrac{1}{2}I_2(\dot\theta_1+\dot\theta_2)^{2}
\;=\; \tfrac{1}{2}\dot\theta^{T}M(\theta)\dot\theta com
M(\theta)= \begin{pmatrix} m_1 l_{c1}^{2} + I_1 + m_2\big(l_1^{2} + l_{c2}^{2} + 2 l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big) + I_2 & m_2\big(l_{c2}^{2} + l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big)+ I_2\\[6pt] m_2\big(l_{c2}^{2} + l_1 l_{c2}\cos\theta_2\big)+ I_2 & m_2 l_{c2}^{2} + I_2 \end{pmatrix}.
U = \big(m_1 l_{c1} + m_2 l_1\big) g\sin\theta_1 + m_2 l_{c2} g\sin(\theta_1+\theta_2).
L = T - U.
Equações de movimento (com amortecimento B=\mathrm{diag}(b_1,b_2) e \tau=(\tau_1,\tau_2)^T):
M(\theta)\,\ddot\theta + C(\theta,\dot\theta)\,\dot\theta + G(\theta) + B\dot\theta = \tau,
onde
[
C(\theta,\dot\theta)\dot\theta =
\begin{pmatrix}
  • m_2 l_1 l_{c2} \sin\theta_2 ,\big(2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^{,2}\big)\[6pt]
    \phantom{+} m_2 l_1 l_{c2} \sin\theta_2 ,\dot\theta_1^{,2}
    \end{pmatrix},
    \qquad
    G(\theta)=
    \begin{pmatrix} \big(m_1 l_{c1} + m_2 l_1\big) g\cos\theta_1 + m_2 l_{c2} g\cos(\theta_1+\theta_2)\\[8pt] m_2 l_{c2} g\cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix}.
    )
Uma escolha conveniente de matriz C(\theta,\dot\theta) que produz o vetor acima é
C(\theta,\dot\theta)= \begin{pmatrix} - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_2 & - m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,(\dot\theta_1+\dot\theta_2)\\[6pt] \phantom{-}m_2 l_1 l_{c2}\sin\theta_2\,\dot\theta_1 & \; 0 \end{pmatrix}. \)

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