Determine as coordenadas cartesianas dos centros de massa de cada elo em função de ( \theta 1, \theta 2 ).
Derive as velocidades quadráticas ( v_{c1}^2 ) e ( v_{c2}^2 ).
Escreva a energia cinética total ( \mathrm{T}=\mathrm{T} _1+\mathrm{T} _2 ), incluindo termos de translação e rotação.
Potencial:
Escreva a energia potencial gravitacional ( U ) do sistema.
Lagrangeana:
Construa ( \mathrm{L}=\mathrm{T}-\mathrm{U} ).
Equações de movimento:
Aplique as equações de Lagrange: \left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=Q_{i}^{n c}\right] onde \left(Q_{i}^{n c}\right) são os torques generalizados (( N1 e N2 )) e eventuais amortecimentos.
Obtenha as equações na forma matricial padrão de robótica: M(\theta) \ddot{\theta}+C(\theta, \dot{\theta}) \dot{\theta}+G(\theta)=\tau identificando a matriz de inércia ( M ), os termos de Coriolis/centrífuga ( C ), e o vetor gravitacional ( G ).
Passo 1
O que o enunciado pede e as hipóteses que vou usar (tudo explícito para não sobrar dúvidas):
Pedidos:
Determinar as coordenadas cartesianas dos centros de massa de cada elo em função de \theta_1,\theta_2.
Derivar as velocidades quadráticas \,v_{c1}^2 e \,v_{c2}^2.
Escrever a energia cinética total T=T_1+T_2 (translação + rotação).
Escrever a energia potencial gravitacional U.
Construir a Lagrangeana L=T-U.
Aplicar as equações de Lagrange com torques/forças não-conservativas (torques \,N_1,N_2 e amortecimentos viscosos opcionais) e obter a forma matricialM(\theta)\,\ddot\theta + C(\theta,\dot\theta)\,\dot\theta + G(\theta)=\tau,identificando M, C, G.
Convenção e parâmetros (definidos explicitamente — não invento nada em silêncio):
Manipulador planar de 2 elos com juntas revolutas em série.
\theta_1 é o ângulo absoluto do elo 1 (medido a partir do eixo x fixo).
\theta_2 é o ângulo relativo do elo 2 em relação ao elo 1; o ângulo absoluto do elo 2 é \theta_1+\theta_2.
Comprimentos: \,l_1,l_2.
Distâncias dos centros de massa (do junta proximal ao centro): \,l_{c1},l_{c2} (às vezes notadas r_1,r_2).
Massas: \,m_1,m_2.
Momentos de inércia em torno dos centros de massa: \,I_1,I_2.
Gravidade: \,g atuando no sentido negativo do eixo y (portanto potencial =mgy com y vertical para cima).
Amortecimentos viscosos opcionais nas juntas: \,b_1,b_2.
Torques atuantes nas juntas: \tau_1=N_1,\;\tau_2=N_2.
Observação de método: vou usar derivadas temporais diretas para posições e velocidades dos centros de massa, depois formular T (transl. + rot.) e U, montar L=T-U e aplicar as equações de Lagrange para obter as equações e identificar M,C,G. Vou explicitar todos os passos algébricos.
Passo 2
Coordenadas cartesianas dos centros de massa (origem na junta 1, eixo x horizontal, eixo y vertical para cima).
Centro de massa do elo 1 (ponto no comprimento l_{c1} do primeiro elo):
Agora a norma ao quadrado. Em vez de expandir termo a termo sem motivo, uso a identidade de produto escalar entre vetores unitários (explicito pra você poder fazer na prova):
o resultado simplificado e muito usado é
Breve justificativa da presença de \cos\theta_2: os termos cruzados entre as derivadas dos dois vetores unitários produzem um fator \cos\big((\theta_1+\theta_2)-\theta_1\big)=\cos\theta_2.
Passo 4
Energia cinética total T (translação + rotação). Primeiro as velocidades angulares:
Velocidade angular do elo 1: \omega_1=\dot\theta_1.
Velocidade angular do elo 2 (ângulo absoluto \theta_1+\theta_2): \omega_2=\dot\theta_1+\dot\theta_2.
Energia cinética total T=T_1+T_2. É útil escrever T em forma matricial quadrática \tfrac{1}{2}\dot\theta^{T}M(\theta)\dot\theta. Coletando termos (faça isso passo a passo na prova se quiser), obtemos a matriz de inércia M(\theta) com elementos:
Q_2^{nc}=\tau_2 - b_2\dot\theta_2.
Aqui \tau_i são os torques externos N_1,N_2 aplicados nas juntas; b_i são coeficientes viscosos (se não houver amortecimento, coloque b_i=0).
Fazendo derivadas (detalhe importante: M(\theta) depende apenas de \theta_2, não de \theta_1; por isso só aparecem derivadas em relação a \theta_2) e organizando os termos, obtemos a forma padrão:
Explicação da forma: o primeiro componente contém termos centrífugos e de Coriolis (mistura \dot\theta_1\dot\theta_2 e \dot\theta_2^2), o segundo é típico termo de Coriolis proporcional a \dot\theta_1^2.
Uma matriz C(\theta,\dot\theta) que gera esse vetor ao multiplicar por \dot\theta é (não é única, mas é uma escolha comum e útil):