A umidade de um solo saturado é de 40 \%. O peso específico de suas partículas sólidas \left(\gamma_{\mathrm{s}}\right) vale 26,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Calcule seu índice de vazios, seu peso específico seco e seu peso específico natural.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
  • Umidade do solo saturado: w=40\%.
  • Peso específico das partículas sólidas: \gamma_{\mathrm{s}}=26,5\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
    Pede para calcular:
  1. o índice de vazios e;
  2. o peso específico seco \gamma_{d};
  3. o peso específico natural (ou naturalmente úmido) \gamma.

Passo 2

Converter e explicar as grandezas e unidades básicas que vamos usar:
  • A umidade w é dada em porcentagem; converte-se para fração de massa por massa usando vírgula decimal:
w=40\%=\;0,40.
  • O peso específico da água será usado como referência: \gamma_{w}=9,81\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
  • A relação entre \gamma_{\mathrm{s}}, a gravidade específica dos sólidos G_{s} e \gamma_{w} é
\gamma_{\mathrm{s}}=G_{s}\,\gamma_{w}.
Aqui G_{s} é adimensional (é a razão entre a densidade das partículas sólidas e a da água).

Passo 3

Calcular G_{s} a partir de \gamma_{\mathrm{s}}. Isolando G_{s} na relação anterior:
G_{s}=\dfrac{\gamma_{\mathrm{s}}}{\gamma_{w}}.
Agora substituindo os valores numéricos (tudo em ambiente matemático):
G_{s}=\dfrac{26,5}{9,81}\approx 2,70.
Explicação curta: G_{s} diz quantas vezes a densidade dos grãos é maior que a água; valores típicos ficam em torno de 2,65 a 2,80, então esse valor faz sentido.

Passo 4

Relação entre umidade w, índice de vazios e e grau de saturação S_{r} (pela definição de umidade por massa):
w=\dfrac{\text{massa de água}}{\text{massa de sólidos}}.áó
Para um solo saturado vale S_{r}=1. A relação teórica entre w, e, G_{s} e S_{r} é
w=\dfrac{S_{r}\,e}{G_{s}}.
Como estamos em solo saturado ( S_{r}=1), essa equação simplifica para
w=\dfrac{e}{G_{s}}.
Isolando e obtemos a fórmula prática que usaremos:
e=G_{s}\,w.
Breve intuição: em solo saturado a água ocupa todos os vazios; quanto maior G_{s} e w, maior o volume de vazios por unidade de volume de sólidos.

Passo 5

Calcular numericamente o índice de vazios e usando G_{s} calculado e w=0,40:
e=G_{s}\,w=\;2,70\cdot0,40\approx 1,08.
Portanto o índice de vazios é aproximadamente \,e\approx1,08.

Passo 6

Agora vamos ao peso específico seco \gamma_{d}. A relação padrão entre \gamma_{d}, \gamma_{w}, G_{s} e e é
\gamma_{d}=\dfrac{G_{s}\,\gamma_{w}}{1+e}.
Motivação rápida: \gamma_{d} é peso de sólidos por volume total; G_{s}\gamma_{w} é o peso específico dos sólidos por volume de sólidos, e divide-se por 1+e porque o volume total é V_s+V_v=V_s(1+e).
Podemos usar também diretamente \gamma_{\mathrm{s}}=G_{s}\gamma_{w}, então
\gamma_{d}=\dfrac{\gamma_{\mathrm{s}}}{1+e}.

Passo 7

Calcular numericamente \gamma_{d} substituindo \gamma_{\mathrm{s}}=26,5\\ \mathrm{kN/m^{3}} e e\approx1,08:
\gamma_{d}=\dfrac{26,5}{1+1,08}=\dfrac{26,5}{2,08}\approx 12,74\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
Interpretação: esse é o peso por unidade de volume quando o solo está seco (sem a água que aumenta o peso).

Passo 8

Finalmente, o peso específico natural \gamma (solo com a água presente) relaciona-se com o seco por
\gamma=\gamma_{d}\,(1+w).
Isso vem do fato de que a massa total por volume é massa sólida mais massa de água: massa total = massa seca \times(1+w).
Calcular numericamente:
\gamma=12,74\cdot(1+0,40)=12,74\cdot1,40\approx17,84\\ \mathrm{kN/m^{3}}.

Passo 9

Pequena verificação por consistência: como w=0,40 (40% de água por massa), o peso vivo aumenta em 40% sobre o seco; 12,74\cdot1,4 de fato dá cerca de 17,84\\ \mathrm{kN/m^{3}}, que está coerente com os cálculos anteriores.

Resposta

e\approx 1,08
\gamma_{d}\approx 12,74\\ \mathrm{kN/m^{3}}
\gamma\approx 17,84\\ \mathrm{kN/m^{3}}

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