Cinquenta e um pontos são postos no interior de um quadrado de lado 1 metro. Prove que existe um conjunto de três desses pontos que pode ser coberto por um quadrado de lado 20 centímetros.
Passo 1
Beleza, temos um quadrado de lado 1 m e 51 pontos jogados dentro dele (no interior). A pergunta é: mostra que dá para achar três desses pontos que caibam juntos num quadradozinho de lado 0,2 m (20 cm).
Conteúdo: princípio da casa dos pombos (combinatória básica). O que vamos usar: dividir o quadrado maior em pequenos quadrados iguais e aplicar o princípio da casa dos pombos para garantir que um desses pequenos contenha pelo menos 3 pontos.
Conteúdo: princípio da casa dos pombos (combinatória básica). O que vamos usar: dividir o quadrado maior em pequenos quadrados iguais e aplicar o princípio da casa dos pombos para garantir que um desses pequenos contenha pelo menos 3 pontos.
Passo 2
Princípio da casa dos pombos (ou princípio do gaveteiro): se você tem
objetos e objetos. Aqui, as “gavetas” serão os pequenos quadrados e os “objetos” são os 51 pontos.
Passo 3
Vamos dividir o quadrado de lado 1 m em uma grade de
quadrados iguais. Cada quadradinho terá lado
No total são
quadradinhos.
Passo 4
Agora aplicamos o princípio da casa dos pombos: temos
pontos (objetos) e
quadradinhos (gavetas). Logo, algum quadradinho comporta pelo menos
pontos.
Resposta
Logo, existe um quadrado de lado
m (20 cm) que contém pelo menos três dos 51 pontos.