Cinquenta e um pontos são postos no interior de um quadrado de lado 1 metro. Prove que existe um conjunto de três desses pontos que pode ser coberto por um quadrado de lado 20 centímetros.

Passo 1

Beleza, temos um quadrado de lado 1 m e 51 pontos jogados dentro dele (no interior). A pergunta é: mostra que dá para achar três desses pontos que caibam juntos num quadradozinho de lado 0,2 m (20 cm).
Conteúdo: princípio da casa dos pombos (combinatória básica). O que vamos usar: dividir o quadrado maior em pequenos quadrados iguais e aplicar o princípio da casa dos pombos para garantir que um desses pequenos contenha pelo menos 3 pontos.

Passo 2

Princípio da casa dos pombos (ou princípio do gaveteiro): se você tem objetos e objetos. Aqui, as “gavetas” serão os pequenos quadrados e os “objetos” são os 51 pontos.

Passo 3

Vamos dividir o quadrado de lado 1 m em uma grade de 15 ;=; 0,2 m quadrados iguais. Cada quadradinho terá lado
No total são quadradinhos.

Passo 4

Agora aplicamos o princípio da casa dos pombos: temos lceil tfrac5125rceil = lceil 2,04rceil = 3 pontos (objetos) e quadradinhos (gavetas). Logo, algum quadradinho comporta pelo menos
pontos.

Resposta

Logo, existe um quadrado de lado m (20 cm) que contém pelo menos três dos 51 pontos.

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