2^circ ) Calcular os coeficientes da série de Fourier do seguinte sinal periódico:
(2,5pt)
x[n]=sumr=-infty^infty2 e^n-3 r+1 de<a[n-3 r]+de<a[n-1-3 r]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os coeficientes da série de Fourier discreta (DTFS) de um sinal periódico x[n] dado por
x[n]=sumr=-infty^inftyl2e^,n-3r+1,de<a[n-3r]+de<a[n-1-3r]r
O conteúdo é a Série de Fourier para sinais discreto-temporais periódicos. Para resolver, vamos (i) identificar o período fundamental, (ii) extrair um período de x[n] e (iii) aplicar a fórmula da DTFS.

Passo 2

Observamos que a soma sobre r desloca o sinal de forma que x[n+3]=x[n]. Logo, o período fundamental é
N=3

Passo 3

Vamos achar os valores de x[n] para um período típico, digamos n=0,1,2:
— Para n=3r: apenas o termo de<a[n-3r] ativa, e x[3r]=2e^3r-3r+1=2e^1=2e.
— Para n=3r+1: apenas de<a[n-1-3r] ativa, e x[3r+1]=1.
— Para n=3r+2: nenhum delta ativa, então x[3r+2]=0.
Em particular, num período de referência:
x[0]=2e, x[1]=1, x[2]=0

Passo 4

A fórmula geral da Série de Fourier discreta para período N é
ak=1Nsumn=0^N-1x[n],e^-j2piNkn
Aqui temos N=3, então
ak=13sumn=0^2x[n],e^-j2pi3kn

Passo 5

Substituindo x[0]=2e, x[1]=1 e x[2]=0 na soma:
ak =13l(2e;e^-j2pi3kcdot0 +1;e^-j2pi3kcdot1 +0;e^-j2pi3kcdot2r) =13l(2e + e^-j2pi3kr)

Resposta

boxedak=2e + e^-j2pi3k3, kinZ, com ak+3=ak

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