Exercício 11: A temperatura de uma sala de 11 m^2 pode ser controlada variando-se a potência de um radiador interno. Para esta sala em específico, a função de transferência de malha aberta que relaciona a potência do radiador com a temperatura é dada por:
G(s)=(1 times 10^-6) s^2+(1.314 times 10^-9) s+2.66 e^-13s^3+0.00163 s^2+(5.272 times 10^-7) s+3.58 e^-11
Assuma que sem um compensador, o sistema em malha fechada opera com diagrama de blocos conforme a figura do Exercício 2.
a) Para uma entrada ao degrau, calcule o erro em estado estacionário.
b) Projete um controlador PI na forma Gc(s) KP(s+KIKP)s para eliminar o erro em estado estacionário, sem modificar muito as características de tempo de acomodação do sistema em malha fechada sem controlador.

Passo 1

O enunciado dá a planta em malha aberta
G(s)=l(1times10^-6r)s^2+l(1,314times10^-9r)s+2,66times10^-13s^3+0,00163,s^2+l(5,272times10^-7r)s+3,58times10^-11
e pede:
a) o erro em estado estacionário para entrada degrau, usando teoria de sistemas em malha fechada unitária;
b) projetar um controlador PI
Gc(s)=KP,s+KIKPs
que anule o erro sem alterar muito o tempo de acomodação.

Passo 2

Em realimentação unitária e entrada degrau de amplitude 1, o erro em regime permanente é
ess =limttoinftye(t) =limsto0s,E(s),
com
E(s)=1/s1+G(s)
Logo
ess =limsto0scdot1s1+G(s) =11+G(0)

Passo 3

Avalia-se G(0) pelos termos constantes de numerador e denominador:
G(0) =2,66times10^-133,58times10^-11 approx0,00743
Portanto
ess =11+0,00743 approx0,9926

Passo 4

Para anular ess a degrau precisamos de um integrador no compensador (tipo I). Escolhemos
Gc(s) =KP,s+KIKPs
Para não modificar muito o tempo de acomodação, posicionaremos o zero do PI próximo ao polo dominante (mais rápido em módulo) da planta original em malha fechada.

Passo 5

O polinômio do denominador de G(s) dá polos aproximados em
-0,00163, -3,23times10^-4 e -6,79times10^-5.
O polo mais rápido (em módulo) é -0,00163, então escolhemos
KIKP=0,00163
Impondo que o ganho em torno dessa frequência não mude, fixamos l|Gc(jomega)r|=1 em omega=0,00163, o que leva a
l|KP,tfracjomega+omegajomegar| =KPraiz2=1 Longrightarrow KP=1raiz2approx0,707
Assim
KI=KPtimes0,00163approx0,00115

Resposta

a) essapprox0,9926.
b) Um PI adequado é
Gc(s)=0,707;s+0,00163s,
isto é, KPapprox0,707 e KIapprox0,00115.

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