) Determinar o sinal periódico
, com período fundamental
, a partir dos seus
(
) coeficientes da série de Fourier:
Expressar o sinal
em termos de seno. Calcular
para
.
(
Passo 1
O enunciado pede para determinar um sinal periódico
de período fundamental
a partir dos coeficientes da sua série de Fourier
O conteúdo aqui é “inverter” a série de Fourier discreta, usando a fórmula
Depois vamos reescrever
em termos de senos reais e, em seguida, calcular
.
Passo 2
Primeiro avalio explicitamente
para
.
e
Logo
Passo 3
Substituindo na inversão da FS dá
Como
e^j8pi5n=e^j(2pi-tfrac2pi5)n=e^-j2pi5n , reagrupo termos:
Passo 4
Agora uso
e^jtheta=costheta+jsentheta .
Definoalpha=tfrac2pi5n .
Defino
e
e^j4pi5n=cos(2alpha)+jsen(2alpha) .
Somando tudo obtemos
Somando tudo obtemos
Passo 5
Para “expressar em termos de senos” podemos usar
costheta=sen(theta+tfracpi2) . Assim cada cosseno vira seno deslocado em
tfracpi2 . Por exemplo
Logo uma forma final totalmente em senos é
Passo 6
Para
n=2 usamos
alpha=tfrac2pi5cdot2=tfrac4pi5 . Da expressão do Passo 4:
Sabendo
cos(tfrac4pi5)=-cos(tfracpi5),;cos(tfrac8pi5)=cos(tfrac2pi5),; sen(tfrac8pi5)=-sen(tfrac2pi5),;sen(tfrac4pi5)=sen(tfracpi5) ,
encontra-se numericamente
encontra-se numericamente
Resposta
x[n] conforme a expressão em termos de senos do Passo 5;
e
e