1^circ ) Determinar o sinal periódico x[n], com período fundamental N=5, a partir dos seus
( 2,5 pt ) coeficientes da série de Fourier:
ck=cos (k pi)+sen(3 k pi2), 0 <= k <= 4
Expressar o sinal x[n] em termos de seno. Calcular x[n] para n=2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar um sinal periódico x[n] de período fundamental N=5 a partir dos coeficientes da sua série de Fourier
ck = cos(kpi) ;+;sen!l(tfrac3kpi2r), k = 0,1,2,3,4
O conteúdo aqui é “inverter” a série de Fourier discreta, usando a fórmula
x[n] ;=;sumk=0^4 ck,e^j2pi5k n
Depois vamos reescrever x[n] em termos de senos reais e, em seguida, calcular x[2].

Passo 2

Primeiro avalio explicitamente ck para k=0,1,2,3,4.
cos(kpi)=(-1)^k e
sen!l(tfrac3kpi2r) = 0,&kequiv0pmod2, -1,&kequiv1pmod4, +1,&kequiv3pmod4
Logo
c0&=1+0=1, &c1&=-1-1=-2, &c2&=1+0=1, c3&=-1+1=0, &c4&=1+0=1

Passo 3

Substituindo na inversão da FS dá
x[n] =sumk=0^4 ck,e^j2pi5kn =1 -2,e^j2pi5n +1cdot e^j4pi5n +0 +1cdot e^j8pi5n
Como e^j8pi5n=e^j(2pi-tfrac2pi5)n=e^-j2pi5n, reagrupo termos:
x[n] =1 -2,e^j2pi5n +e^j4pi5n +e^-j2pi5n

Passo 4

Agora uso e^jtheta=costheta+jsentheta.
Defino alpha=tfrac2pi5n.
-2,e^jalpha+e^-jalpha &=-2(cosalpha+jsenalpha)+(cosalpha-jsenalpha) &=-cosalpha-j,2senalpha-jsenalpha =-cosalpha - j,3senalpha,
e e^j4pi5n=cos(2alpha)+jsen(2alpha).
Somando tudo obtemos
x[n] &=1 ;+l[-cosalpha + cos(2alpha)r] ;+;jl[-3senalpha+sen(2alpha)r] &=underbrace1-cos!l(tfrac2pi5nr)+cos!l(tfrac4pi5nr)parte real ;+;j,underbracel[-3sen!l(tfrac2pi5nr)+sen!l(tfrac4pi5nr)r]parte imaginária á

Passo 5

Para “expressar em termos de senos” podemos usar costheta=sen(theta+tfracpi2). Assim cada cosseno vira seno deslocado em tfracpi2. Por exemplo
cos!l(tfrac2pi5nr) =sen!l(tfrac2pi5n+tfracpi2r), cos!l(tfrac4pi5nr) =sen!l(tfrac4pi5n+tfracpi2r)
Logo uma forma final totalmente em senos é
boxed x[n] =;1 ;-;sen!l(tfrac2pi5n+tfracpi2r) ;+;sen!l(tfrac4pi5n+tfracpi2r) ;+;jl[-3sen!l(tfrac2pi5nr)+sen!l(tfrac4pi5nr)r]

Passo 6

Para n=2 usamos alpha=tfrac2pi5cdot2=tfrac4pi5. Da expressão do Passo 4:
Rex[2] &=1-cos!l(tfrac4pi5r)+cos!l(tfrac8pi5r), Imx[2] &=-3sen!l(tfrac4pi5r)+sen!l(tfrac8pi5r)
Sabendo
cos(tfrac4pi5)=-cos(tfracpi5),;cos(tfrac8pi5)=cos(tfrac2pi5),; sen(tfrac8pi5)=-sen(tfrac2pi5),;sen(tfrac4pi5)=sen(tfracpi5),
encontra-se numericamente
x[2]approx 2,118;-;j,2,714

Resposta

x[n] conforme a expressão em termos de senos do Passo 5;
e
x[2]approx 2,118 ;-; j,2,714

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