)Calcule as integrais definidas fazendo a substituição
apropriada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando uma substituição
apropriada. As informações relevantes são:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é
. - Devemos escolher uma substituição que torne a integral mais simples e depois avaliar a integral definida com os novos limites.
Passo 2
Vamos escolher a substituição que elimina a raiz quadrada e simplifyca a expressão. Uma escolha natural é definir
Explico por que: ao escrever
em termos de
a raiz some, porque
. Agora calculamos
em termos de
:
Também precisamos mudar os limites da integral: quando
temos
; quando
temos
. Logo os novos limites serão de
até
.
Passo 3
Substituímos
e
dentro da integral; a raiz
vira
. Fazendo a substituição obtém-se
Agora simplificamos a expressão dentro da integral: fatoramos e cancelamos
(note que em
a expressão resultante é bem definida porque o fator
do
remove a singularidade em
):
Portanto a integral ficou
Passo 4
Agora integramos
. Lembre que a primitiva de
é
porque
. Como
no intervalo
podemos escrever sem valor absoluto. Assim
Passo 5
Avaliamo o resultado nos limites:
Como
, isso reduz para
Podemos também expressar de forma equivalente como