3^{\circ} )Calcule as integrais definidas fazendo a substituição u apropriada:
\int_{0}^{9} \frac{1}{x+\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{9} \frac{1}{x+\sqrt{x}}\,dx
usando uma substituição u apropriada. As informações relevantes são:
  • A função a integrar é x\mapsto \dfrac{1}{x+\sqrt{x}}.
  • O intervalo de integração é [0,9].
  • Devemos escolher uma substituição que torne a integral mais simples e depois avaliar a integral definida com os novos limites.

Passo 2

Vamos escolher a substituição que elimina a raiz quadrada e simplifyca a expressão. Uma escolha natural é definir
u=\sqrt{x}.
Explico por que: ao escrever x em termos de u a raiz some, porque x=u^{2}. Agora calculamos dx em termos de du:
x=u^{2}\quad\Rightarrow\quad dx=2u\,du.
Também precisamos mudar os limites da integral: quando x=0 temos u=\sqrt{0}=0; quando x=9 temos u=\sqrt{9}=3. Logo os novos limites serão de u=0 até u=3.

Passo 3

Substituímos x=u^{2} e dx=2u\,du dentro da integral; a raiz \sqrt{x} vira u. Fazendo a substituição obtém-se
\int_{0}^{9}\frac{1}{x+\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{3}\frac{1}{u^{2}+u}\cdot(2u)\,du.
Agora simplificamos a expressão dentro da integral: fatoramos e cancelamos u (note que em u\in[0,3] a expressão resultante é bem definida porque o fator u do dx remove a singularidade em u=0):
\frac{2u}{u^{2}+u}=\frac{2u}{u(u+1)}=\frac{2}{u+1}.
Portanto a integral ficou
\int_{0}^{3}\frac{2}{u+1}\,du.

Passo 4

Agora integramos \dfrac{2}{u+1}. Lembre que a primitiva de \dfrac{1}{u+1} é \ln|u+1| porque \dfrac{d}{du}\ln|u+1|=\dfrac{1}{u+1}. Como u+1>0 no intervalo [0,3] podemos escrever sem valor absoluto. Assim
\int_{0}^{3}\frac{2}{u+1}\,du =2\int_{0}^{3}\frac{1}{u+1}\,du =2\big[\ln(u+1)\big]_{0}^{3}.

Passo 5

Avaliamo o resultado nos limites:
2\big[\ln(u+1)\big]_{0}^{3} =2\big(\ln(3+1)-\ln(0+1)\big) =2\big(\ln 4-\ln 1\big).
Como \ln 1=0, isso reduz para
2\ln 4.
Podemos também expressar de forma equivalente como
2\ln 4=\ln(4^{2})=\ln 16.

Resposta

\ln 16

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