4^{\circ} ) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular) \int_{0}^{1} \ln (2 x+1) d x
Passo 1
O problema pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \ln(2x+1)\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \ln(2x+1) integrada no intervalo [0,1]. A instrução do enunciado é usar integração por partes (não usar integração tabular). A resposta final deverá ser um número (ou expressão envolvendo logaritmo).
Passo 2
Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada termo significa. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
u é uma função que escolhemos e du é sua diferencial, ou seja du = u'(x)\,dx.
dv é a parte restante do integrando e v é uma primitiva de dv, isto é v=\int dv.
A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, e escolher dv que seja fácil de integrar para obter v. A técnica transforma uma integral possivelmente complicada em outra (esperançosamente mais simples).
Passo 3
Escolha de u e dv. Para \int_{0}^{1} \ln(2x+1)\,dx é conveniente escolher
u=\ln(2x+1),\qquad dv=dx,
porque a derivada de \ln(2x+1) simplifica (é uma função racional simples) e dv=dx tem primitiva imediata. Agora calculamos du e v.
Derivada (regra da cadeia): a derivada de \ln(2x+1) é \dfrac{2}{2x+1}. Logo
du=\frac{2}{2x+1}\,dx.
E a primitiva de dv é
v=\int dv=\int dx = x.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes no intervalo [0,1]: