4^{\circ} ) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular)
\int_{0}^{1} \ln (2 x+1) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \ln(2x+1)\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \ln(2x+1) integrada no intervalo [0,1]. A instrução do enunciado é usar integração por partes (não usar integração tabular). A resposta final deverá ser um número (ou expressão envolvendo logaritmo).

Passo 2

Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada termo significa. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos e du é sua diferencial, ou seja du = u'(x)\,dx.
  • dv é a parte restante do integrando e v é uma primitiva de dv, isto é v=\int dv.
    A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, e escolher dv que seja fácil de integrar para obter v. A técnica transforma uma integral possivelmente complicada em outra (esperançosamente mais simples).

Passo 3

Escolha de u e dv. Para \int_{0}^{1} \ln(2x+1)\,dx é conveniente escolher
u=\ln(2x+1),\qquad dv=dx,
porque a derivada de \ln(2x+1) simplifica (é uma função racional simples) e dv=dx tem primitiva imediata. Agora calculamos du e v.
Derivada (regra da cadeia): a derivada de \ln(2x+1) é \dfrac{2}{2x+1}. Logo
du=\frac{2}{2x+1}\,dx.
E a primitiva de dv é
v=\int dv=\int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1} \ln(2x+1)\,dx = \left[x\ln(2x+1)\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x\cdot\frac{2}{2x+1}\,dx.
Vou chamar a integral restante de J,
J=\int_{0}^{1} x\cdot\frac{2}{2x+1}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{2x}{2x+1}\,dx.

Passo 5

Calculo de J. Observação algébrica simples:
\frac{2x}{2x+1}=\frac{2x+1-1}{2x+1}=1-\frac{1}{2x+1}.
Portanto
J=\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{2x+1}\right)\,dx = \int_{0}^{1}1\,dx - \int_{0}^{1}\frac{1}{2x+1}\,dx.
As integrais são simples: \int_{0}^{1}1\,dx=1. Para a segunda, usamos a primitiva de 1/(2x+1): como \dfrac{d}{dx}\ln(2x+1)=\dfrac{2}{2x+1}, temos
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(2x+1).
Assim
\int_{0}^{1}\frac{1}{2x+1}\,dx = \left.\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\big(\ln 3 - \ln 1\big) = \frac{1}{2}\ln 3,
porque \ln 1=0. Logo
J = 1 - \frac{1}{2}\ln 3.

Passo 6

Volto para a expressão original. Temos
\int_{0}^{1} \ln(2x+1)\,dx = \left[x\ln(2x+1)\right]_{0}^{1} - J.
Avalio o termo de fronteira:
\left[x\ln(2x+1)\right]_{0}^{1} = 1\cdot\ln 3 - 0\cdot\ln 1 = \ln 3.
Então
\int_{0}^{1} \ln(2x+1)\,dx = \ln 3 - \bigg(1 - \frac{1}{2}\ln 3\bigg).

Passo 7

Simplifico a expressão:
\ln 3 - 1 + \frac{1}{2}\ln 3 = \frac{3}{2}\ln 3 - 1.
Esse é o valor final da integral.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\ln 3 - 1

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