4^{\circ} ) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular) \int z * t g^{2}(z) d z
Passo 1
Enunciado (reescrito de forma clara): calcular a integral
\int z\;\operatorname{tg}^{2}(z)\,dz
Observações e informações dadas:
Aqui eu interpretei \operatorname{tg} z como a função tangente, ou seja \operatorname{tg} z=\tan z.
O pedido é calcular a integral indefinida usando integração por partes (não usar integração tabular).
A variável de integração é \,z.
O que precisa ser encontrado: uma primitiva da função z\mapsto z\,\tan^2(z), isto é uma expressão F(z) tal que F'(z)=z\tan^2(z).
Passo 2
Estratégia inicial (sem ainda aplicar partes): usar uma identidade trigonométrica que simplifica \tan^2. A identidade é
\tan^2 z = \operatorname{sec}^2 z - 1,
onde \operatorname{sec} z=\dfrac{1}{\cos z}. Substituindo na integral:
Essa separação é útil porque \operatorname{sec}^2 z é a derivada de \tan z, o que nos deixa prontos para usar integração por partes no primeiro termo, enquanto o segundo termo é uma integral simples.
Passo 3
Calcular o segundo termo (fácil): \int z\,dz. Lembrete rápido: a primitiva de z é obtida pela regra do poder,
\int z\,dz = \frac{z^2}{2}.
Então já sabemos que a segunda parcela é \dfrac{z^2}{2}.
Passo 4
Agora calcular o primeiro termo por integração por partes:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas convenientemente. Aqui escolhemos
u = z,\qquad dv = \operatorname{sec}^2 z\,dz,
porque du = dz simplifica e v é fácil de obter já que \dfrac{d}{dz}\tan z = \operatorname{sec}^2 z. Logo