4^{\circ} ) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular)
\int z * t g^{2}(z) d z

Passo 1

Enunciado (reescrito de forma clara): calcular a integral
\int z\;\operatorname{tg}^{2}(z)\,dz
Observações e informações dadas:
  • Aqui eu interpretei \operatorname{tg} z como a função tangente, ou seja \operatorname{tg} z=\tan z.
  • O pedido é calcular a integral indefinida usando integração por partes (não usar integração tabular).
  • A variável de integração é \,z.
    O que precisa ser encontrado: uma primitiva da função z\mapsto z\,\tan^2(z), isto é uma expressão F(z) tal que F'(z)=z\tan^2(z).

Passo 2

Estratégia inicial (sem ainda aplicar partes): usar uma identidade trigonométrica que simplifica \tan^2. A identidade é
\tan^2 z = \operatorname{sec}^2 z - 1,
onde \operatorname{sec} z=\dfrac{1}{\cos z}. Substituindo na integral:
\int z\,\tan^2(z)\,dz = \int z\big(\operatorname{sec}^2 z - 1\big)\,dz = \int z\,\operatorname{sec}^2 z\,dz - \int z\,dz.
Essa separação é útil porque \operatorname{sec}^2 z é a derivada de \tan z, o que nos deixa prontos para usar integração por partes no primeiro termo, enquanto o segundo termo é uma integral simples.

Passo 3

Calcular o segundo termo (fácil): \int z\,dz. Lembrete rápido: a primitiva de z é obtida pela regra do poder,
\int z\,dz = \frac{z^2}{2}.
Então já sabemos que a segunda parcela é \dfrac{z^2}{2}.

Passo 4

Agora calcular o primeiro termo por integração por partes:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas convenientemente. Aqui escolhemos
u = z,\qquad dv = \operatorname{sec}^2 z\,dz,
porque du = dz simplifica e v é fácil de obter já que \dfrac{d}{dz}\tan z = \operatorname{sec}^2 z. Logo
v = \tan z.
Aplicando a fórmula:
\int z\,\operatorname{sec}^2 z\,dz = z\cdot \tan z - \int \tan z\,dz.

Passo 5

Calcular \int \tan z\,dz. Uma forma padrão é escrever \tan z=\dfrac{\sin z}{\cos z} e usar substituição:
fazendo w=\cos z temos dw=-\sin z\,dz. Assim
\int \tan z\,dz = \int \frac{\sin z}{\cos z}\,dz = -\int \frac{1}{w}\,dw = -\ln\big|w\big| + C = -\ln\big|\cos z\big| + C.
Portanto
\int z\,\operatorname{sec}^2 z\,dz = z\tan z - \big(-\ln\big|\cos z\big|\big) = z\tan z + \ln\big|\cos z\big| + C.
(O C será combinado no final.)

Passo 6

Juntando os resultados das parcelas (lembrando que o termo \int z\,dz vinha com sinal negativo):
\int z\,\tan^2 z\,dz = \big(z\tan z + \ln\big|\cos z\big|\big) - \frac{z^2}{2} + C.
Aqui C é a constante de integração final que reúne todas as constantes intermediárias.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para ter confiança): calcule a derivada de
F(z)=z\tan z + \ln\big|\cos z\big| - \frac{z^2}{2}.
Derivando:
F'(z) = \tan z + z\operatorname{sec}^2 z - \tan z - z = z\operatorname{sec}^2 z - z = z\big(\operatorname{sec}^2 z -1\big) = z\tan^2 z,
que é exatamente o integrando original. Confirmação correta!

Resposta

z\tan z + \ln\big|\cos z\big| - \frac{z^2}{2} + C

Exercícios relacionados