5^{\circ} ) Calcule as seguintes integrais, usando a manipulação adequada.
\int x * \operatorname{arctg}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int x\cdot \operatorname{arctg}(x)\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a integrar é o produto de um fator algébrico x e a função inversa trigonométrica \operatorname{arctg}(x).
  • Não há constantes ou intervalos especificados; busca-se uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Escolha do método (explicando o porquê): quando temos um produto do tipo “parte que se complica ao derivar” vezes “parte simples para integrar”, o método natural é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas de modo conveniente. Aqui é conveniente escolher u=\operatorname{arctg}(x) (porque sua derivada é simples) e dv=x\,dx (porque é fácil integrar).

Passo 3

Calcular du e v a partir da escolha:
  • Como u=\operatorname{arctg}(x), usa-se a derivada conhecida
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
  • Como dv=x\,dx, integra-se para obter
v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x\cdot \operatorname{arctg}(x)\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg}(x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Colocando o fator constante fora da integral:
\int x\cdot \operatorname{arctg}(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg}(x) - \frac{1}{2}\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 5

Simplificar a integranda racional \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}} por divisão algébrica simples:
\frac{x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}.
Substituindo na integral:
\int x\cdot \operatorname{arctg}(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg}(x) - \frac{1}{2}\int\left(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\right)\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo:
\int\left(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\right)\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = x - \operatorname{arctg}(x) + C.
Voltando à expressão anterior e lembrando do fator -\tfrac{1}{2}:
\int x\cdot \operatorname{arctg}(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg}(x) - \frac{1}{2}\bigl(x - \operatorname{arctg}(x)\bigr) + C.
Reorganizando (agrupando os termos com \operatorname{arctg}(x) e o termo em x):
\int x\cdot \operatorname{arctg}(x)\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\operatorname{arctg}(x) - \frac{x}{2} + C.

Passo 7

Fazer uma pequena simplificação final fatorando \tfrac{1}{2}:
\int x\cdot \operatorname{arctg}(x)\,dx = \frac{1+x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg}(x) - \frac{x}{2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1+x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg}(x)-\frac{x}{2}+C

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