) Calcule as seguintes integrais, usando a manipulação adequada.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a integrar é o produto de um fator algébrico
e a função inversa trigonométrica . - Não há constantes ou intervalos especificados; busca-se uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Escolha do método (explicando o porquê): quando temos um produto do tipo “parte que se complica ao derivar” vezes “parte simples para integrar”, o método natural é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas de modo conveniente. Aqui é conveniente escolher
(porque sua derivada é simples) e
(porque é fácil integrar).
Passo 3
Calcular
e
a partir da escolha:
- Como
, usa-se a derivada conhecida
Portanto
- Como
, integra-se para obter
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Colocando o fator constante fora da integral:
Passo 5
Simplificar a integranda racional
por divisão algébrica simples:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrar termo a termo:
Voltando à expressão anterior e lembrando do fator
:
Reorganizando (agrupando os termos com
e o termo em
):
Passo 7
Fazer uma pequena simplificação final fatorando
: