) Calcule o volume do sólido do primeiro octante delimitado por
e pelo cilindro que contorna a região delimitada por
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (isto é
,
,
) limitado pela superfície plana
e pelo cilindro cuja base é a região do plano
delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar o sólido no plano
e integrar a altura em
.
Passo 2
Encontramos a região
no plano
determinada por
Para achar os limites, vemos onde se intersectam:
Em
e
temos
e
. Para
, a curva
fica à esquerda e
à direita. Logo,
Passo 3
A superfície
dá
como altura do sólido acima do ponto
. Assim o volume é
Em coordenadas cartesianas:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo
Passo 5
Expandimos o integrando:
Agora integramos termo a termo de
a
:
Somando: