7^{\circ} ) Calcule o volume do sólido do primeiro octante delimitado por y+z=2 e pelo cilindro que contorna a região delimitada por y=x^{2} e x=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (isto é x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitado pela superfície plana y+z=2 e pelo cilindro cuja base é a região do plano xy delimitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar o sólido no plano xy e integrar a altura em z.

Passo 2

Encontramos a região D no plano xy determinada por
y = x^2 \quad\text{e}\quad x = y^2.
Para achar os limites, vemos onde se intersectam:
x^2 = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; x^4 = x \;\Rightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Em x=0 e x=1 temos y=0 e y=1. Para 0\le y\le1, a curva x=y^2 fica à esquerda e x=\sqrt{y} à direita. Logo,
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;y^2 \le x \le \sqrt{y}\bigr\}.

Passo 3

A superfície y+z=2 z=2-y como altura do sólido acima do ponto (x,y). Assim o volume é
V = \iint_{D} (2 - y)\,dA.
Em coordenadas cartesianas:
V = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=y^2}^{\sqrt{y}} (2 - y)\,dx\,dy.

Passo 4

Integramos primeiro em x:
\int_{x=y^2}^{\sqrt{y}} (2 - y)\,dx = (2 - y)\bigl[\sqrt{y} - y^2\bigr].
Logo
V = \int_{0}^{1} (2 - y)\bigl(\sqrt{y} - y^2\bigr)\,dy.

Passo 5

Expandimos o integrando:
(2 - y)(y^{1/2} - y^2) =2y^{1/2} -2y^2 -y^{3/2} + y^3.
Agora integramos termo a termo de 0 a 1:
\int_{0}^{1}2y^{1/2}dy = 2\cdot\frac{2}{3}= \frac{4}{3}, \quad \int_{0}^{1}-y^{3/2}dy = -\frac{2}{5},
\int_{0}^{1}-2y^2dy = -2\cdot\frac{1}{3}= -\frac{2}{3}, \quad \int_{0}^{1}y^3dy = \frac{1}{4}.
Somando:
V = \frac{4}{3} - \frac{2}{5} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{31}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{31}{60} unidades cúbicas.

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