\left.1^{\circ}\right) Calcule cada uma das integrais iteradas abaixo:
\int_{0}^{\ln 2} \int_{0}^{\ln 4} e^{2 x-y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\ln 2}\!\int_{0}^{\ln 4} e^{2x - y}\,dx\,dy.
O conteúdo é avaliação de integrais iteradas: primeiro fazemos a integral interna em x, tratando y como constante, e depois a integral externa em y.

Passo 2

Calculemos a integral interna
\int_{0}^{\ln 4} e^{2x - y}\,dx.
Como y é constante, temos
\int e^{2x - y}\,dx = e^{-y}\int e^{2x}\,dx = e^{-y}\,\frac{e^{2x}}{2} = \frac{1}{2}e^{-y+2x}.

Passo 3

Avalie de x=0 a x=\ln 4:
\int_{0}^{\ln 4} e^{2x - y}\,dx = \frac{1}{2}e^{-y}\bigl(e^{2\ln 4}-e^{0}\bigr) = \frac{1}{2}e^{-y}\bigl(4^2 - 1\bigr) = \frac{15}{2}e^{-y}.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{0}^{\ln 2}\frac{15}{2}e^{-y}\,dy = \frac{15}{2}\int_{0}^{\ln 2}e^{-y}\,dy = \frac{15}{2}\bigl[-e^{-y}\bigr]_{0}^{\ln 2} = \frac{15}{2}\bigl(-e^{-\ln 2}+1\bigr) = \frac{15}{2}\bigl(-\tfrac12+1\bigr) = \frac{15}{2}\cdot \frac12 = \frac{15}{4}.

Resposta

\frac{15}{4}.

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