8^{\circ} ) Calcular o volume do sólido abaixo do plano x y delimitado por z=x^{2}+y^{2}-9.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do plano z=0 (plano xy) e “por cima” do paraboloide
z = x^{2}+y^{2}-9.
Para resolver, vamos usar integração dupla em coordenadas polares, pois a projeção desse sólido no plano xy é um disco.

Passo 2

Determinar a região de projeção D no plano xy. Como queremos pontos em que
z = x^{2}+y^{2}-9 \le 0,
isso é equivalente a
x^{2}+y^{2} \le 9.
Logo, D é o disco de raio 3 centrado na origem.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas, o volume é
V=\iint_{D}\bigl[\,0 - \bigl(x^{2}+y^{2}-9\bigr)\bigr]\,dA =\iint_{D}\bigl(9 - x^{2}-y^{2}\bigr)\,dA.

Passo 4

Passando para coordenadas polares (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta), em que dA = r\,dr\,d\theta e r vai de 0 a 3, \theta de 0 a 2\pi, obtemos
V =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\bigl(9 - r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r:
\int_{0}^{3}(9 - r^{2})\,r\,dr =\int_{0}^{3}\bigl(9r - r^{3}\bigr)\,dr =\left[\frac{9r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{3} =\frac{81}{2}-\frac{81}{4} =\frac{81}{4}.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
V =\int_{0}^{2\pi}\frac{81}{4}\,d\theta =\frac{81}{4}\cdot 2\pi =\frac{81\pi}{2}.

Resposta

\boxed{\frac{81\pi}{2}}

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