) Calcular o volume do sólido abaixo do plano
delimitado por
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do plano
(plano
) e “por cima” do paraboloide
Para resolver, vamos usar integração dupla em coordenadas polares, pois a projeção desse sólido no plano
é um disco.
Passo 2
Determinar a região de projeção
no plano
. Como queremos pontos em que
isso é equivalente a
Logo,
é o disco de raio
centrado na origem.
Passo 3
Em coordenadas cartesianas, o volume é
Passo 4
Passando para coordenadas polares
, em que
e
vai de
a
,
de
a
, obtemos
Passo 5
Calcular a integral em
:
Passo 6
Agora integramos em
: